-）。如果σ>0且ω≠0，則xc(t)在Ec平面內(nèi)螺旋離開(kāi)不動(dòng)點(diǎn)XQ；若σ<0，xc(t)在Ec平面內(nèi)螺旋收縮到不動(dòng)點(diǎn)XQ。這些性質(zhì)在進(jìn)行每個(gè)區(qū)域分析時(shí)都非常有用。非線性負(fù)阻的結(jié)構(gòu)[9]如圖2所示，由兩個(gè)封裝在一起的運(yùn)算放大器（雙運(yùn)算放大器集成電路FL353N）和6個(gè)定值電阻（R1=3.3kΩ、R2=R3=22kΩ、R4=2.2kΩ、R5=R6=220Ω，精度1%）構(gòu)成，輸入電源電壓±15V。理想的非線性負(fù)阻具有如圖3所示的I-V特性，被±E拆分為上中下三個(gè)區(qū)域，在各個(gè)區(qū)域都是線性函數(shù)，分段函數(shù)的斜率依次為Gb、Ga、Gb，且滿足Ga<Gb<0。由運(yùn)算放大器電路的參數(shù)可計(jì)算[12]出Ga=-1/R1-1/R4=(-7.6±0.1)×10-4Ω-1，Gb=1/R3-1/R4=(-4.09±0.06)×10-4Ω-1。圖2：非線性負(fù)阻的內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖3：理想非線性負(fù)阻I-V特性（示意圖）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容各種混沌現(xiàn)象的觀測(cè)用圖1所示的方法，調(diào)節(jié)可調(diào)電阻R，觀察單周期、雙周期、陣發(fā)混沌、三周期、單吸引子、雙吸引子等相圖，并記錄各種相圖對(duì)應(yīng)的U1,U2的信號(hào)特點(diǎn)。測(cè)量非線性負(fù)阻的I-Ｖ特性1、用如圖4所示的方法，用信號(hào)發(fā)生器驅(qū)動(dòng)，分別在30Hz，300Hz和3.3kHz等頻率測(cè)量非線性負(fù)阻的I-V特性，討論不同頻率時(shí)I-V曲線的特點(diǎn)。圖4：外部信號(hào)掃描測(cè)量I-V特性電路圖用圖5所示的方法：在電路中接入一個(gè)r=100Ω的采樣電阻，非線性負(fù)阻兩端的電壓U1仍在CH1端測(cè)量，用CH2端輸出的r兩端的電壓代替電流信號(hào)來(lái)記錄I-V曲線，實(shí)驗(yàn)時(shí)利用蔡氏電路自身的振蕩信號(hào)代替信號(hào)發(fā)生器的輸入。CH1和CH2的信號(hào)輸入另一雙蹤示波器觀察非線性電路的二位相圖，記錄電路出現(xiàn)各種混沌狀態(tài)時(shí)的I-V曲線。比較上述兩種方法得到的I-V曲線的異同，并討論原因。分析第二種方法得到的結(jié)果，并解釋相圖和I-V曲線之間的關(guān)聯(lián)。圖5：內(nèi)置信號(hào)掃描測(cè)量I-V特性電路圖5、（選做）用伏安法測(cè)量非線性負(fù)阻的I-V曲線，分析得到的結(jié)果。三、（選做）元件參數(shù)測(cè)量和非線性方程的求解1、用萬(wàn)用表測(cè)量電路中的電容、電感的值。（有興趣的同學(xué)可查閱萬(wàn)用表測(cè)電容、電感的原理。）2、用函數(shù)信號(hào)發(fā)生器作電源，用伏安法測(cè)量電容、電感的值，討論電流、頻率不同時(shí)，測(cè)量結(jié)果的變化。注意：實(shí)際有鐵芯電感的等效模型為一個(gè)理想電感和一個(gè)損耗電阻的組合。3、用高精度的LCR表測(cè)量各個(gè)元件的參數(shù)。4、用實(shí)際測(cè)得的實(shí)驗(yàn)參數(shù)求解非線性方程組（1），找出不同條件下的不動(dòng)點(diǎn)，分析不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性和解的特點(diǎn)。四、（選做）C調(diào)制設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方法，實(shí)現(xiàn)用電容C的調(diào)節(jié)了得到各種混沌相圖，并討論G調(diào)制和C調(diào)制得到的相圖的不同。（選做）數(shù)值模擬采用四階Runge-Kutta法求解方程組（1），畫(huà)出各種相圖。用FFT法分析各種相圖時(shí)時(shí)域型號(hào)的頻率特性。繪制U1隨R變化的分岔圖，得出單周期、雙周期等混沌狀態(tài)時(shí)的R值，和實(shí)驗(yàn)觀察的結(jié)果進(jìn)行比較。（探索）混沌保密通訊閱讀文獻(xiàn)，了解混沌通訊的原理和實(shí)現(xiàn)方法，從實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)兩臺(tái)混沌實(shí)驗(yàn)儀的信號(hào)同步，并完成混沌保密通訊的原理演示實(shí)驗(yàn)。（探索）分形用計(jì)算機(jī)編程得到各種分形圖形。思考題非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的特點(diǎn)有哪些？一個(gè)自治的非線性系統(tǒng)至少包含哪些元件？各起什么作用？將非線性負(fù)阻直接接到一個(gè)電阻兩端，隨著外接電阻阻值的改變，電阻上的電壓和電流之間會(huì)有什么關(guān)系？有興趣的同學(xué)可以進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量，并解釋得到的結(jié)果。怎樣求解非線性方程組？什么是Runge-Kutta法？G調(diào)制和C調(diào)制有什么不同？參考文獻(xiàn)JamesGleick,張淑譽(yù),郝柏林.混沌開(kāi)創(chuàng)新科學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2004年.L.O.Chua.NonlinearCircuits[J].IEEETransactionsonCircuitsandSystems.CAS-31(1),1984:69-87.P.R.Hobson,A.N.Lansbury.Asimpleelectroniccircuittodemonstratebifurcationandchaos[J].PhysicsEducation,31,1993:39-43.G.Q.ZhongandF.Ayrom.Experimentalconfirmationofchaosfromchua'scircuit[J].InternationalJournalofCircuitTheoryandApplications,13(1),1985:93-98.J.H.Lu,G.R.Chen.GeneratingMultiscrollChaoticAttractors:Theories,MethodsAndApplications[J].InternationalJournalofBifurcationandChaos,16(4),2006:775-858.G.R.Chen,TUeta.YetAnotherChaoticAttractors[J].InternationalJournalofBifurcationandChaos,9(7),1999:1465-1466.M.P.Kennedy.OntheRelationshipbetweentheChaoticColpittsOscillatorandChua'sOscillator[J].IEEETransactionsonCircuitsandSystems,42(6),1995:376-379.馮朝文,蔡理,康強(qiáng).基于單電子器件的混沌電路研究[J].ACTAPHYSICASINICA物理學(xué)報(bào),57(10),2008:6155-6161.王珂,田真,陸申龍.非線性電路混沌現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)裝置的研究[J].實(shí)驗(yàn)室研究與探索,4,1999:43-45.許巍，熊永紅，李定國(guó)等.基于LabVIEW數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的混沌電路實(shí)驗(yàn)[J].物理實(shí)驗(yàn),29(2),2009:20-22劉興云,魯池梅,程永山.基于虛擬儀器三維多渦卷混沌電路的研究[J].大學(xué)物理,27(6),2008:38-41M.P.Kennedy.ThreestepstochaospartⅡ:Achua'scircuitprimer[J].IEEETransactionsonCircuitsandSystems,40(10),1993:657-674.實(shí)驗(yàn)資料復(fù)旦天欣科教儀器有限公司：NCE-2型非線性電路混沌實(shí)驗(yàn)儀產(chǎn)品說(shuō)明書(shū)。2000.2上海新建儀器設(shè)備有限公司：XJ4400系列數(shù)字存儲(chǔ)示波器課外閱讀：非線性科學(xué)概要——為《非線性物理概論》一書(shū)寫(xiě)的序言汪秉宏 上一世紀(jì)初量子力學(xué)和相對(duì)論的發(fā)現(xiàn)，因?yàn)樘岢隽送黄迫藗儌鹘y(tǒng)思維的新概念，將人類(lèi)的世界觀推進(jìn)到超越經(jīng)典的領(lǐng)域，而被公認(rèn)為是物理學(xué)或更確切地說(shuō)是科學(xué)的兩次革命。牛頓創(chuàng)立的經(jīng)典力學(xué)被發(fā)現(xiàn)并不始終是正確的。當(dāng)深入到微觀尺度（<10-8cm），應(yīng)該取代為量子力學(xué)，當(dāng)物體的速度接近于光速（～1010cm/s），則相對(duì)論是正確的。 非線性科學(xué)作為科學(xué)的一個(gè)新分支，如同量子力學(xué)和相對(duì)論一樣，也將我們引向全新的思想，給予我們驚人的結(jié)果。非線性科學(xué)的誕生，進(jìn)一步宣布了牛頓的經(jīng)典決定論的局限性。它指出，即使是通常的宏觀尺度和一般物體的運(yùn)動(dòng)速度，經(jīng)典決定論也不適用于非線性系統(tǒng)的混沌軌道的行為分析。非線性科學(xué)涵蓋各種各樣尺度的系統(tǒng)，涉及以任意速率運(yùn)動(dòng)的對(duì)象，這一事實(shí)絲毫不降低這一新學(xué)科的創(chuàng)新性，恰恰相反，剛好說(shuō)明它具有廣泛的應(yīng)用性。從這一點(diǎn)來(lái)看，其實(shí)非線性科學(xué)的誕生和發(fā)展更有資格被稱(chēng)為科學(xué)的一場(chǎng)革命。 非線性科學(xué)，目前有六個(gè)主要研究領(lǐng)域，即：混沌、分形、模式形成、孤立子、元胞自動(dòng)機(jī)，和復(fù)雜系統(tǒng)。而構(gòu)筑多種多樣學(xué)科的共同主題乃是所研究系統(tǒng)的非線性。 一個(gè)系統(tǒng)，如果其輸出不與其輸入成正比，則它是非線性的。例如一個(gè)介電晶體，當(dāng)其輸出光強(qiáng)不再與輸入光強(qiáng)成正比，就成為非線性介電晶體。例如彈簧，當(dāng)其位移變得很大時(shí)，胡克定律就失效，彈簧變?yōu)榉蔷€性振子。又例如單擺，僅當(dāng)其角位移很小時(shí)，行為才是線性的。實(shí)際上，自然科學(xué)或社會(huì)科學(xué)中的幾乎所有已知系統(tǒng)，當(dāng)輸入足夠大時(shí)，都是非線性的。因此，非線性系統(tǒng)遠(yuǎn)比線性系統(tǒng)多得多，客觀世界本來(lái)就是非線性的，線性只是一種近似。任何系統(tǒng)在線性區(qū)和非線性區(qū)的行為之間存在顯著的定性上的差別。例如單擺的振蕩周期在線性區(qū)不依賴(lài)于振幅，但在非線性區(qū)，單擺的振蕩周期是隨振幅而變的。 從數(shù)學(xué)上看，非線性系統(tǒng)的特征是迭加原理不再成立。迭加原理是指描述系統(tǒng)的方程的兩個(gè)解之和仍為其解。迭加原理可以通過(guò)兩種方式失效。其一，方程本身是非線性的。其二，方程本身雖然是線性的，但邊界是未知的或運(yùn)動(dòng)的。 對(duì)于一個(gè)非線性系統(tǒng)，哪怕一個(gè)小擾動(dòng)，象初始條件的一個(gè)微小改變，都可能造成系統(tǒng)在往后時(shí)刻行為的巨大差異。迭加原理的失效也將導(dǎo)致Fourier變換方法不適用于非線性系統(tǒng)的分析。因此，系統(tǒng)的非線性帶來(lái)系統(tǒng)行為的復(fù)雜性。對(duì)于非線性系統(tǒng)行為的解析研究是相當(dāng)困難的。 更進(jìn)一步，在許多情況下，對(duì)于我們所要研究的系統(tǒng)，方程是未知的，或甚至可能根本不存在。從分形圖樣生長(zhǎng)的簡(jiǎn)單的擴(kuò)散限制聚集模型，到象股票市場(chǎng)那樣的復(fù)雜經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，我們可以舉出無(wú)數(shù)寫(xiě)不出方程的非線性系統(tǒng)的例子。 混沌是非線性系統(tǒng)的最典型行為，它起源于非線性系統(tǒng)對(duì)于初始條件的敏感依賴(lài)性。混沌現(xiàn)象早在上世紀(jì)初就已經(jīng)被法國(guó)學(xué)者彭加勒所發(fā)現(xiàn)，后來(lái)又被許多數(shù)學(xué)家所仔細(xì)研究。而學(xué)術(shù)界近年來(lái)對(duì)于混沌的特別關(guān)注，則起始于七十年代，這是因?yàn)槊绹?guó)人費(fèi)根保姆發(fā)現(xiàn)了一些象平方函數(shù)重復(fù)迭代的很大一類(lèi)簡(jiǎn)單映射系統(tǒng)居然具有普適的性質(zhì)。例如倍周期分叉到混沌的道路，分叉參數(shù)的漸近收斂比值，分叉的幾何特征具有普適標(biāo)度性等等。而費(fèi)根保姆工作則是受到了美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茲與氣象預(yù)報(bào)有關(guān)的重要然而朦朧的工作的啟示。 對(duì)于混沌系統(tǒng)的如下兩個(gè)發(fā)現(xiàn)特別有意義。其一，人們發(fā)現(xiàn)一個(gè)決定論性系統(tǒng)的行為當(dāng)處于混沌狀態(tài)時(shí)似乎是隨機(jī)的。僅僅這一發(fā)現(xiàn)就迫使所有的實(shí)驗(yàn)家要重新考察他們的數(shù)據(jù)，以確定某些曾經(jīng)歸于噪聲的隨機(jī)行為是否應(yīng)該重新確定為是由于決定論性混沌而產(chǎn)生的。其二，人們發(fā)現(xiàn)很少自由度的非線性系統(tǒng)，就可能是混沌的而表現(xiàn)為相當(dāng)復(fù)雜。這一發(fā)現(xiàn)給我們以這樣的啟示：許多真實(shí)系統(tǒng)中所觀察到的復(fù)雜行為其實(shí)有一個(gè)簡(jiǎn)單的起源，那就是混沌。當(dāng)然，混沌僅僅是復(fù)雜性的起源之一，還存在并非來(lái)源于混沌的更復(fù)雜的復(fù)雜性。 決定論性混沌的真實(shí)系統(tǒng)（例如氣候）的行為具有明顯的不可預(yù)測(cè)性。這一是由于系統(tǒng)對(duì)于初始條件的敏感依賴(lài)性；二是由于我們?cè)趯?shí)際中只能近似地測(cè)量或確定系統(tǒng)的初始條件，因?yàn)槿魏螠y(cè)量?jī)x器都只具有有限的分辨率。這兩個(gè)根本困難排除了對(duì)于任何混沌的真實(shí)系統(tǒng)作出長(zhǎng)期預(yù)報(bào)的可能。 但從另一方面看，一個(gè)被確認(rèn)為決定論性混沌的系統(tǒng)，在看起來(lái)非常復(fù)雜的行為中，卻蘊(yùn)藏著秩序，因而進(jìn)行短期預(yù)報(bào)是可能的。問(wèn)題在于：如何確定復(fù)雜現(xiàn)象的背后是否存在決定論性混沌的起源？又，如何對(duì)一個(gè)混沌系統(tǒng)的行為進(jìn)行短期預(yù)報(bào)？對(duì)于氣象或股票市場(chǎng)一類(lèi)系統(tǒng)，由于不可逾越的復(fù)雜性，描寫(xiě)這類(lèi)系統(tǒng)的完全方程組，即使是存在的，也決無(wú)辦法知道。或者，即使我們能寫(xiě)出所有相關(guān)的方程組，也不可能有足夠強(qiáng)大功能的計(jì)算機(jī)來(lái)求解這些方程組。但是從實(shí)用的角度考慮，往往只需要對(duì)這類(lèi)系統(tǒng)作一次成功的短期預(yù)報(bào)。例如，為了在股票市場(chǎng)上賺錢(qián)，炒股者其實(shí)只需要能夠預(yù)測(cè)明天或下一周股票的漲跌趨勢(shì)，而不必知道市場(chǎng)的整個(gè)長(zhǎng)時(shí)間的漲落規(guī)律。又例如，如果地球巖石圈的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)被證明具有決定論性的成分，則地震的預(yù)測(cè)并非完全不可能，而與地震的中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)相比較，對(duì)某一地區(qū)的地震進(jìn)行短臨預(yù)報(bào)，對(duì)于人們的防震更有意義，所以，復(fù)雜系統(tǒng)行為的短期預(yù)測(cè)已經(jīng)變成混沌的最令人感興趣的一個(gè)應(yīng)用。 混沌的另一個(gè)重要應(yīng)用是混沌的控制。這一應(yīng)用基于如下事實(shí)：有許多不穩(wěn)定周期軌道嵌入在奇怪吸引子內(nèi)，我們可以根據(jù)需要通過(guò)對(duì)系統(tǒng)施加一個(gè)小擾動(dòng)的方法使其中之一穩(wěn)定并將混沌系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)到這一穩(wěn)定周期軌道狀態(tài)。這一技術(shù)已經(jīng)被成功地應(yīng)用于各種機(jī)械的、電子的、激光的、化學(xué)的系統(tǒng)和心臟組織的控制上。 自然界中的大多數(shù)特殊結(jié)構(gòu)是由大量相同組元自組織集結(jié)而成的。通過(guò)某種簡(jiǎn)單的稱(chēng)之為組織的構(gòu)造法就可以出現(xiàn)自集結(jié)過(guò)程。兩種最簡(jiǎn)單的構(gòu)造法是所謂規(guī)則性構(gòu)造法和隨機(jī)性構(gòu)造法。采用規(guī)則性構(gòu)造法，所有組元就排列成為周期或準(zhǔn)周期方式而構(gòu)造成例如晶體與合金等等。采用隨機(jī)性構(gòu)造法而形成的結(jié)構(gòu)（或非結(jié)構(gòu)）的例子有氣體和動(dòng)物毛發(fā)的分布等等。而在這兩種極端的構(gòu)造法之間，則有自相似構(gòu)造法，這將產(chǎn)生稱(chēng)為分形的自相似結(jié)構(gòu)。在一個(gè)分形中，系統(tǒng)的局部與整體相似。分形通常具有分?jǐn)?shù)維數(shù)。許多分形還可能是不同分?jǐn)?shù)維的分形的集合，故稱(chēng)為多重分形。分形和多重分形的名詞，是上世紀(jì)八十年代由曼德勃羅特首先提出的。現(xiàn)在，分形在自然界和數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的廣泛存在性已被人們普遍認(rèn)識(shí)。例如：凝聚體和膠體、樹(shù)木、巖石、山脈、云彩、星系、粗糙的表面和界面、聚合物和股票市場(chǎng)，無(wú)不存在分形。而耗散動(dòng)力系統(tǒng)中的混沌就表現(xiàn)為相空間中具有分形結(jié)構(gòu)的奇怪吸引子。奇怪吸引子本身及其吸引域都可能是分形。混沌與分形之間的這種聯(lián)系至今尚未被充分理解。 分形系統(tǒng)的最典型性質(zhì)是缺少空間的特征尺度。這一性質(zhì)可以有三種等價(jià)的表達(dá)方式：拓樸自相似性，空間的冪函數(shù)律，和標(biāo)度不變性。類(lèi)似的，系統(tǒng)中不存在時(shí)間的特征尺度將導(dǎo)致時(shí)間的冪函數(shù)律，例如，1/f噪聲。為了解釋分形和無(wú)特征尺度行為在非平衡系統(tǒng)中的廣泛存在性，丹麥人巴克和中國(guó)學(xué)者湯超等在1987年提出了自組織臨界性假設(shè)，現(xiàn)在人們知道，自組織臨界性假設(shè)不僅適用于沙堆，也適用于許多自然系統(tǒng)和社會(huì)系統(tǒng)。 人們?cè)缇妥⒁獾胶恿鳌?shù)枝、葉脈、和閃電所形成的分枝之間有驚人的相似性。這些分枝的斑圖與在云彩和海藻類(lèi)群落中所觀察到的緊致斑圖顯然不同。大自然是如何生成這些斑圖的？這些不同斑圖模式的形成是否存在一種簡(jiǎn)單的原理或普適的機(jī)制？目前還找不到對(duì)于這些問(wèn)題的最終回答，但最近二十年來(lái)在這方面的研究已經(jīng)取得可喜的進(jìn)展。 混沌理論的成功也開(kāi)啟了復(fù)雜性科學(xué)的研究之門(mén)。在七八十年代，當(dāng)人們認(rèn)識(shí)了混沌之后，對(duì)于從自然系統(tǒng)和社會(huì)系統(tǒng)中獲得的各種時(shí)間序列，莫不用混沌動(dòng)力學(xué)來(lái)進(jìn)行分析，檢驗(yàn)其中的