第2章圓與方程

(全卷滿分150分，考試用時120分鐘)

一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的)

1.已知直線ax+by+c=0過點M(cosa,sin<1),則()

A.a2+b2<lB.a2+b2^l

C.a2+b2^c2D.a2+b2>c2

2.若圓心坐標為(2,-1)的圓截直線x-y-l=0所得的弦長為2vx則這個圓的方程是()

A.(x-2)2+(y+l)2=2B.(x-2)2+(y+l)2=4

C.(x-2)2+(y+l)2=8D.(x-2)2+(y+l)2=16

3.圓(x+D，(yT)2=4上到直線l:x+y+V5=0的距離為1的點共有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.趙州橋是一座位于河北省石家莊市趙縣城南汶河之上的石拱橋，因趙縣古稱趙州而得名.趙

州橋始建于隋代,是世界上現存年代久遠、跨度最大、保存最完整的石拱橋.小明家附近的一座

橋是仿趙州橋建造的圓拱橋，已知在某個時間段這座橋的水面跨度是20米,拱頂離水面4米，

當水面上漲2米后,橋在水面的跨度為()

A.10米B.10魚米

C.66米D.6西米

5.若圓x2+y2-2ax+2y+l=0與圓x2+y2=l關于直線y=x-l對稱,過點C(-2a,a)的圓P與y軸相切,

則圓心P的軌跡方程為()

A.y2-4x+4y+8=0B.y2+2x-2y+2=0

C.y'-2x-y-l=0D.y-+4x-2y+5=0

6.若圓M:x'+y2+ax+by-ab-6=0(a>0,b>0)平分圓N:x~+y2-4x-2y+4=0的周長，則2a+b的最小值為

()

A.8B.9C.16D.20

7.已知圓C的圓心為原點0,且與直線x+y+4&=0相切.點P在直線x=8上,過點P引圓C的兩

條切線PA,PB,切點分別為A,B,如圖所示,則直線AB恒過的定點的坐標為()

A.(2,0)B.(0,2)C.(1,0)D.(0,1)

8.已知實數x、y滿足X2+62)』，則害的取值范圍是()

A.(V3,2]B.[1,2]C.(0,2]江曲］

二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)

9.已知圓G：(x-2cos9)2+(y-2sin。)'=1與圓Czd+y3，則下列說法正確的是()

A.對于任意的圓G與圓C,始終相切

B.對于任意的9,圓G與圓&始終有四條公切線

C.當0=J時，直線1：7^-丫-1=0被圓G截得的弦長為B

D.P,Q分別為圓G與圓C?上的動點，則PQ的最大值為4

10.已知圓C:(x-l)2+(y-2)2=25,直線1:(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0,則下列命題正確的是()

A.直線1恒過定點⑶1)

B.y軸被圓C截得的弦長為4V6

C,直線1與圓C恒相交

D.直線1被圓C截得的弦長最長時，直線1的方程為2x-y-5=0

11.已知實數X,y滿足方程x2+y2-4x+l=0,則下列說法錯誤的是()

A.y-x的最大值為巡-2B.x2+y2的最大值為7+4百

C*的最大值為噂D.x+y的最大值為2+8

12.如果A(2,0),B(l,1),C(T,l),D(-2,0),比是以OD為直徑的圓上的一段圓弧,力是以BC為

直徑的圓上的一段圓弧,就是以OA為直徑的圓上的一段圓弧,三段弧構成曲線。,那么下面說

法正確的是()

A.曲線Q與x軸圍成的圖形的面積為三

B.為與瓦^的公切線方程為x+y-V2-l=0

C.6所在圓與&所在圓的交點弦所在直線的方程為x-y=0

D.比所在圓截直線y=x所得的弦長為日

三、填空題(本題共4小題,每小題5分，共20分)

13.過P(2,2)作圓C:(x-l)2+y2=l的切線,則此切線方程為.

14.設集合A={(x,y)|x2+(y-l)2=l},B={(x,y)|(x-t)，y?=9},且ACBW。,則實數t的取值范圍

是—?

15.在平面直角坐標系xOy中，已知圓G:x+y2=2,圓C2:(x-+(y-V17)2=8,若過第四象限

的直線1是兩圓的公切線,且兩圓在公切線的同一側,則直線1的方程為

16.如圖所示，已知以點A(T,2)為圓心的圓與直線L：x+2y+7=0相切.過點B(-2,0)的動直線1

與圓A交于M,N兩點,Q是MN的中點，直線1與L交于點P.

(1)當|MN|=2V1?時，直線1的方程為;

(2)的?BP=.(本題第一空3分,第二空2分)

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)已知圓C的方程為x2+y2-2x+4y+l=0.

(1)求圓C的圓心坐標及半徑；

(2)若直線1經過(2,0),并且被圓C截得的弦長為28,求直線1的方程.

18.(本小題滿分12分)已知圓C:x"+y'+mx+my-4=0關于直線x+y+l=0對稱.

(1)求圓C的標準方程；

(2)是否存在直線與圓C相切,且在x軸,y軸上的截距相等?若存在,求出該直線的方程;若不存

在,請說明理由.

19.(本小題滿分12分)如圖，已知aABC的AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0,M(2,0)滿足的=

而？，點T(T,1)在AC邊所在直線上且滿足方?AB=0.

⑴求AC邊所在直線的方程；

(2)求aABC外接圓的方程；

(3)求過點N(-2,0)的4ABC外接圓的切線方程.

20.(本小題滿分12分)已知圓C的圓心在x軸上,且圓C經過點A(T,0),B(l,2).

(1)求線段AB的垂直平分線的方程；

⑵求圓C的標準方程；

⑶已知直線l:y=kx+l與圓C相交于M、N兩點,且MN=2V2,求直線1的方程.

21.(本小題滿分12分)已知圓C:(x+3)2+(y-4)2=16,直線1:(2m+l)x+(m-2)y-3nr4=0(mWR).

⑴若圓C截直線1所得的弦AB的長為2V求m的值；

(2)若圓C與直線1相離,設MN為圓C的動直徑，作MP11,NQ11,垂足分別為P,Q,當m變化時,

求四邊形MPQN面積的最大值.

22.(本小題滿分12分)為解決城市的擁堵問題,某城市準備對現有的一條穿城公路M0N進行分

流，已知穿城公路M0N自西向東到達城市中心點0后轉向東北方向(即N40B=空).現準備修

建一條城市高架道路L,L在M0上設一出入口A,在0N上設一出入口B.假設高架道路L在AB

部分為直線段,且要求市中心0到直線AB的距離為10km.

⑴求兩站點A,B之間距離的最小值；

⑵公路M0段上距離市中心30km處有一古建筑群C,為保護古建筑群,設立一個以C為圓心,5

km為半徑的圓形保護區，問如何在古建筑群C和市中心0之間設計出入口A,才能使高架道路L

及其延伸段不經過保護區(不包括臨界狀態)？

答案全解全析

1.D由cos2a+sin2a=1可得點M在單位圓x2+y2=l上，

所以直線ax+by+c=0和圓x"+y2=l有公共點，

所以圓心(0,0)到直線ax+by+c=0的距離其即a2+b2>c2.

>Ja2+b2

2.B設圓的半徑為r,

:圓心(2,-1)到直線x-y-l=0的距離d二"/=>/2,

V2

=2y/r^2=2我,解得一=4,

圓的方程為(x-2)?+(y+l)2=4.故選B.

3.C由題知，圓心(T,1)到直線l:x+y+&=0的距離為㈡笄=1〈2,則直線1與圓相交，由圓的半徑為2知，圓上

V2

到直線的距離為1的點有3個.

4.C根據題意，建立圓拱橋模型，如圖所示.

設圓0的半徑為R米，當水面跨度是20米,拱頂離水面4米時,水面為AB,M為線段AB的中點，即AB=20米,0M=(R-4)

米，

利用勾股定理可知,AM?=(受f=0A2-0M2,即100=泊(RY)?,解得R哼當水面上漲2米后，即水面到達CD,N為線段CD

的中點，此時0N=(R-2)米,故CD=2CN=2J/?2_(R_2)2=6e(米).故選C.

5.D由條件可知x2+y2-2ax+2y+l=0的半徑為1,并且兩已知圓圓心連線的斜率是T,

由x?+y2-2ax+2y+l=0得(x-a)2+(y+l)2=a：其圓心為(a,T),半徑為|a|,所以—'解得a=l,所以C(-2,1).

la2=1,

設P(x,y),由條件可知PC=|xl,即+2)2+(y-l)2=|x|,

兩邊平方后，整理得y，4x-2y+5=0.故選D.

6.A兩圓方程相減得(a+4)x+(b+2)y-abT0=0,此為相交弦所在直線的方程，

圓N的標準方程是(x-2)2+(y-l)2=l,圓心為N(2,1),將⑵1)代入相交弦所在直線的方程，得2(a+4)+b+2-abT0=0,

則工+91,

ab

因為a>0,b>0,

所以2a+b=(2a+b)仁+9=4+2+￡》4+2l~x^=8,當且僅當2即a=2,b=4時,等號成立.故選A.

\ab/abyabab

7.A依題意得圓C的半徑r~,4^-4,所以圓C的方程為x2+y2=16.

+12

因為PA,PB是圓C的兩條切線，

所以OA1AP,OBIBP,所以A,B在以OP為直徑的圓上,設點P的坐標為(8,b),bGR,則線段OP的中點坐標為(4,

所以以0P為直徑的圓的方程為(x-4)，(瀉了=42+(丁,化簡得X?+產8x-by=0,因為AB為兩圓的公共弦,所以

直線AB的方程為8x+by=16,即8(x-2)+by=0,bGR,所以直線AB恒過定點(2,0).

8.B如圖所示:

設P(x,y)為圓x2+(y-2)2=l上的任意一點,

則點P到直線x+V3y=0的距離PM二

2

點P到原點的距離為P0=

所以3=舞=鬻=2sinNP0M,

設圓x2+(y-2)2=l與直線y=kx相切，

則」==1,解得k=±遍，

所以NPOM的最小值為30°,最大值為90°,

所以？sin/POMWl,

所以lW3=2sin/POMW2.

故選B.

9.ACD由已知得G(2cos6,2sin9),Cz(O,0),GC2=J(2cos8)2+(2sin0)2=2,兩圓半徑之和為1+1=2,故兩圓始

終外切,始終有三條公切線,A正確,B錯誤；

當()=2時,C.(V3,1),C,到直線1的距離d=產的川=1,則弦長為2、病百=V3.C正確；

6J(國2+(-I)Z27

由于兩圓外切，且3cz=2,因此PQ““x=CC+l+l=4,D正確.

故選ACD.

10.ABC直線1的方程整理得m(2x+y-7)+x+y-4=0,由。解得;1所以直線1恒過定點(3,D，A正

確；

在圓C的方程中，令x=0,得1+(y2產=方,解得y=2±2乃，則y軸被圓C截得的弦長為4跖B正確；

因為(3-1)2+(1-2)2=5<25,故點(3,1)在圓C內，所以直線1與圓C一定相交,C正確;

直線1被圓C截得的弦長最長時,直線過圓心(1,2),則2m+l+2(m+l)-7m-4=0,解得m=-i故直線1的方程為9+

|y-|=0,即x+2y-5=0,D錯誤.故選ABC.

11.CD將x'+yz-4x+l=0變形得，(x-2),+yJ3,它表示圓心為⑵0),半徑為g的圓.對于A,設z=y-x,則y=x+z,z表

示直線y=x+z的縱截距，當此直線與圓有公共點時,需Wg,解得-乃-2WzW正-2,所以y-x的最大值為泥-2,

故A中說法正確;對于B,x'+y2的幾何意義是圓上的點與原點的距離的平方，易知原點與圓心的距離為2,則原點與

圓上的點的最大距離為2+V3,所以/+/的最大值為(2+遍)2=7+4百，故B中說法正確;對于的幾何意義是

圓上的點與原點連線的斜率，貝吆的最大值為tan60°=V3,故C中說法錯誤;對于D,設m=x+y,則y=-x+m,m表示直

線y=-x+m的縱截距，當此直線與圓有公共點時,粵1<75,解得-遍+2WmW乃+2,所以x+y的最大值為遍+2,故D

V2

中說法錯誤.故選CD.

12.BC連接BC,交y軸于點Q,過點B作BN±x軸于點N,過點C作QUx軸于點M,連接QN,如圖.

各段圓弧所在圓的方程分別為

CD:(x+1)2+y2=1;CB:x2+(y-1)2=1;BA:(x-l)2+yM.

由題意知曲線Q與x軸圍成的圖形由一個半圓，一個矩形和兩個四分之一圓組成，所以圍成的圖形的面積為

2X2+%2=n+2,故A錯誤;

42

易知直線QN的方程為y=-x+l,公切線1平行于直線NQ,且兩直線間的距離為1,設直線l:y=-x+b(b>0且b#l),

則陪1,解得b=V2+l,所以直線1:x+y-奩-1=0,故B正確；

V2

將或所在圓與詫所在圓的方程相減,得交點弦所在直線的方程為x-y=0,故C正確；

曲所在圓的圓心為(-1,0),(-1,0)到直線y=x的距離<1=當,所以曲所在圓截直線y=x所得的弦長為2卜閨=

記,故D錯誤.

故選BC.

13.答案x=2或3x-4y+2=0

解析圓C:(x-l)2+y』的圓心為(1,0),半徑為1,

當過點P的直線垂直于x軸時,直線斜率不存在,方程是x=2,

:圓心C(l,0)到直線的距離d=l=r,

二直線x=2符合題意.

當過點P的直線不垂直于x軸時，設直線方程為y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0.

?.?直線是圓C:(x-l)z+y2=l的切線，

圓心C(l,0)到直線的距離d'i,解得k=l,

-早空2-

Vl+fc4

此時直線方程為3x-4y+2=0.

綜上，切線方程為x=2或3x-4y+2=0.

14.答案[-V15,-V3]U[V3,<15]

解析圓(x-t)2+y2=9的半徑大于圓x2+(y-l)2=l的半徑.

當兩圓外切時,有J(0-t)2+(1-0/=3+1,解得t=±V15;

當兩圓內切時,有J(0-t)2+(1-0)2=3-1,解得t=±V3.

當t>0,即圓(x-t)?+y2=9的圓心在y軸右側時,實數t的取值范圍為［百,VI引；

當t<0,即圓(x-t)，yJ9的圓心在y軸左側時，實數t的取值范圍為［-g,-8］.

故實數t的取值范圍為［-反,一遮］U［V3,VT5］.

15.答案3x-5y-2g=0

解析由圓的方程可知圓C,的圓心為G(0,0),半徑r產四，圓&的圓心為€2(717,717),半徑0=2e,貝llkjCz=

1,C1C2=V34.

由題意知直線1的斜率存在，設直線1的方程為y=kx+b,直線1與圓CbC2的切點分別為A,B,連接CC,AG,BC2,過

C作C.DZ/AB交BCz于點D,如圖.

二1為圓Cz的切線，，BC2_LAB,

又GD〃AB,；.CDJ_C2D,

2V2-V21

?.而NDCG=^==—,

J34-(2V2-V2)24

1-13

k=tan(45°-ZDC1C2)=~1=

1+J5

二直線1的方程為y=1x+b,即3x-5y+5b=0,

又直線1與圓G相切，...黑=V2,解得b=±噌,

V345

又直線1過第四象限，...b=-等，

直線1的方程為3x-5y-2g=0.

16.答案(l)x=-2或3x-4y+6=0(2)-5

解析⑴設圓A的半徑為R.?.咽A與直線L：x+2y+7=0相切,

.?.R=^tn=2倔.?.圓A的方程為(x+l)2+(y-2)2=20.

V5

①當直線1的斜率不存在時，易知直線1的方程為x=-2,此時MN=2V19,符合題意.

②當直線1的斜率存在時，設直線1的方程為y=k(x+2),即kx-y+2k=0.連接AQ,則AQ1MN.

MN=2V19,?.AQ="20-19=1.

.-.AQ=^L=1,解得k=：,.?.直線1的方程為3x-4y+6=o.

綜上，直線1的方程為x=-2或3x-4y+6=0.

(2)VAQ±BP,：.AQ?BP=O,：.~BQ?麗=畫+而)?~BP=^A?~BP+AQ?~BP=~BA'JP.

當直線1的斜率不存在時,【＞(-2,彳)，則麗=(0,-1)，

又瓦5=(1,2),.?.詼?喬=明?BP=~5.

當直線1的斜率存在時，設直線1的方程為y=k'(x+2).

由僅=fc'(x+2),徨/-4fc'-7-sfx.KB=(s-sfc,\

田L+2y+7=0行pK1+2VT+2J-BP一(i+2k"i+2”

綜上所述,BQ?品為定值,其定值為-5.

17.解析（1）圓x2+y2-2x+4y+l=0可化為（xT）2+（y+2）J4,（3分）

所以圓心坐標為（1,-2）,半徑為2.（4分）

（2）由題意及（1）得圓心到直線1的距離d=j22-（點）2=1.

當直線1的斜率不存在時,直線1的方程為x=2,此時直線1被圓C截得的弦長為2V5,符合題意；（7分）

當直線1的斜率存在時,設直線1的方程為y=k（x-2）,即kx-y-2k=0,

由題意得端型=1,解得k^,

y/k2+l4

所以直線1的方程為:x-y-M,即3x-4y-6=o.（9分）

綜上所述,直線1的方程為x=2或3x-4y-6=0.（10分）

18.解析⑴由題意知圓C的圓心為解得m=l,（3分）

.,.圓C的方程為x2+y，x+y-4=0,其標準形式為（x+J+（/+：）=/（6分）

（2）存在.由（1）知圓心為半徑為手，因此原點在圓內，

則截距相等的切線不過原點.（8分）

設截距相等的切線的方程為x+y+a=0,aWO,

則后擔=乎,解得a=-2或a=4,經檢驗均符合題意，（10分）

V22

.,.切線方程為x+y-2=0或x+y+4=0.(12分)

19.解析(1),.'AT?A6=0,

：.ATIAB,又T在直線AC上,

/.AC±AB,

/.△ABC為直角三角形.

又AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0,

/.AC邊所在直線的斜率為-3,

又?.?點T(T,1)在AC邊所在直線上，

AAC邊所在直線的方程為y-l=-3(x+l),即3x+y+2=0.(4分)

⑵由隱-n解得-°S則點A的坐標為(0,-2),(6分)

2%十y十z—u,——乙,

"：BM=MC,

...M(2,0)為RtAABC斜邊上的中點，即為RtAABC外接圓的圓心，

又AM=J(2-0)2+(0+2)2=2V2,

/.△ABC外接圓的方程為(x-2T+y2=8.(8分)

(3)易知切線的斜率存在.設切線方程為y=k(x+2),

則=272,解得k=l或k=T,(11分)

切線方程為x-y+2=0或x+y+2=0.(12分)

20.解析(1)設線段AB的中點為D,則D(0,1).

由圓的性質，得CD_LAB,所以ka,Xk.=-1,所以kco=-l,

所以線段AB的垂直平分線的方程是y=-x+l.(4分)

(2)因為圓心C在x軸上，也在線段AB的垂直平分線，即y=-x+l上,所以令y=0,得x=l.(6分)

所以圓心為C(l,0),r=CA=l-(-l)=2,

所以圓C的標準方程為(x-l)2+y2=4.(8分)

(3)設F為線段MN的中點，則CF11,FM=FN=&.設圓心C到直線1的距離為d,貝d-CF=J4-(V2)2=y[2,(10分)

又d岑等,所以k=l,所以直線1的方程為y=x+L(12分)

Vfc2+1

21.解析(1)圓C的圓心為C的3,4),半徑r=4,

22

由弦AB的長為2VH,得點C到直線1的距離d=卜喏了=J4