8.5.3平面與平面平行回顧：平面與平面有哪些位置關(guān)系？空間中,兩個平面間的位置關(guān)系有且只有兩種:(1)兩個平面平行——沒有公共點;(2)兩個平面相交——有一條公共直線.ababa問題1.

下列命題正確嗎?(1)

若a∥b,l

a,則l∥b.(2)

平面a

內(nèi)有無數(shù)條直線與平面b

平行,則a∥b;（3）若平面a

內(nèi)的任一直線都平行于平面b,則a∥b.

(1)如下圖,bala

與b

沒有公共點,l

在a

內(nèi),則l

與a就不可能有公共點.(1)對aba2a1(2)下圖兩平面相交時,在一個平面內(nèi)也有無數(shù)條直線平行于另一平面.(2)錯.(3)對.啟示：線面平行面面平行轉(zhuǎn)化兩個平面平行的問題，可以轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行的問題。那么如何判定一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個平面呢？有沒有更簡便的方法？有限無限轉(zhuǎn)化bal

探究：

如圖8.5-11（1）,a和b分別是矩形硬紙片的兩條對邊所在直線，它們都和桌面平行，那么硬紙片和桌面平行嗎？如圖8.5-11（2）,c和d分別是三角尺相鄰兩邊所在直線，它們都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行嗎？

問題2.

試一試,你怎樣用鉛筆托一塊紙板使其平行桌面?至少要幾支鉛筆?一支?兩支?兩支的相互位置應怎樣?與桌面的位置關(guān)系應怎樣?面面平行的判定定理:

一個平面內(nèi)的兩條相交直線都與另一個平面平行,則這兩個平面平行.符號表示:ababa

a,b

a,a∩b,a∥b,b∥b,?a∥b.

例1.

如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,求證:平面AB1D1//平面C1BD.ABCDA1B1C1D1證明:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,D1C1//AB,且D1C1=AB,∴D1A//C1B,同理,由

B1C1//AD,且B1C1=AD,

C1D//平面AB1D1.又D1A

平面AB1D1,C1B

平AB1D1,∴C1B//平面AB1D1;又C1B、C1D都在平面C1BD內(nèi),且C1B∩C1D=

C1,∴平面AB1D1//平面C1BD.練習1.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F

分別是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1

的中點.求證:平面AMN//平面EFDB.在正方形A1B1C1D1內(nèi),∵M,N,E,F

分別是此正方形∴

MN∥B1D1,又連結(jié)NE,得NE∥A1B1∥AB,EF∥B1D1,得NEBA是平行四邊形,連結(jié)B1D1,ABCA1B1C1D1DEFMN證明:各邊的中點,

MN∥EF,且NE=A1B1=AB,

MN∥平面EFBD.①

2.

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F

分別是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1

的中點.求證:平面AMN//平面EFDB.在正方形A1B1C1D1內(nèi),∵M,N,E,F

分別是此正方形∴

MN∥B1D1,又連結(jié)NE,得NE∥A1B1∥AB,EF∥B1D1,得NEBA是平行四邊形,連結(jié)B1D1,ABCA1B1C1D1DEFMN證明:各邊的中點,

MN∥EF,且NE=A1B1=AB,

MN∥平面EFBD.①∴

AN∥BE,由①②得平面AMN∥平面EFDB.

AN∥平面EFBD.②3.

平面a

與平面b

平行的條件可以是()(A)a

內(nèi)有無窮多條直線都與b

平行

(B)直線a//a,a//b,且直線a

不在a

內(nèi),也不在b

內(nèi)

(C)直線a

a,直線b

b,且a//b,b//a(D)a

內(nèi)的任何直線都與b

平行ab(A)錯如圖.aba(B)錯如圖.abab(C)錯如圖.D問題3：若兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的直線a與另一個平面內(nèi)的直線有什么位置關(guān)系?abc平行或異面如何在α內(nèi)找到與a平行的直線呢？只要與a共面證明:a∩

=

a

∩

=

b已知：平面a，b，

g，a//b,a∩

=

a，

∩

=

b求證：

a//bbagabbagab兩個平面平行的性質(zhì)定理:

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行.由面面平行得線線平行.符號表示:a∥b,g∩a

=a,g∩b

=b,?a∥b.3.平行于同一平面的兩平面平行；4.過平面外一點有且只有一個平面與這個平面平行；面面平行的幾條性質(zhì):1.兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面.2.面面平行的性質(zhì)定理：

兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行

例2.

求證:夾在兩個平行平面間的平行線段相等.

已知:

a

∥

b,A?a,B?a,C?b,D?b,AC∥BD.求證:

AC=BD.證明:∵AC∥BD,∴

ACDB為一平面.由A?a,B?a,?平面ACDB∩a=AB,由C?b,D?b,?平面ACDB∩b=

CD,又a∥b.?AB∥CD,?AC=

BD.∵AC∥BD,CDbABa同步檢測

1.判斷下列命題是否正確,正確的在括號內(nèi)劃“√”號,錯誤的劃“×”號.(1)

如果a,b

是兩條直線,且a//b,那么a

平行于經(jīng)過b

的任何平面.()(2)

如果直線a

和平面a

滿足a//a,那么a

與a

內(nèi)的任何直線平行.()(3)

如果直線a,b

和平面a

滿足a//a,b//a,那么a//b.()(4)

如果直線a,b

和平面a

滿足a//b,a//a,b

a,那么b//a.()不平行過b

且過a

的那個平面.線面平行的判定.長方體作模型.長方體作模型.2.

選擇題.

(1)

下列命題中,錯誤的是()(A)平行于同一條直線的兩個平面平行

(B)平行于同一個平面的兩個平面平行

(C)一個平面與兩個平行平面相交,交線平行

(D)一條直線與兩個平行平面中的一個相交,則必與另一個相交A(2)

若直線a

不平行于平面a,則下列結(jié)論成立的是()(A)a

內(nèi)的所有直線都與直線a

異面

(B)a

內(nèi)不存在與a

平行的直線

(C)a

內(nèi)的直線都與a

相交

(D)直線a

與平面a

有公共點

(3)

已知直線a//平面a,P

a,那么過點P

且平行于a

的直線()(A)只有一條,不在平面a

內(nèi)

(B)有無數(shù)條,不一定在a

內(nèi)

(C)只有一條,且在平面a

內(nèi)

(D)有無數(shù)條,一定在a

內(nèi)a∩a時有相交的直線.a

a時有平行的直線.DC·Pa

3.

填空題.(1)

已知平面a、b

和直線a、b、c,且a//b//c,a

a,b、c

b,則a

與b

的關(guān)系是

;(2)

平面內(nèi)一點與平面外一點的連線和這個平面內(nèi)直線的關(guān)系是

.baabc(1)如圖,分析:bcabala//ba∩b=

l平行或相交

3.

填空題.(1)

已知平面a、b

和直線a、b、c,且a//b//c,a

a,b、c

b,則a

與b

的關(guān)系是

;(2)

平面內(nèi)一點與平面外一點的連線和這個平面內(nèi)直線的關(guān)系是

.(2)如圖,分析:平行或相交bQbcP··b∩PQ=P,c與PQ異面.相交或異面

4.

如圖,a、b

是異面直線,a

a,a∥b,b

b,

b∥a.求證a

∥

b.a證明：過a

作平面g∩b=

a

,bbag則在平面b

內(nèi),a

與b必相交,而a、b

是異面直線,∵a

a,a

a,?a∥b.a

∵a∥b,∴

a∥a

,∴

a∥a,又b∥a,CFg

5.

如圖,a∥b∥g,直線a

與b

分別相交a、b、g

于點A、B、C

和點D、E、F.

求證:證明:連結(jié)AF,交b

于G,再連結(jié)AD、BG、GE、CF,則A、B、C、F、G

共面，∵b∥g,∴BG∥CF,同理,在△AFD中,

防止錯誤地將直線a、b

看成共面.BEbAabaDG

6.

如圖,透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水,固定容器底面一邊BC于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下面五個命題:(1)有水的部分始終呈棱柱形;(2)沒有水的部分始終呈棱柱形;(3)水面EFGH所在四邊形的面積為定值;(4)棱A1D1始終與水面所在平面平行;(5)當容器傾斜如圖(3)所示時,BE·BF是定值.

其中所有正確命題的序號是

,為什么?ABCDA1B1C1D1EFHGABCDA1B1C1D1EHGFABCDA1B1C1D1EGFH(1)(2)(3)①②④⑤面AB1//面DC1,側(cè)棱平行.A1D1//EH.V水=S底

高,V水為定值,高為定值,則S底為定值.

7.

如圖,a

∩

b

=

a,b

a,c

b,b∥c,求證a∥b∥c.abcab證明:b

b,c

b,b∥c,?b∥b,b

a,a∩b

=

a,?

b∥a,∵b∥c,?

a∥c,?a∥b∥c.8.

已知AB、CD

是夾在兩個平行平面a、b

之間的線段,M、N

分別為AB、CD

的中點,求證:MN∥平面a.證明:若AB∥CD(如圖),AB、CD確定平面,設為g,ADBCMNabg則g∩