模塊素養(yǎng)評價

(120分鐘150分)

一、單選題(每小題5分，共40分)

1.(2020?盤錦高二檢測)已知a=(2,-3,1),則下列向量中與a平行的是()

A.(1,1,1)B.(-2,-3,5)

C.(2,—3,5)D.(—4,6)—2)

【解析】選D.對于A選項，因為3之士耳,A選項中的向量與a不平行；對于B選項，因

—2—352—35

為二丁牛~_右,B選項中的向量與a不平行；對于C選項，因為彳=~-,C選項中的

2—312-51

—46—2

向量與a不平行；對于D選項，因為二廠=--=1一,D選項中的向量與a平行.

2—31

2.(2020?南昌高二檢測)在四面體ABCD中，點F在AD上，且AF=2FD,E為BC的中點，

則繇等于()

12

A.EF=嵐+2A6-QAb

][2

B.EF=~2At—Afe+]A?)

C.E?=2At—AfeA?)

D.EP=~2A￡+5A6一,Ab

【解析】選B.在四面體ABCD中，點F在AD上，且AF=2FD,E為BC的中點，所以繇=

ES+BA+#=2(魂—雙)―魂+QAJ)=-2A￡—2ASAb,即降=—

112

2A￡—ASA{).

3.若向量a=(0,1,-1),b=(l,1,0),且(a+M))，a,則實數(shù)九的值是()

A.-1B.0C.-2D.1

【解析】選C.因為(a+入b)_La,

所以(a+入b>a=a2+入b,a=C\/5)2+Xx(0+1+0)=0,解得入=-2.

4.已知直線/i：2x+y+n=0與京4x+my—4=0互相平行，且(，，2之間的距離為§小，

則m+n=()

A.—3或3B.—2或4

C.—1或5D.—2或2

【解析】選A.由2m—4=0,解得m=2.滿足/i〃/2./2的方程為2x+y—2=0,有也=|y[5,

則|n+2|=3,解得n=l或一5,故m+n=±3.

5.（2020?天津高二檢測）已知圓x?+y2+2x—2y+2a=0截直線x+y+2=0所得弦長為4,則

實數(shù)a的值是（）

A.l3B.i2C.i1D.—4

0-------------

【解析】選B.圓心為（一1,1）,圓心到直線距離為歷=也,故圓的半徑為422+（也）2=

水,即72—2a=y[6,a=-2.

6.（2020.西安高二檢測）雙曲線Ci：點一*=l（a>0,b>0）的一個焦點為F（c,0）（00）,且雙

2

曲線Cl的兩條漸近線與圓C2：（X—c）2+y2c=j均相切，則雙曲線C1的漸近線方程為（）

A.x±\[3y=0B.小x土y=0

C.y[5x土y=0D.x±\[5y=0

【解析】選A.根據(jù)題意知：焦點F（c,0）到漸近線

的距離為d=[皋，

故a?=3b2,故漸近線為y—0.

7.唐代詩人李頒的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中

隱含著一個有趣的數(shù)學問題一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，

先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在區(qū)

域為x2+y2《2,若將軍從點A（3,0）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=4,并假定將軍只

要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，貝「將軍飲馬”的最短總路程為（）

A.2小B.亞-72

C.V17D.3一也

【解析】選B.設(shè)點A關(guān)于直線x+y=4的對稱點A，（a,b）,設(shè)軍營所在區(qū)域的圓心為C,根

據(jù)題意，|AQ一,為最短距離，先求出A，的坐標，AA，的中點為代之，§,直線AA，的斜

吐^+已=4_____

率為1,故直線AA，為y=x—3,由<22'聯(lián)立得@=4,b=l,所以

、b=a-3,

,故|A，C|一也=護一立?

8.（2020?瀏陽高二檢測）在橢圓5+y2=l上有兩個動點P,Q,E（b0）為定點，EPXEQ,

則祖的最小值為（）

A.4B.3-小C.|D.1

【解析】選C.由題意得強⑥=EP（E?-E^）=E?2—崖，E^=EP

設(shè)橢圓上一點P（x,y）,則中=（x—1,y）,

所以崖2=(x-l)2+y2=(x-l)2+f1X

4

34、

x2

43,+t

4T2

又一2WxW2,所以當x=§時，E?2取得最小值］.

二、多選題(每小題5分，共20分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)

9.(2020.沈陽高二檢測)若a=(—1，X,-2),b=(2)-1,1),a與b的夾角為120。，則

X的值為()

A.17B.-17C.-1D.1

【解析】選AC.由已知a-b=一2一九一2=—A,-4,|a|=年1+入?+4=#5+2?,|b|=

、4+1+1=y[6,

ab-X-4

所以cos120°='=一/,解得入=17或九=—1.

|a||b|一＜5+小加

10.(2020?啟東高二檢測)設(shè)有一組圓Ck：(x—l>+(y—k)2=k4(kGN*).下列四個命題正確的是

()

A,存在k,使圓與x軸相切

B.存在一條直線與所有的圓均相交

C.存在一條直線與所有的圓均不相交

D.所有的圓均不經(jīng)過原點

【解析】選ABD.根據(jù)題意得圓的圓心為(1,k),半徑為k2,選項A,當k=k2,即k=l時，

圓的方程為(x-l/+(y-l)2=1,圓與x軸相切，故正確；

選項B,直線x=l過圓的圓心(1,k),x=l與所有圓都相交，故正確；選項C,圓k:圓心(1,

k),半徑為1?,圓k+1：圓心(1,k+1),半徑為(k+l)2,兩圓的圓心距d=l,兩圓的半徑之

差R-r=2k+l,(R-r>d),Ck含于Ck+i之中，若k取無窮大，則可以認為所有直線都與圓

相交，故錯誤；選項D,將(0,0)代入圓的方程，則有l(wèi)+k2=k4,不存在kdN*使上式成立，

即所有圓均不過原點，正確.

11.(2020.濟南高二檢測)設(shè)Fi，F(xiàn)2分別為雙曲線親一^=l(a>0,b>0)的左、右焦點，若在

雙曲線右支上存在點P,滿足IPF2I=|FIF2|,且F2到直線PFi的距離等于雙曲線的實軸長,

則關(guān)于該雙曲線的下列結(jié)論正確的是()

A.漸近線方程為4x±3y=0

B.漸近線方程為3x±4y=0

C.離心率為(

D,離心率為(

【解析】選AC.設(shè)|PFz|=|FIF2|=2C,

由|PFI|—IPF2I=2a,可得|PFi|=2c+2a,

由F2到直線PFi的距離等于雙曲線的實軸長2a,

設(shè)PFi的中點為M,由等腰三角形PF1F2的性質(zhì)可得，F(xiàn)2M±PFI,

即有|PFI|=2\l(2c)2—(2a)2=4"\/c2—a2=4b,

所以2c+2a=4b,即c+a=2b,

可得c2=a2+b2=(2b—a)2,即有3b=4a,

b4

則雙曲線的漸近線方程為y=±-x=±2x,

即4x±3y=0,離心率e=：=

,.165

i+g=3-

12.(2020?濰坊高二檢測)已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F,過點F的直線/交拋物線于A,

B兩點，以線段AB為直徑的圓交x軸于M,N兩點，設(shè)線段AB的中點為Q若拋物線C上

存在一點E(t,2)到焦點F的距離等于3.則下列說法正確的是()

A.拋物線的方程是x2=2y

B.拋物線的準線是y=—1

c.sinZQMN的最小值是3

D.線段AB的最小值是6

【解析】選BC.拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F(0,1,得拋物線的準線方程為y=—5,

點E(t,2)到焦點F的距離等于3,可得2+5=3,解得p=2,則拋物線C的方程為x?=4y,

準線為y=-1,故A錯誤，B正確；由題知直線/的斜率存在，F(xiàn)(0,1),設(shè)A(xi,yi),

[y=kx+l

B(X2,y2),直線/的方程為y=kx+l,由《,消去y得x?—4kx—4=0,

Lx2=4y

所以乂1+*2=妹，X1X2=-4,

所以yi+y2=k(xi+x2)+2=4k2+2,所以AB的中點Q的坐標為(2k,2k2+l),

|AB|=yi+y2+p=4k2+2+2=4k2+4,故線段AB的最小值是4,即D錯誤；

所以圓Q的半徑為r=2k2+2,

在等腰AQMN中，sinZQMN=^=1—昌工,當且僅當k=0時取

等號，

所以sin/QMN的最小值為g,即C正確.

三、填空題(每小題5分，共20分)

13.(2020?重慶高二檢測)設(shè)直線Zi：(a+l)x+3y+2-a=0,直線/2：2x+(a+2)y+1=0.若h//l2,

則實數(shù)a的值為.

(a+l)(a+2)—6=0

【解析】依題意可得，，,、,、，解得a=-4.

[(a+l)xl—2(2—a)#)

答案：一4

14.(2020?上海高二檢測)平行六面體ABCD-ABCiDi中，已知底面四邊形ABCD為正方形，

且NAiAB=/AiAD=W,其中，設(shè)|AB|=|AD|=1,|AAi|=c,體對角線|AQ=2,則c

的值是.

【解析】A,C=A6+At)-AAj,

22

故|X^!|2=|魂+Ab-AA1|2=魂2+At)+AAj+2A§At)-2AA；-AS-

2A&-AA]*=c2+2-2c=4,解得c=4§+1.

答案：小+1

15.(2020?新高考全國I卷)斜率為小的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A,B

兩點，則|AB|=.

【解析】因為拋物線的焦點為(1,0),所以由題意知直線AB的方程為

y=V3(x-1),與y2=4x聯(lián)立得3(x—1)2=4X,3x2-10x+3=0,

設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),則xi+x2=^,

所以|AB|=xi+xz+2=^.

答案：y

16.(2020?武漢高二檢測)雙曲線C：q=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1；F2,過

F2的直線交曲線C右支于P,Q兩點，且PQLPF1,若3IPQI=4|PF1],則C的離心率等于

【解析】如圖，設(shè)|PQ|=4t(t>0),

由3|PQ|=4|PFi|可得|PFi|=3t,

由雙曲線定義，有|PFi|-|PF2|=2a,

所以|PF?|=3t—2a,

IQF2I=|PQ|-|PF2|=t+2a,

又IQFil—|QF2|=2a,所以|QFi|=t+4a,

因為PQ1PF.所以|PFF+|PF2F=4C2,|PFI|2+|PQ|2=|QFI|2,

即(3t)2+(3t-2a)2=4C2①，

(3t>+(4t)2=(t+4a>②，

由②解得t=a,代入①得(3a>+(3a—2a)2=4c?,

即10a』4c2,

答案：千

四、解答題(共70分)

17.(10分)已知向量a=(2,4,-2),b=(—1,0,2),c=(x,2,-1：

(1)^a//c,求|c|.

(2)若b_Lc,求(a—c)(2b+c)的值.

【解析】(1)因為a〃c,所以存在實數(shù)k使得c=ka,

"x=2k,

可得：<2=4k,解得x=l.

、T=-2k,

所以|C|=、12+22+(-1)2.

(2)b±c,所以b-c=-x+0-2=0,

解得x=-2.所以c=(—2,2,-1).

所以(a-c>(2b+c)=(4,2,一1).(一4,2,3)

=-16+4-3=-15.

18.(12分)如圖，在三棱柱ABC-AiBiG中，AiA=AB,ZABC=90°,側(cè)面AiABBi，底面

ABC.

(1)求證：AB」平面AiBC；

(2)若AC=5,BC=3,/AiAB=60。，求二面角B-AiC-Ci的余弦值.

【解析】(1)在側(cè)面AiABB,中，因為AiA=AB,

所以四邊形A1ABB1為菱形，所以ABJAiB.

因為側(cè)面AiABB」底面ABC,ZABC=90°,

平面AiABBiD平面ABC=AB,

所以CB_L側(cè)面AiABBi.

因為ABC平面AiABBi,所以CB_LABi.

又因為AiBCBC=B,所以AB」平面AiBC.

(2)在RtAABC中，AC=5,BC=3,所以AB=4,

在菱形AiABBi中，因為/AiAB=60。，

所以△AiAB為正三角形.

如圖，以菱形AiABBi的對角線交點O為坐標原點，OAi所在直線為x軸，OA所在直線為y

軸，過點O且與BC平行的直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則Ai(2,0,0),B(-2,

0,0),C(-2,0,3),B1(O,-2小,0),Ci(0,一2小，3),

所以K=(-2,2事,0),CA,=(2,2^3,-3).

設(shè)n=(x,y,z)為平面AiCCi的法向量，

貝"{n.C___C___=0

n.cX=0.

f-2x+2V3y=0,

所以土廠

l2x+2V3y-3z=0.

令x=3,得n=(3,小,4)為平面AiCCi的一個法向量.

又OB〕=(0,-2^3,0)為平面AiBC的一個法向量,

n?OB]—6V21

cos〈〉=

n,OB]|仙|陽|一2市義2小—14?

由直觀圖知，二面南B-AiC-Ci的平面角為鈍角，

所以二面角B-AiC-Ci的余弦值為一.

19.(12分)一動點到兩定點距離的比值為正常數(shù)3當以1時，動點的軌跡為圓，后世稱之為

阿波羅尼斯圓.已知兩定點A,B的坐標分別為：A(4,0),B(l,0),動點M滿足|AM|=2|BM|.

(1)求動點M的阿波羅尼斯圓的方程；

(2)過P(2,3)作該圓的切線/,求/的方程.

【解析】(1)設(shè)動點M的坐標為(x,y),

則|AM|='(x-4)2+y2,|BM|=\](x-1)2+y2,

又知|AM|=2|BM|,

則＜(x-4)?+y2=2A/(x-1)2+y2,得x2+y2=4.

(2)當直線/的斜率存在且為k時，直線/的方程為：y=kx—2k+3,/與圓相切,

|~2k+3|=2,得：k=^,

則d=

怖2+1

此時/的方程為：5x-12y+26=0,

當直線/的斜率不存在時，此時直線/的方程為：x=2,

綜上，直線/的方程為x=2,5x—12y+26=0.

20.(12分X2020?新高考全國I卷)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PDL底面ABCD,

設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為I.

p

(1)證明：/J_平面PDC；

(2)已知PD=AD=1,Q為/上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

【解析】(1)因為PD_L底面ABCD,所以PD_LAD.

又底面ABCD為正方形，

所以AD_LDC,又DCHPD=D,DC,PDu平面PDC,所以AD_L平面PDC.

因為AD〃:BC,ADC平面PBC,BCu平面PBC,所以AD〃平面PBC,由平面PAD與平面

PBC的交線為l,可得/〃AD.因此/_L平面PDC.

(2)以D為坐標原點，15A的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.則D(0,0,

0),C(0,1,0),B(l,1,0),P(0,0,1),Dt=(0,1,0),P§=(1,1,-1).

由(1)可設(shè)Q(a,0,1),則]5a=(a,0,1),設(shè)n=(x,y,z)是平面QCD的一個法向量，

n-D^=0,[ax+z=0,

則，m

m比=o,〔y=°?

_—1—a

可取n=(—1,0,a).所以cos<n,P§>=---------=~p—/.設(shè)PB與平面QCD所成角為

|n|-|PS|N37l+a

0,則sin0*=雪小+含.因為當小+含粵，當且僅當a=1時

等號成立，所以PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為手.

21.(12分)已知拋物線Ci：x2=4y的焦點F也是橢圓C2：J+器=l(a>b>0)的一個焦點，

Ci與C2的公共弦的長為29.過點F的直線/與Ci相交于A,B兩點，與C2相交于C,D兩

點，且忒與前同向.

⑴求C2的方程；

(2)若|AC|=|BD|,求直線/的斜率.

【解析】⑴由Ci：x2=4y知其焦點F的坐標為(0,1).

因為F也是橢圓C2的一個焦點，

所以a2—b2=l.@

又Ci與C2的公共弦的長為24,Ci與C2都關(guān)于y軸對稱，且Ci的方程為x2=4y,

3

由此易知Cl與C2的公共點的坐標為

所以9+提=1?②

聯(lián)立①②,得a?=9,b2=8.

22

故C2的方程為A+卷Y=1.

y0

(2)如圖,設(shè)A(xi,yi),B(X,))

2y2,C(x3,ys),D(X4,y4.

因At與疝同向，且|AC|=|BD|,

所以At=B6,

從而X3—X1=X4—X2,即Xl-X2=X3—X4,

22

于是(X1+X2)—4X1X2=(X3+X4)—4X3X4.③

設(shè)直線/的斜率為k,則/的方程為y=kx+l.

得X2—4kx—4=0.

而Xl,X2是這個方程的兩根，所以Xl+X2=4k,X1X2=-4.@

得(9+8k2)x2+16kx-64=0.

而X3,X4是這個方程的兩根,

16k

所以

X3+X49+8k2

644

X3X4——^5?⑤

162k24x64

將④⑤代入③，得163+1)=8k2)2+9+8k2

”,,162X9(k2+l)

即［6k+1)=―(9+8k2)2

所以(9+8k2)2=16x9,

解得k=土乎,即直線/的斜