6.2.3平面向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算第六章2021課標(biāo)闡釋1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐標(biāo)表示.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解向量坐標(biāo)的概念,掌握兩個向量和、差及數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.了解用坐標(biāo)表示平面向量共線條件的推導(dǎo)過程,理解坐標(biāo)表示的平面向量的共線條件.會用坐標(biāo)表示的平面向量的共線條件解決問題.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)【激趣誘思】在物理的學(xué)習(xí)中我們知道:飛機(jī)沿仰角為α的方向起飛的速度v,可分解為水平方向的速度vcosα和豎直方向的速度vsinα.把一個向量分解到兩個不同的方向,特別是兩個互相垂直的方向,可使許多度量問題變得較為簡單,這就是向量的正交分解.有了向量的正交分解,向量就可用平面直角坐標(biāo)表示,從此向量的計(jì)算就轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算.本節(jié)我們就學(xué)習(xí)向量的正交分解和向量的坐標(biāo)表示.【知識點(diǎn)撥】

知識點(diǎn)一:平面向量的坐標(biāo)1.向量垂直:平面上的兩個非零向量a與b,如果它們所在的直線互相垂直,我們就稱向量a與b垂直,記作a⊥b.規(guī)定零向量與任意向量都垂直.2.正交分解:如果平面向量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就稱這組基底為正交基底;在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解.3.向量的坐標(biāo)一般地,給定平面內(nèi)兩個相互垂直的單位向量e1,e2,對于平面內(nèi)的向量a,如果a=xe1+ye2,則稱(x,y)為向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y).名師點(diǎn)析

1.在平面直角坐標(biāo)系中,向量和坐標(biāo)是一一對應(yīng)關(guān)系由此可見,在全體有序?qū)崝?shù)對與坐標(biāo)平面內(nèi)的所有向量之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.因此在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)或向量都可以看作有序?qū)崝?shù)對的直觀形象.2.向量的坐標(biāo)的注意點(diǎn)(1)向量的坐標(biāo)與其終點(diǎn)的坐標(biāo)不一定相同.如果向量是以坐標(biāo)原點(diǎn)為始點(diǎn)的,則向量的坐標(biāo)就與其終點(diǎn)的坐標(biāo)相同;如果向量不以坐標(biāo)原點(diǎn)為始點(diǎn),則向量的坐標(biāo)就與其終點(diǎn)的坐標(biāo)不同.(2)向量a的坐標(biāo)(x,y)既能刻畫向量a的模,同時也能刻畫向量a的方向.(3)求向量的坐標(biāo)一般轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo),解題時常常結(jié)合幾何圖形.微思考1向量的正交分解與平面向量基本定理有何聯(lián)系?提示

正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直時).微思考2點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)有何區(qū)別與聯(lián)系?提示

(1)表示形式不同,向量a=(x,y)中間用等號連接,而點(diǎn)的坐標(biāo)A(x,y)中間沒有等號.(2)意義不同,點(diǎn)A(x,y)的坐標(biāo)(x,y)表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置,a=(x,y)的坐標(biāo)(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.另外,(x,y)既可以表示點(diǎn),也可以表示向量,敘述時應(yīng)指明點(diǎn)(x,y)或向量a=(x,y).(3)聯(lián)系:當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時,平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同.微練習(xí)給出下列說法:①相等向量的坐標(biāo)相同;②平面上一個向量對應(yīng)平面上唯一的坐標(biāo);③一個坐標(biāo)對應(yīng)唯一的一個向量;④平面上一個點(diǎn)的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為始點(diǎn),該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量對應(yīng).其中正確的個數(shù)是(

)A.1

B.2

C.3

D.4答案

C解析

①②④正確.③中一個坐標(biāo)對應(yīng)無數(shù)個向量.知識點(diǎn)二:平面上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系1.向量加法與減法運(yùn)算設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),u,v是兩個實(shí)數(shù),則(1)ua+vb=(ux1+vx2,uy1+vy2);(2)ua-vb=(ux1-vx2,uy1-vy2).3.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)為平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn),則4.向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x2y1=x1y2.名師點(diǎn)析

描述兩向量共線的三種方法1.幾何表示法:若非零向量a與b共線,則存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使得b=λa.它體現(xiàn)了向量a與b的大小及方向之間的關(guān)系.2.代數(shù)表示法:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則當(dāng)a與b共線時x2y1=x1y2.用它解決平面向量共線問題的優(yōu)點(diǎn)在于不需要引入?yún)?shù)λ,從而減少了未知數(shù)的個數(shù),而且它使問題的解決具有代數(shù)化的特點(diǎn)和程序化的特征.3.比例形式表示法:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則當(dāng)a與b共線時,(x2,y2≠0).這種形式不易出現(xiàn)搭配錯誤,但有x2,y2≠0的限制.微判斷(1)兩個向量的終點(diǎn)不同,則這兩個向量的坐標(biāo)一定不同.(

)(2)當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時,向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).(

)(3)兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的順序無關(guān).(

)(4)向量(2,3)與向量(-4,-6)同向.(

)×√××微練習(xí)A.4

B.8

C.0

D.2答案

A課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一求向量的模例1設(shè)平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,則|2a-b|等于(

)分析綜合應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示和向量的模求解.答案

D解析

由a∥b,得y=-4,b=(-2,-4),∴2a-b=(4,8),∴|2a-b|=4.故選D.反思感悟

求向量的模的基本策略變式訓(xùn)練1若向量a的始點(diǎn)為A(-2,4),終點(diǎn)為B(2,1),求:(1)向量a的模;(2)與a平行的單位向量的坐標(biāo).探究二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2(1)已知a+b=(1,3),a-b=(5,7),則a=

,b=

.

分析(1)用加減消元法求a,b的坐標(biāo).(2)方法一:設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo),用向量相等的坐標(biāo)表示列方程求值.(1)答案

(3,5)

(-2,-2)解析

由a+b=(1,3),a-b=(5,7),所以2a=(1,3)+(5,7)=(6,10),所以a=(3,5),2b=(1,3)-(5,7)=(-4,-4),所以b=(-2,-2).(2)解

(方法一)待定系數(shù)法反思感悟

平面向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算的方法(1)若已知向量的坐標(biāo),則直接應(yīng)用兩個向量和、差及數(shù)乘向量的運(yùn)算法則進(jìn)行.(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則可先求出向量的坐標(biāo),然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.探究三向量坐標(biāo)運(yùn)算的綜合應(yīng)用(1)點(diǎn)P在第一、三象限角平分線上時λ的值;(2)點(diǎn)P在第三象限內(nèi)時λ的取值范圍.分析用λ表示點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)→根據(jù)條件列方程或不等式→求解反思感悟

1.解答本題可用待定系數(shù)法.此法是最基本的數(shù)學(xué)方法之一,實(shí)質(zhì)是先將未知量設(shè)出來,建立方程(組)求出未知數(shù)的值.2.坐標(biāo)形式下向量相等的條件:相等向量的對應(yīng)坐標(biāo)相等;對應(yīng)坐標(biāo)相等的向量是相等向量.由此可建立相等關(guān)系求參數(shù)的值.延伸探究

若本例條件不變,試求點(diǎn)P在第四象限時λ的取值范圍.

當(dāng)堂檢測答案

C2.已知向量a=(2,4),b=(m,-1),若a與2a+b共線,則實(shí)數(shù)m的值為(

)答案

C解析

由a=(2,4),b=(m,-1),則2a+b=(4+m,7),又因?yàn)閍與2a+b共線,則2×7=4×(4+m),解得m=-.3.(2020山東濰坊高一月考)已知向量a=(1,x+1),b=(x,2),若滿