第二章一元二次函數、方程和不等式

2.1相等關系與不等關系..................................................1

1、不等關系與大小比較...............................................1

2、不等式的性質.....................................................6

3、基本不等式......................................................10

4、基本不等式的應用................................................15

2.2從函數觀點看一元二次方程..........................................21

2.3一元二次不等式.....................................................26

1、一元二次不等式及其解法.........................................26

2、一元二次不等式的應用...........................................32

2.1相等關系與不等關系

1、不等關系與大小比較

1.某高速公路對行駛的各種車輛的最大限速為12()km/h.行駛過程中，同一

車道上的車間距4不得小于10m,用不等式表示()

A.0W120(km/h)或d210(m)

120(km/h),

B/

(m)

C.v^120(km/h)

D.心10(m)

解析：選B最大限速與車距是同時的，故選B.

2.不等式次+匕2221Ml成立時，a,8一定是()

A.正數B.非負數

C.實數D.不存在

解析：選C原不等式可變形為,+從一2|的=|才+|例2—2|的=(同一物)22

0,對任意實數都成立.

3.若x￡R,/會則（)

A.jr+y2>2xy—1B.x1-\-y1=2xy—\

C.x2+y2<2x>,—1D.f+jYlxy—1

解析：選A因為x2+>2一（與-1）=/一2^+）2+1=（工一同2+1>0,所以

x2+），>2xy-1,故選A.

4.實數x,y,z滿足x+y+z=O,xyz>0,若丁=!+：+；,則（）

JCyz

A.7>0B.T<0

C.T=0D.720

解析：選B因為x+y+z=0且盯z>0,不妨設x>0,則yVO,z<0,則T

1.1,1xy+yz+xzyG+z）+xz-y^+xz小、，八八”

=一+-+-=^~^----=z-----------=~2----.因為x>0,z<0,所以xzV

xyzxyzxyzxyz

0.又一）2V0,所以一V+xzVO.又xyz>0,所以XO.故選B.

5.（多選）下面列出的幾種不等關系中，正確的為（）

A.x與2的和是非負數，可表示為。+2>0”

B.小明的身高為舒小華的身高為），，則小明比小華矮，可表示為“x>y”

C.5c的兩邊之和大于第三邊，記三邊分別為a,b,c,則可表示為

+b>c且b+c>a”

D.若某天的溫度為Z,最低溫度為7°C,最高溫度為13℃,則這天的溫度

范圍可表示為“7CW/W13℃”

解析：選CD對于A中，x與2的和是非負數，應表示為“x+220”，故

A錯誤；對于B中，小明比小華矮，應表示為“XV），”，故B錯誤；對于C中，

根據三角形的性質，兩邊之和大于第三邊，所以C正確；對于D中，最低溫度

為7℃,最高溫度為13℃,則這天的溫度范圍可表示為“7℃WfW13°C”，

所以D正確.故選C、D.

6.若x=（a+3）（a—5）,y=（a+2）（a—4）,則x與y的大小關系是.

解析：x—>=（。+3）（々-5）—3+2）（。-4）=（〃2—2〃-15）—（a2—2a—8）=—7

<0,所以xVy.

答案：x<y

7.一輛汽車原來每天行駛xkm,如果該汽車每天行駛的路程比原來多19km,

那么在8天內它的行程就超過2200km,寫出不等式為；如果它每天行

駛的路程比原來少12km,那么它原來行駛8天的路程就得花9天多的時間，用

不等式表示為.

解析：由題意知，汽車原來每天行駛xkm,如果它每天行駛的路程比原來多

19km,那么8天內它的行程超過2200km,則8。+19)>2200.若每天行駛的路

程比原來少12kin,則原來行駛8天的路程就要用9天多，印*3>9.

X—12

Oy

答案：8(x+19)>2200占5>9

8.已知mb,1均為正數，且46,則^——空.(填“V”或

=")

.b[+xab+bx—ab—ax(b—a)x

?afl+xa(a+x)a(%+〃)*

因為〃>0,a>bfx>0,所以x+〃>0,b—a<0,

(Z?—4)X<0,所以1vb±x

所以

a(x+a)a-\rx

答案：<

9.有學生若干人，住若干宿舍，如果每間住4人，那么還余19人，如果每

間住6人，那么只有一間不滿但不空，求宿舍間數和學生人數.

解：設宿舍有x間，則學生有(4尤+19)人，依題意,

4.r+19<6x,

解得手10VxV號25.

Ar+19>6(x-1).

VxeN+,Ax=10,11或12.學生人數分別為59,63,67.故宿舍間數和學生

人數分別為10間59人，11間63人或12間67人.

10.(1)己知a,-eR,。+->0,試比較爐+己與口加+0力的大小;

(2)已知,試比較M=y/a+1—或和N=/i一m―1的大小.

解：(1)因為。+力>0,(a-。)220,

i321313112

所以a-^-b—ab-ab=a-ab-{-b-ab=cr(<a-b)-\-b(b-a)=(a—b)(a-

b2)=(a-b)(a—b)(a+〃)=(?—b)2(a+b)20,

所以蘇+/》出^+標。

(2)因為a2l,

所以M=y/a+1-,>0,N=y[a—y[a—\>0.

M)〃+[―也也+也-i

Ny[a-yja-11+?

因為y/a+1+或＞7^+加—1＞。,

M

所以RV1，所以M〈N.

11.四位好朋友在一次聚會上，他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內空

高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示.盛滿酒后他們約定：先各自飲

杯中酒的一半.設剩余酒的高度從左到右依次為加，后，人，fu,則它們的大小

關系正確的是（）

解析：選A根據四個杯的形狀分析易知〃2>用>加或力2>加>人4.

12.若p=y/a+6—y/a+4,q=y/a+5—y/a+3f其中。20,則p,q的大小

關系是()

A.p<qB.p=q

C.p>qD.不確定

解析：選A由題意知〃-g=.a+6+d〃+3—Nr+4+，4+5)?V(^rz+6

+、a+3)2—N〃+4+、O+5)2=2y](a+3)(a+6)-2yl(a+4)(〃+5),

且(〃+3)(a+6)—(〃+4)(a+5)=—2V0,々20,

2寸(a+3)(a+6)-2，(a+4)(a+5)<0,

即(q.+6+da+3)2—(.〃+4+]。+5)2<0,

；?p—q=yja+6+y/a+3—(yla+4+y/a+5)V0,故pVq.

13.比較大小：6F2+Z?2+c22(〃+Z?+c)—4.

解析：6Z2+/?2+c2—[2(6f+/?+c)—4]

=6t2+Z?2+c2—2?—2/?—2c+4

=(a-1)2+(/>-l)2+(c-1)2+121>0,

故iz2+b2+c2>2(a+Z?+c)—4.

答案：>

14.已知0<〃vZ?且a+b=l,試比較：

(l)H+〃與人的大小;

(2)2ab與3的大小.

解：(1)因為且。+〃=1,所以Ov〃d<b,

則a2+b2—b=a1+b(b—l)=a1—ab=a(a—b)<0,

所以a?+b2cb.

(2)因為2aZ?—J=2〃(l—〃)一:

=-2/+2〃一^=—2(。2—〃+；)=-2(〃一3)<0,

所以2ab<5.

15.兩次購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價

格的升降，每次購買這種物品的數量一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每

次購買這種物品所花的錢數一定.哪種購物方式比較經濟？你能把所得結論作一

些推廣嗎？

解：不妨設第一次購物時的價格為p\元/個，第二次購物時的價格為P2元/

個.

設按第一種策略購物，每次購〃個，則兩次購物的平均價格為小〃/詹〃=

(兀/個).

設按第二種策略購物，第一次花加元錢，則能購買京個物品，由題意知第二

次仍花m元錢，能購買六個物品，故兩次購物的平均價格為所告=了，(元/

"--I-——4—

p\pip\pi

個).

,4k,.，，,,，，T，，，人,A〃l+/?22pi+〃22〃l〃2

比較兩次購物的平均價格：-z——-----r=——〈=

2±+±2pi+p2

pipi

(〃l+〃2)2—4〃1〃2(pi-pD2

2(pi+〃2)2(pi+pz)i'

所以第一種策略的平均價格不小于第二種策略的平均價格，因此，用第二種

策略比較經濟.

推廣：一般地，如果是多次購買同一種物品，用第二種策略購買比較經濟.

2、不等式的性質

1.如果〃VO,6>0,那么下列選項正確的是（）

A.1<|B.y[^a<y[b

C.D.\a\>\b\

解析：選AVa<0,b>0,???，V0,1>0,故選A.

2.（2021?重慶一中月考）若a,b,c￡R且a>b,則下列不等式中一定成立的

是（）

A.ac>bcB.（〃-6）/>0

C.a1<b2D.3c—24V3c—2b

解析：選D對于選項A,人且c￡R,當c小于或等于0時，不等式

不成立，故A錯誤；對于選項B,a,b,c￡R,且〃>b,可得白一b>0,

當c=（）時不等式（4一份M〉。不成立，故B錯誤；對于選項C,當〃=2,/?=-1

時，滿足但不滿足/V從，故C錯誤；對于選項D,將不等式3c—2〃V

3c—2〃化簡即可得到a>。，成立，故D正確.

3.（2021?晉江四校高一聯考）己知實數"2,〃滿足一—1,一九W5,

則8n-5m的取值范圍是（）

A.-3<8k—5MW60B.-21W8〃-5mW78

C.12W8〃—5mW45D.3W8〃—5mW45

解析：選A由一可知一8W8/W40,由一4W也W-1可知1W—

mW4,則5W—5mW20,所以一3W8〃-5〃zW60,故選A.

4.（多選）若則下列不等式一定成立的有（）

A.x-1>1—yB.x-1>y—1

C.x-y>1—yD.1—x>y—x

解析：選BCDx-l-(1-y)=x+y-2,無法判斷它與0的大小關系，任取

特殊值x=2,y=—1得x—1—(1—y)VO,故選項A中不等式不一定成立；x—1

=

~(y~l)x—y>Of故選項B中不等式一定成立；x—y—(1~y)=x—1>0,故選

項C中不等式一定成立；1—X—x)=1—j>0,故選項D中不等式一定成立.故

選B、C、D.

5.已知實數x,y滿足-4Wx—yW—1,-lW4x—y《5,則M=9x—y的取

值氾圍是()

A.-7WMW26B.

C.4WMW15D.1WMW15

n-m

X—385

_--

解析：選B令m=x—y,n=4x—y則＜貝"9x-y7y23

fn-4m

y=^r~

4WAMW—1,.?.gW-

1W〃W5,；?一冬W岑.

Q5

因此一一gmW20,即一lW9x—yW20,故選B.

6.給出四個條件：①b>0>〃；②0>4>力；③④〃>6>0.能推得,vg成立

的是(填序號).

解析：所以①②④能使它成立.

答案：①②?

7.若lWaW5,-lWbW2,則。一人的取值范圍為.

解析：因為一1W6W2,所以一2W一力W1,又

所以一1W〃一Z?W6.

答案：一1W〃一bW6

8.已知一IVaV夕VI,則。一夕的取值范圍是.

解析：由一IVaVl,—IV夕VI,得一IV一夕VI.

所以一2Va-￡V2,但aVR故知一2Va一￡V0.

答案：一2Va一夕VO

9.已知且c>〃>0.求證:

證明：因為c>d>0,所以）>F>0，因為。>6>0,

所以號>￡>0,所以

10.若實數加，〃滿足，

解：令3/n+4〃=x(2m+3〃)+y(〃z—〃)=(2x+y)〃?+(3x—))〃,

71

因此3"z+4〃=5(2m+3〃)+m，〃一〃).

7714

由一lW2〃7+3〃<2得一5<5（2〃Z+3〃）W~^~.

311

由一3V/n一〃W1得一gVg（6一

所以一日一］<3機+4〃W牛+作，即一2V3/n+4〃W3.

11.給出下列命題：①a>Z?n〃2>按；②/>從今〃>6；③今《VI；@a

01V/其中正確的命題個數是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選A只有當a>b>0時，〃2>戶才成立，故①②都錯誤；只有當a

>0且〃>6時，臺1才成立，故③錯誤；當。>0,8V0時，故④錯誤.

12.（多選）若則下列結論中正確的是（）

A.a2<b2B.ab<h2

C.a-\-b<0D.\a\+\h\>\a+b\

2

解析：選ABC因為:4（。，所以〃va〈O,所以從*?,ab<bf。+*0,所

以A、B、C均正確，因為反”0,所以同+族|=|"+切，故D錯誤.故選A、B、

c.

13.已知三個不等式①出40；*%;③兒若以其中的兩個作為條件，

余下的一個作為結論，則可以組成個正確命題.

解析：①②今③，③①今②.（證明略）

bc^cid

由②得一不>0,又由③得be—ad>0,

所以H?>00①.所以②③0①.

所以可以組成3個正確命題.

答案：3

14.已知K—0W2,2Wa+bW4,求4〃-2。的取值范圍.

解：法一（待定系數法）：設4a—2b=m（〃一/?）+〃（〃+〃），則4〃-2。=（m+〃）〃

+（一〃z+〃）b,

加+〃=4,[/?=3,

所以J?解得彳

.—7??+?=-2,5=1.

所以4。-26=3（。-b）+（〃+b）.

因為lWa—bW2,所以3<3（〃-b）<6.

又2W〃+bW4,所以5《3（。一份+（〃+份〈1（）.

即5W4〃-2/?W10.

法二（換兀法）：設J一則。=-5—,b=—5―.

[71=674-/?,2，

所以4〃-2/?=2（加+〃）一（〃一〃2）=3〃Z+〃，

而加=〃-6W2,2<〃=。+/?<4,

所以5W4〃-2Z?W10.

15.若。>比>0,c<d<0t|例>|c|.

（1）求證：力+c>0；

Z?+ca-\-d

Q）求證：（a—。）2VQb—d42；

（3）在⑵中的不等式中，能否找到一個代數式，滿足（昔：）2V所求式

<2?若能，請直接寫出該代數式；若不能，請說明理由.

kb—a）

解：(1)證明：因為創>|c|,且比>0,c<0,所以比>一。，所以h+c>0.

(2)證明：因為c<dv0,

所以一c>—d>0.又a>b>0f

所以由同向不等式的可加性可得a—c>b—d>0,

所以(a—c)2>(/?—J)2>o,

所以0<(”「c)2V2,①

因為。d>cf所以由同向不等式的可加性可得。+辦b+c,所以a+d>b

+c>0,

②

不小.上八，b-\~ca+d

①②相乘-Q—c)2<(b—d)2?

(3)因為〃+辦b+c>0,0<(Jc)2<(Jd)2,所以(二)2<(:t；)2

QD2或Q—c)2VQ—c)2V(b—d)2?(只要寫出其中一個即可)

3、基本不等式

1.不等式〃+1>2版(a>0)中等號成立的條件是()

A.。=0B.a=2

C.ci=1D.a=2

答案：C

2.不等式〃2+324中，等號成立的條件是()

A.。=4B.a=y[2

C.a=~yl2D.a=±\/2

4廠

解析：選D此不等式等號成立的條件為〃=示，即故選D.

3.設a,h為正數，且。+8W4,則下列各式中正確的是（）

A.a-+Tb<1B.ab1

D.一+工22

C.a-+Tb<2ab

解析：選B因為芋）W住）=4,所以22yl=1,

當且僅當a=b=2時等號成立.

4.已知小Z?eR,且4b>0,則下列結論恒成立的是（）

A.a1-\~b1>2abB.a~\~b^2\/ab

C~+T>-/=D.一+工22

abyjab。b

22

解析：選D對于A,當a=b時，a-^-b=2abt所以A錯誤；對于B、C,

必>0只能說明出b同號，當。，力都小于0時，B、C錯誤；對于D,因為R?

>0,所以￡>0,f>0,所吟+圻2/弓,即恒成立.故選D.

5.（多選）設。>0,〃>0,下列不等式恒成立的是（）

A.a2-\~\>aB.（〃+:）（"+/）24

C.3+3七+￡）24D.4+9>6。

解析：選ABC由于4+1故A恒成立:

b=\時，"=”成立，故B恒成立；

由于3+此+/=2+與+注2+2\J1^j=4.當且僅當詈=今即a=b=\時,

“=”成立，故C恒成立；當a=3時，a2+9=6?,故D不恒成立.

6.不等式（x—2角十一天22成立的前提條件為________.

Ji4）

解析：因為不等式成立的前提條件是各項均為正,

所以x—2y>0,即x>2y.

答案：x>2y

7.已知OVxVl,則Ml一刈的最大值為，此時工=.

x+（1—x）2/112

解析：因為OV%V1,所以1—x>0,所以Ml一工）^15—:=QJ=

當且僅當x=l—x,即時"=”成立，即當時，Ml一幻取得最大值;.

答案：||

8.已知小b是不相等的正數，一艾祥,y=6n,則X,y的大小關

系是.

54_L）a+b+2y［Jb）,,

解析：f=-------y2=a+b=--------------------------.

■:a+b>2r\［而（a羊b）,/..r2<y2,Vx,y>0,,9.x<y.

答案：x<y

9.設。>0,b>0,且不等式;+）+±20恒成立，求實數火的取值范圍.

aba-rb

解：因為。>0,b>0,所以原不等式可化為心一七+蘇/+份，所以右一

16

因為5+彳22（當且僅當〃=方時，等號成立）,

所以北+§-2這-4,

所以攵2—4,即人的取值范圍是［-4,+°°）.

10.設a,b,c都是正數，試證明不等式：手+審+審26.

證明：因為。>0,/?>0,c>0,

b

-

所以L/2,-+-^2,+-c

所以（對）+（第）+伶+患6,

當且僅當沁c_ac_b

acfbcf

即a=b=c,時，等號成立.

b+cc+a。+力

所以26.

11.如果正數a,b、c,d滿足a+Z?=cd=4,那么（）

A.abWc+d,且等號成立時a，b,c,d的取值唯一

B.ab2c~\~d,且等號成立時a,b,c,d的取值唯一

C.abWc+d,且等號成立時a,b,c,d的取值不唯一

D.ibNc+d,且等號成立時a,b,c,d的取值不唯一

解析：選A?.7+/?222〃/?,=4,當且僅當a=b=2時取等

號.???c+d22日，???c+d22&j=4,當且僅當c=d=2時取等號.故c+d2ab,

當且僅當a=b=c=d=2時取等號.

12.（多選）設小b是正實數，則下列各式中成立的是（）

A.a-\-b^2y[abB.

?+4_a+b-2ab

°y[ab^2\[abD-

解析：ABC由巴君2迎得a+bN2痂,當且僅當時等號成立，

A成立；,?也+注2y=2,當且僅當a=Z?時等號成立，.'B成立;

喘=2病

y[ab當且僅當4=6時等號成立，??.C成立;

..a+b2ab(a-b)2ea±b2ab_.

,2〃+%—2(〃+b)~°，??21。+6??D不成工,故選A、B、

C.

f+x+3

13.設Q。，則下丁的最小值為

爐+1+3

解析：由4>0,可得x+i>i.令/=x+i（>i）,則工=/一1,則一q-j—

人?1

(/-I)2+/-l+3,3~

t當且僅當t=y[3,即

----------；-------------+7—122?y—1=2^3—1,

-1時，等號成立.

答案：2事一1

14.是否存在正實數〃和兒同時滿足下列條件:①a+b=10；②^+臺l（x>0,

）>0）且x+y的最小值為18,若存在，求出a,b的值；若不存在，說明理由.

解：因為紅臺八

所以工+3=（1+）招+g）=4+/?+3+?*+8+2^/^=（如+的2,

yjyx

又x+y的最小值為18,所以（、「+也）2=18.

'（W+亞）2=18,4=2,。=8,

由或

4+匕=10,、b=8b=2.

故存在實數a=2,。=8或。=8,b=2滿足條件.

15.閱讀下列材料:

二元基本不等式：設小b為正數，則守2匹，當且僅當。=匕時等式成

立.

證明：因為（々+6）2—4〃6=（4—6）220,所以（〃+6）224〃6,從而得“;

當且僅當。=b時等式成立.

三元基本不等式：設小b,c為正數，則a+:+c》以,當且僅當。=8=

c時等式成立.

證明：設d為正數，由二元基本不等式，

得----4----一六一及7abed,當且僅當a=b=c=d

時，等式成立.

令仁丐上，即〃+b+c=3d,代入上述不等式，得心場工,

由此推出因止匕"+：+'》外abc,當且僅當〃=Z?=c時等式成立.

利用上述結論求解：設〃>0,b>0,c>0,a+b+c=lt求（1一〃）（1一份（1

一c）的最大值.

解：因為。>0,Z?>0,c>0,"+?+c2孔be,

〃+/7+c、3

所以abcW

又因為a+b+c=l,

0<1-?<1,0<l-Z?<l,0<l-c<l,

..,71—Q+1-6+1-(?、38

所以(l—G(l—f6)(l—c)W\---------------J=方，

當且僅當4=Z?=C=；時，等號成立.

8

所以(1—4)(1—6)(1—C)的最大值為行，

4、基本不等式的應用

1.若0<aVb,且。+b=l,則下列四個數中最大的是()

A.；B.a2+b2

C.2abD.a

u

解析：選B：0<a<bf且a+b=l,：.a<^.

缶+拉|2I

a2+b2=(a-^-b)2—2ab>[a+b)2—=2.

足+戶一2〃b=(a—/?)2>o,?，?a2+力2最大

2.某工廠第一年產量為八，第二年的增長率為處第三年的增長率為從這

兩年的平均增長率為x,則()

。+人a+h

A.x=B.xW

解析：選B由條件知A(1+〃)(1+/?)=A(1+X)2,

(1+a)+(1+b)12

所以(1+x)2=(l+a)(l+歷W

2

所以1+x<1+）,故x^-.

乙49

3.某人要用鐵管做一個形狀為直角三角形且面積為1n?的鐵架框（鐵管的粗

細忽略不計），在下面四種長度的鐵管中，最合理（夠用，又浪費最少）的是（）

A.4.6mB.4.8m

C.5mD.5.2m

解析：選C設直角三角形兩直角邊長分別為％m,ym,則；xy=l,即xy

=2.

周長啦+224.83（m）,

當且僅當x=y時等號成立.結合實際問題，可知選C.

4.若一4VxVl,則2g（）

A.有最小值1B.有最大值1

C.有最小值一1D.有最大值一1

...『一2r+21「/,x.]

解析：選D—~~~=5（"-1）+、一1.

2x—24xi」

又?.?-4<x<1,Ax-1<（）./.一（ll）>0.

工原式=一T一（彳-1）+_（1_]）W-1,當且僅當x—1=T；Y，即x

=0時等號成立.

5.（多選）若x>0,y>0且x+y=4,則下列不等式中恒成立的是（）

A.!>4B.'+,21

x+y4xy

C.y[xy^2D.921

xy

解析：選BC若x>0,y>0f由x+y=4,得工=；,故A錯誤：7+7=

Xiy-y

/x+此+3=柒2+*需9（2+2）=1,當且僅當x=y=2時’等號成立’故

B正確；因為x>0,y>0,x+y=4,且x+y22\/H，所以、孫W2,故C正確；

因為所以孫<4,所以石2不當且僅當x=y=2時，等號成立，所以D

錯誤.

(x+1)(2y+l)

6.設x>0,y>0,x+2)=5,則的最小值為

(x+1)⑵+1)2p+x+2y+l2xy+6

解析:yfxy而一S~222X

3

-

2=4，§,當且僅當孫=3,x+2），=5,即x=3,y=l或尤=2,y=2

時等號成立.故所求的最小值為4小

答案：4小

7.已知x>0,y>0,且滿足;+；=1,則口的最大值為,取得最

大值時y的值為.

解析：因為x>0,y>0f且1=升含所以盯W3.當且僅當尹卡=今

3

即-

=2

答案：32

8.為凈化水質，向一個游泳池加入某種化學藥品，加藥后池水中該藥品的

濃度。（單位:mg-i）隨時間f（單位:h）的變化關系為。=錯20f，則經過_______h

后池水中該藥品的濃度達到最大.

黯

解析

為

所

因

C20>O以

=-4,

r+7

4（當且僅當/=點即，=2時等號成立

4

20

所以c=24047即，=2時，C取得最大值.

+7

答案：2

2

9.已知JGy,Z為正數且滿足x—2y+3z=o,求孑的最小值.

,八，x+3z小，,?y2x2+9z2+6xz

解：由x—2y+3z=0,得y=~—.因為x,yfz為正數，所以布

T?仔+9+6)2(?(2\g+6)=3,當且僅當x=3z時’等號成立.所以￡

的最小值為3.

10.志愿者團隊要設計一個如圖所示的矩形隊徽ABCD,三知------

點￡在邊CD上，AE=CE,AB>AD,矩形的周長為8cm./

(1)設A8=xcm,試用x表示出圖中。七的長度，并求出x的取值范圍；

(2)計劃在△AOE區域涂上藍色代表星空，如果要使△ADE的面積最大，那

么應怎樣設計隊徽的長和寬.

解：(1)由題意可得40=(4—x)cm,且公>4一七>0,可得2<xV4.

222

??1CE=AE=x-DEf在RtZkAOE中，AE=AD+DE,

Q

即(X-OF)2=(4-X)2+D￡2,化簡得OE=4-：(2<rV4).

11(8'

(2)S"OE=]A。*^￡=2(4—x)|^4—-

當且僅當x=2啦時取等號，此時4一X=4-2啦，即隊徽的長和寬分別為2啦

cm,(4—26)cm時，△AOE的面積取得最大值.

11.(多選)一個矩形的周長為/,面積為5,則如下四組數對中，可作為數對

(S,/)的是()

A.(1,4)B.(6,8)

C.(7,12)D.(3,

解析：選AC設矩形的邊長分別為x,yf則x+y=￡/,5=盯.對于A,(1,

4),則x+y=2,xy=l,根據基本不等式得町W(甘,符合題意；對于B,(6,

8),則x+y=4,孫=6,根據基本不等式得,不符合題意；對于C,

(7,12),則尢+y=6,xy=7f根據基本不等式得盯W符合題意；對于

(空2

D,3,2,則x+y=",xy=3,根據基本不等式得xyW,不符合題意.故

選A、C.

1

12.（2021?兀錫市高一月當）已知小力，c滿足當心3c?時，不等式

b-c

+￡>o恒成立，則％的取值范圍是（）

A.4W0B.A<1

C.1<4D.4>4

解析：選C由題意知，原不等式可變形為衣伍一。〉=［（ai）

（、,o~bb-c,

+S-c）］，E1+?H1=1+—+（口+1，

d-bb-c

而1+廣工+^^+124（當且僅當（0一份2=3-0）2時等號成立），則義<4.故

選C.

13.（2021?泰州后一月考）“勾股容方”問題出自我國漢代數學名著《九章算

術》，該問題可以被描述為：“設一直角三角形（如圖①）的兩直角邊長分別為。和

b,求與該直角三角形具有公共直角的內接正方形的邊長”，公元263年，數學

家劉徽為《九章算術》作注，在注中他利用出入相補原理給出了上述問題如圖②

和圖③所示的解答，則圖①中與直角三角形具有公共直角的內接正方形的邊長為

,當內接正方形的面積為1時，則圖③中兩個標有“朱”的三角形和兩

個標有“青”的三角形的面積總和的最小值為.

解析：設內接正方膨的邊長為右則圖②的面積為ah,圖③的面積為（〃+h）x,

因為圖②和圖③的面積相等，則有M=（a+b）x,解得x=黑，故內接正方

形的邊長為

a-rb

因為內接正方形的面積為1,所以內接正方形的邊長x=l,則有a+b=ab,

利用基本不等式可得，a+b=ab^2y［^bt故時24,當且僅當。=8=2時取

等號,

所以兩個標有“朱”的三角形和兩個標有“青”的三角形的面積總和為ab

一222,

故圖③中兩個標有“朱”的三角形和兩個標有“青”的三角形的面積總和的

最小值為2.

套案.2

□米.a+b2

14.已知〃，b為正實數，且!+t=2、反

（1）求a2-\~b2的最小值；

（2）若（a一份2=4（而）3,求昉的值.

解：⑴因為a,b為正實數，且5+\=2陋，所以'+'=2陋即

（當且僅當a=b時等號成立）.

因為02+/》2"22乂：=1（當且僅當時等號成立），

所以4+加的最小值為］

（2）因為［+［=26，所以〃+〃=26出;.因為（。一32=4（而）3,所以（〃十32一

2

4ab=4（源,即（2?〃與2—4必=4（。33,^（ab）-2ab+1=0,1）2=（）.因為

凡匕為正實數，所以"=1.

15.2020年1月，在抗擊新型冠狀病毒感染的肺炎疫情中，武漢市為了落

實“四類人員”分類集中管理措施，迅速啟動“方艙醫院”建設.某單位決定用

募捐的18.8萬元把一會展中心（長方體狀，高度恒定）改造成方艙醫院，假設方艙

醫院的后墻利用原墻不花錢，正面用一種復合板隔離，每米造價40元，兩側用

磚砌墻，每米造價45元，頂部每平方米造價20元.問：

（1）改造后方艙醫院的面積S的最大值是多少？

（2）為使S達到最大，旦實際造價又不超過預算，那么正面復合板應設計為多

長？

解：（1）設正面復合板長為xm,側面長為ym,總造價為z元，則方艙醫院

的面積S=AJ，，總造價z=40x+2X45y+20xy=40x+90y+20xy.

由條件知zW188000,即4x+9y+2xyW18800.

188(X)-4x

Vx>0,y>O???)，W

f9+2x'

令l=9+2x,則(>9),

t-918800-(2/-18)

：.S=xy^~^~?----------------;------------------=

JLt

-^+94187-9X9409，，9X9409、，?~9X9409,

----------------=-lr+--~~J+9418W—2yL--------+9

418=-2X3X97+9418=8836,

9X9409