考研高等數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)

第一章、函數(shù)與極限

考試要求

（1）理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系。

函數(shù)的定義

定義設(shè)數(shù)集DUR,則稱映射/：DfR為定義在D上的函數(shù)，通常簡(jiǎn)記為

y=f（x）,HGD,

其中工稱為自變量~稱為因變量，D稱為定義域，記作D,,即D產(chǎn)D.

函數(shù)定義中，對(duì)每個(gè)z€D,按對(duì)應(yīng)法則/,總有唯一確定的值）與之對(duì)應(yīng),

這個(gè)值稱為函數(shù)，在工處的黑糜，記作人工），即y=f（z）.因變量y與自變

量z之間的這種依賴關(guān)系，贏初逑圭冬.函數(shù)值人工）的全體所構(gòu)成的集

合稱為函數(shù)f的值域，記作號(hào)或八方獷

R.r=f（D）=lyly=/（x）,x€D}.

（2）了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性和周期性。

（1）函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)”工）的定義域?yàn)镈,數(shù)集XUD.如果存在數(shù)

K＞使得

對(duì)任一HGX都成立，則稱函數(shù)人］）在X上有上界，而K,稱為函數(shù)八h）在

X上的一個(gè)上界.如果存在數(shù)K2，使得

對(duì)任一HGX都成立，則稱函數(shù)/（工）在X上有下界，而K2稱為函數(shù)/（彳）在

X上的一個(gè)下界.如果存在正數(shù)M,使得

對(duì)任一zGX都成立，則稱函數(shù)八工）在X上道夏.如果這樣的M不存在，就稱

函數(shù)”工）在X上耨；這就是說，如果對(duì)于存有正數(shù)M,總存在fCX,使

"（』）|＞M,那么函數(shù)/（工）在X上無界.

（2）函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)/（I）的定義域?yàn)镈,區(qū)間IUD.如果對(duì)于區(qū)間

/上任意兩點(diǎn)三及工2,當(dāng)孫＜叫時(shí)，恒有

則稱函數(shù)在區(qū)間/上是單調(diào)增加的(圖1-9)；如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩

點(diǎn)工1及小，當(dāng)工|<12時(shí)，恒有

/(X|)>/(T,),

則稱函數(shù)〃Z)在區(qū)間I上是期遽少的(圖1-10).單調(diào)增加和單調(diào)減少的函

數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).

(3)函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)/(r)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.如果對(duì)于任

一1GD,

/(-X)=/(.I-)

恒成立，則稱/(工)為偶函數(shù).如果對(duì)于任一HGD,

恒成立，則稱/(工)為奇函數(shù).

(4)函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)/(T)的定義域?yàn)镈.如果存在一個(gè)正數(shù)/,使

得對(duì)于任一iGD有(①±Z)GD,且

/(1r+/)=/(1!)

恒成立，則稱/(工)為周期函數(shù)，/稱為/(H)的周期，通常我們說周期函數(shù)的周

期是指晏塵正典姻.—,

(3)厘蔽客施及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。

設(shè)函數(shù)/：D-/(D)是單射，則它存在逆映射/T：/(D)fD,稱此映射

獷7為函數(shù)f的鞭嬖.

按此定義，對(duì)每個(gè)>G/(D),有唯一的zG。,使得了(工)=?,于是有

尸(y)=1r.

這就是說,反函數(shù)/T的對(duì)應(yīng)法則是完全由函數(shù)/的對(duì)應(yīng)法則所確定的.

設(shè)函數(shù)N=/(“)的定義域?yàn)镈,,函數(shù)”=晨])的定義域?yàn)镈*,且其值域

&UD,,則由下式確定的函數(shù)

稱為由函數(shù)〃=g(.r)與函數(shù))=/(“)構(gòu)成的型魚型，它的定義域?yàn)镈",變量

u稱為幽宴重.

函菰苫窗數(shù)/構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，即按“先*后/”的次序第合的函數(shù)，通常

記為/。*,即

(/og)(a)=/[g(.r)].

(4)掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。

募函數(shù)是常數(shù)），

指數(shù)函數(shù)：2=“'（0>0且“#1）.

對(duì)數(shù)函數(shù)：y=log“T（“〉0且a#l,特別當(dāng)a=e①時(shí)，記為3=ln工），

三角函數(shù)：如y=sin.r,y=cosx,y=tana,等，

反三角函數(shù)：如y=arcsin.v,y=arccosJ,y=arctanx等.

以上這五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).

（5）理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存

在與左極限、右極限之間的關(guān)系。

定義設(shè)Lr"為一數(shù)列，如果存在常數(shù)”,對(duì)于任意給定的正數(shù)E（不論它

多么?。?，總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)〃>N時(shí),不等式

11“-aI<e

都成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列|總』的極限，或者稱數(shù)列屋?"收斂于a,記為

lima,=a,

”一-8w

或

3;一a（〃f8）.

如果不存在這樣的常數(shù)”，就說數(shù)列匕力沒有極限，或者說數(shù)列丘“｝是更

散的，習(xí)慣上也說不存在.

（極限的唯一性）如果數(shù)列|.r"收斂，那么它的極限唯一.

（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列|了」收斂，那么數(shù)列|八|一定有界.

定理3（收斂數(shù)列的保號(hào)性）如果lim.r"="，且a>0（或“<0）,那么存

M-?

在正整數(shù)N>0,當(dāng)n>N時(shí)，都有H“〉0（或.r?<0）.

.定理4（收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）如果數(shù)列""收斂于a,那么它

的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a.

（6）掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。

定理4設(shè)有數(shù)列1工"1和|乂|.如果

lim.r?—A,lim_y“=B,

”“?8~

那么

（1）lim（.r?±,v?）=A±B;

”-?oo

（2）lim?,y?=A?B;

”-?8J?

A

（3）當(dāng)v“W0（〃=1,2,…）且B#0時(shí)，lim==令.

（7）掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要

極限求極限的方法。

準(zhǔn)則I如果數(shù)列11/、13d及匕“I滿足下列條件:

（1）從某項(xiàng)起，即三當(dāng)?>??時(shí)，有

（2）limy=alimz?=a

N-8H”-*89

那么數(shù)列|H.|的極限存在，且”l一i8m4=a.

準(zhǔn)則R單調(diào)有界數(shù)列必有極限.

如果數(shù)列|工」?jié)M足條件

就稱數(shù)列IX?i是單調(diào)增加的；如果數(shù)列IN,J滿足條件

就稱數(shù)列是單調(diào)減少的.單調(diào)增加和單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列M

「sinJT

lim---------1.

上一?u

（8）理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會(huì)用等

價(jià)無窮小量求極限。

定義1如果函數(shù)/（Z）當(dāng)工一工八或Z-8）時(shí)的極限為零，那么稱函數(shù)

_/'（H）為當(dāng)彳一判（或Hf8）時(shí)的無窮小.

定義2設(shè)函數(shù)/（工）在工“的某一去心鄰域內(nèi)有定義（或|工|大于某一正

數(shù)時(shí)有定義）,如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M（不論它多么大），總存在正數(shù)8（或

正數(shù)X）,只要x適合不等式0<|才-刈|<S（或ITI>X）,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值

/（?r）總滿足不等式

l/（.r）l>M,

則稱函數(shù)為當(dāng)才-5（或工-8）時(shí)的無窮大.

如果lim2=0,就說？是比a高階的無窮小，記作8=。（。）；

如果lim9=8,就說8是比a低階的無窮小.

如果1加6=。六0,就說?與。是同階無窮小;

如果lim耳=cH%?〉0,就說f是關(guān)于Q的々階無窮小.

如果limC=l,就說0與a是等價(jià)無窮小，記作a?B.

（9）理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。

定義設(shè)函數(shù)y=/(1r)在點(diǎn)孔的某一鄰域內(nèi)有定義，如果

limAy=lim[/(+Ajr)-/(x)]=0,

△x-*0Au-Q0

那么就稱函數(shù)y=/(H)在點(diǎn)工。連續(xù).

設(shè)函數(shù)/(丁)在點(diǎn).10的某去心鄰域內(nèi)有定義.在此前提下，如果函數(shù)/(X)

有下列三種情形之一：

(1)在1=工。沒有定義；

(2)雖在7=4有定義，但limf(z)不存在；

」F

(3)雖在1=7。有定義，且lim/(±)存在，但lim/(2)r/'(￡)),

L%

則函數(shù)/(工)在點(diǎn)工。為不連續(xù)，而點(diǎn)/稱為函數(shù)/(1)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn).

(10)了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的

性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。

定理1設(shè)函數(shù)f(z)和gG)在點(diǎn)工"連續(xù)，則它們的和(差)/士g、積尸g

及商￡(當(dāng)g(H0)W0時(shí))都在點(diǎn)心連續(xù).

g

定理2如果函數(shù)〉=/(#)在區(qū)間/,上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù)，那

么它的反函數(shù)工=『'(”也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間4=|?6=/(工)，工￡1」上單調(diào)增

力口(或單調(diào)減少)且連續(xù).

定理3設(shè)函數(shù)y=f[g(T)]由函數(shù)“=g(i)與函數(shù))=/(“)復(fù)合而成，

U(HJUDR.H.若limg(z)=“0,而函數(shù)1y=/(“)在u=u0連續(xù)，則

lim/[g(x)]=lim/(?)=/(?(,).(1)

l%"-%

定理4設(shè)函數(shù)y=/[g(z)]是由函數(shù)“=g(z)與函數(shù)y=f(“)復(fù)合而

成，U(Ho)UD/.*.若函數(shù)〃=g(z)在H=*連續(xù)，且8(工())=“0，而函數(shù)3>=

/(“)在”=”0連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=/[g(±)]在]=工。也連續(xù).

基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的.

第二章、導(dǎo)數(shù)與微分

考試要求

(1)理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意

義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用

導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

定義設(shè)函數(shù).y=f（H）在點(diǎn)工。的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變鼠1r在工。處

取得增量（點(diǎn)工。+42?仍在該鄰域內(nèi)）時(shí),相應(yīng)的函數(shù)取得增量△?=〃工。+

△工）-/（7°）;如果與△工之比當(dāng)Ar-*0時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)y=

人工）在點(diǎn)人處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)）="］）在點(diǎn)］。處的導(dǎo)數(shù)，記為

，（Z0）,即

小。）=蛔碧=啊/"+.一小力1.⑷

也可記作人“副…。或需L/

根據(jù)函數(shù)/（才）在點(diǎn)H。處的導(dǎo)數(shù)，（工。）的定義，導(dǎo)數(shù)

\../（10+人）一/（劭）

/（x）=lim-----------；--------------

A0—on

是一個(gè)極限，而極限存在的充分必要條件是左、右極限都存在且相等，因此

，（1。）存在即〃工）在點(diǎn)X0處可導(dǎo)的充分必要條件是左、右極限

..f（a:+h）~/（x）口..f（x+h）-f（JC）

hm0------------；---0-----及hm0------------；---0-----

1A—0*h

都存在且相等.這兩個(gè)極限分別稱為函數(shù)f（z）在點(diǎn)］。處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù),

記作廣（j）及/'+（*）,即

〃陽）+hf（x）

（入）=iim-----------；------------0---,

A—0~"

U（X1./（1。+/】）-f（No）

/.（?））=hm-----------J---------------?

-0?”

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義并應(yīng)用直線的點(diǎn)斜式方程，可知曲線）=/Xi）在點(diǎn)

M（z。，%）處的切線方程為

y-yn=/'（工。）（①一才。）?

過切點(diǎn)M（_r。，％）且與切線垂直的直線叫做曲線y=在點(diǎn)M處的法

線.如果/'（/）W0,法線的斜率為一汽3,從而法線方程為

w-7。）?

可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

設(shè)函數(shù)y=〃工)在點(diǎn)工處可導(dǎo)，即

lim笆=f⑴

△J-M

存在.由具有極限的函數(shù)與無窮小的關(guān)系知道，

怒=，(])+**

其中a為當(dāng)0時(shí)的無窮小.上式兩邊同乘以△工,得

△y=/'(工2憶+.

由此可見，當(dāng)0時(shí),0.這就是說，函數(shù)y=f(z)在點(diǎn)x處是連續(xù)的.所

以，如果函數(shù)y=/(工)在點(diǎn)￡處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù).

(2)掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函

數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)

求函數(shù)的微分。

定理1如果函數(shù)〃=“(工)及。=爪1)都在點(diǎn)X具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的

和、差、積、商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)X具有導(dǎo)數(shù)，且

(1)["(])±0(工)]'=“'(工)±J(H)；

(2)[M(X)V(X)]Z=u'(x)v(x)+i/(j-)vz(x);

(3)[44]」'⑺心:二產(chǎn)小)(.)孫

定理2如果函數(shù)2=/(y)在區(qū)間I,內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且，(y)H0,則它的反

函數(shù))=/-(「)在區(qū)間|工|z=/(3),?61.」內(nèi)也可導(dǎo),且

[廣(])了=六力或翳=2,(1)

彳

定理3如果“=g(H)在點(diǎn)X可導(dǎo)，而》=/(“)在點(diǎn)〃=g(_r)可導(dǎo)，貝。復(fù)

合函數(shù)y=/[g(.r)]在點(diǎn)工可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為

包=’(“)?U)或苴=業(yè).如(6)

dx/皿g",$dj.dx'I"

1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

(1)(C)，=o,(2)(1〃)'="'，

(3)(sin1)'=cosx,(4)(cosT)Z=-sinx,

(5)(tan=sec2,(6)(cotx\--esc2JT,

(7)(sec7)'=seca'tanx,(8)(esc])'二一escjrcotx,

(9)(/)'=a"na,(10)(eOz=e\

(11)(logj?)/=——,(12)(In

aj?lnaX

(13)(arcsinh)'=/1，,

(14)(arccosx)'=-,

八一x1

(15)(arctanx\=/51

1+z

(16)(arccot7)'=---y.

1+工

2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

設(shè)〃=〃Q-)，v=v(z)都可導(dǎo)，則

⑴(“土")'=〃'±⑵(a)'=a'(c是常數(shù)),

(3)(uv)/=uv+uvr,(4)J=U.P1＞聲0).

3,反函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)工=f(y)在區(qū)間/,內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且,6)￥0,則它的反函數(shù))=廠|(Z)

在內(nèi)也可導(dǎo)，且

[尸'⑴了=片亍或黑=壺

dy

4.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)y=〃u),而〃=g(1r)且/(〃)及g(z)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)3=

f[g(z)]的導(dǎo)數(shù)為

dy=dy.d_?

或y'(z)='fOg'(H).

dj-d“da-

(3)了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

一般的，函數(shù)y=/(H)的導(dǎo)數(shù)y'=r(z)仍然是工的函數(shù).我們把，=

/'(工)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y=/(z)的二階導(dǎo)數(shù)，記作/或身，即

…)或察=言―卜

相應(yīng)的，把》=/(1)的導(dǎo)數(shù)/(了)叫做函數(shù))=/(￡)的二^嬖.

類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做理假嬖，三階導(dǎo)數(shù)菽謫叫做叫覽

導(dǎo)數(shù)，…，一般的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)而晟花導(dǎo)數(shù)，分別記作

y\y⑷，…，yiu)

也?火…業(yè)

或

dx3dx4dvfw

函數(shù)y=/(i)具有〃階導(dǎo)數(shù)，也常說成函數(shù)/(H)為照.如果函數(shù)

/(H)在點(diǎn)x處具有〃階導(dǎo)數(shù)，那么/(z)在點(diǎn).r的某一鄰贏藁具有一切低

于〃階的導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù).

設(shè)函數(shù)V=〃H)在點(diǎn)工處可導(dǎo)，即

lim餐=/(工)

Ar-*?

存在.由具有極限的函數(shù)與無窮小的關(guān)系知道，

怒=，(])+**

其中a為當(dāng)0時(shí)的無窮小.上式兩邊同乘以△心得

△y=f(x)Ax+a△z.

由此可見，當(dāng)△?r-0時(shí),0.這就是說，函數(shù)y=f(z)在點(diǎn)x處是連續(xù)的.所

以，如果函數(shù)y=/(工)在點(diǎn)￡處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù).

牛頓萊布尼茨公式

/\(W)(it)1(M-I)〃(幾1)(W-2)/zI

{uv)-UV-rnuV+----2\-----11V+

++(…)/)+…+/

上式稱為萊布尼茨(Leibniz)公式.這公式可以這樣記憶：把(u+〃)"按二項(xiàng)式

定理展開寫成

(〃+,)"=a"/+nuu1vx+〃(髭—―MW2v2+…+〃。v1,

即(〃+?=玄點(diǎn)一/①，

￡二0

然后把k次賽換成左階導(dǎo)數(shù)(零階導(dǎo)數(shù)理解為函數(shù)本身)，再把左端的“+V換

成這樣就得到萊布尼茨公式

(UV產(chǎn)=

MO

(4)會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函

數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

一般的，若參數(shù)方程

7=夕⑴,

(3)

y=中⑺

確定y與1間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由參數(shù)方程(3)所

確定的函數(shù).

如果工=奴，)、)="(/)還是二階可導(dǎo)的，那么從(4)式又可得到函數(shù)的二

階導(dǎo)數(shù)公式

d2j_d/dy\_d/-'(/)\dz

用一而同一損即71)d7

~~7(7),

即-:"(f“(，)—(，)(5)

da■<p"(t)

在（3）式中，如果函數(shù)工=w（c）具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)，=d），且此反函

數(shù)能與函數(shù)3=必/）構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，那么由參數(shù)方程（3）所確定的函數(shù)可以看

成是由函數(shù)），=如，）、，=“'（7）復(fù)合而成的函數(shù)）=仇9'（.「）］.現(xiàn)在，要計(jì)

算這個(gè)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).為此再假定函數(shù)2=p（，）、y=〃/）都可導(dǎo)，而且

a'（t）#o.于是根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與反函數(shù)的求導(dǎo)法則，就有

d_-dy.de_dy.1_

da-dzd.rdz也，（C）'

df

即去掰.⑷

上式也可寫成

dy

dy_力.

d.rda-'

d7

（4）式就是由參數(shù)方程（3）所確定的工的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式①.

（5）理解并會(huì)用羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒

（Taylor）定理，了解并會(huì)用柯西（Cauchy）中值定理。

費(fèi)馬引理設(shè)函數(shù)/（工）在點(diǎn)孔的某鄰域3-1

UG“）內(nèi)有定義，并且在工。處可導(dǎo)，如果對(duì)任意的工6U（z0）,有

（或〃］）>/（八））,

那么/（JO）=0.

羅爾定理如果函數(shù)/（?。M足

（1）在閉區(qū)間［%〃］上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間（““）內(nèi)可導(dǎo)；

（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即=

那么在（a,6）內(nèi)至少有一點(diǎn)f使得/（f）=0.

拉格朗日中值定理如果函數(shù)/（戈）滿足

（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間在，6）內(nèi)可導(dǎo),

那么在（a"）內(nèi)至少有一點(diǎn)f（a<S<〃），使等式

/(6)-/(a)=/($)(/>-a)⑴

成立.

柯西中值定理，如果函數(shù)f(H)及F(l)滿足

(1)在閉區(qū)間[a,上連續(xù)；

(2)在開區(qū)間(a,〃)內(nèi)可導(dǎo);

(3)對(duì)任一1rG(a”)，F(xiàn)'(H)￥O,

那么在(a,6)內(nèi)至少有一點(diǎn)“使等式

,/(?)

(4)

F(6)-F(a)-F77J

成立.

(6)掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。

定理1設(shè)

(1)當(dāng)z-a時(shí)，函數(shù)〃工)及F(z)都趨于零；

(2)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)J'(z)及F'(z)都存在且F'某)X0;

(3)!映，片存在(或?yàn)闊o窮大)，,

那么lim個(gè):)、=limj'.

LaF(x)F(x)

這就是說，當(dāng)!吧我g存在時(shí)，!吧第^也存在且等于!吧/g；當(dāng)

lim的4為無窮大時(shí)，lim也是無窮大.這種在一定條件下通過分子分母

LaF(JT)F(X)

分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)(L'Hospital)法則.

定理2設(shè)

(1)當(dāng)1-*8時(shí)，函數(shù)及F(工)都趨于零；

(2)當(dāng)|z|>N時(shí)，(])與F'(z)都存在，且F'(l)W0；

(3)“巴音?存在(或?yàn)闊o窮大)，

那么limQg=lim44g.

x-*?r(X；L8尸(工)

(7)理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的

方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用。

定義設(shè)函數(shù)/(M)在點(diǎn)心的某鄰域U(7。)內(nèi)有定義，如果對(duì)于去心鄰域

o

U(1(1)內(nèi)的任一有

/(j-)</(.r0)(或/(E)〉/(7())>，

那么就稱人才。)是函數(shù)/(1)的一個(gè)極大值(或極小值).

定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)/(工)在外處可導(dǎo)，且在工。處取得極值，那么

/(x0)=0.

定理2（第一充分條件）設(shè)函數(shù)/（工）在工。處連續(xù)，且在八的某去心鄰域

U（10,合）內(nèi)可導(dǎo).

⑴若Z€（工0-）時(shí)，/'（?!?）＞0,而1G（io,10+（5）時(shí)J'（H）＜0,則

/（工）在人處取得極大值；

（2）若工S（*-8,10）時(shí),，（H）＜0,而HW（±0,h0+8）時(shí),/'（H）＞0,則

〃工）在工。處取得極小值；

（3）若rGU（刈"）時(shí)，f'（z）的符號(hào)保持不變，則f⑺在工。處沒有

極值.

定理3（第二充分條件）設(shè)函數(shù)/（1）在人處具有二階導(dǎo)數(shù)且，（a）=0,

/（工。）#0,那么

（1）當(dāng)，’（才。）＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在處取得極大值；

（2）當(dāng)r（xo）＞O時(shí)，函數(shù)f⑺在判處取得極小值.

（8）會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性（注：在區(qū)間內(nèi)，設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)

數(shù)。當(dāng)時(shí)，的圖形是凹的；當(dāng)時(shí)，的圖形是凸的），會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)

以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。

定義設(shè)八1）在區(qū)間/上連續(xù)，如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)山，以恒有

O+央）＜/（工1）+./~（72）

那么稱/（工）在I上的圖形是（向上）凹的（或凹?。蝗绻阌?/p>

f（4+八）〉/（7|）+/（小）

那么稱/（I）在I上的圖形是（向上）凸的（或凸?。?

定理1設(shè)函數(shù)）=〃］）在［明口上連續(xù)，在（-6）內(nèi)可導(dǎo).

（1）如果在3"）內(nèi)，（］）＞0,那么函數(shù)了=/（?!?）在［”"］上單調(diào)增加；

（2）如果在（*6）內(nèi)_/'（Z）＜0,那么函數(shù)y=/（1r）在［“"］上單調(diào)減少.

定理2設(shè)f（z）在上連續(xù)，在（“工）內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么

（1）若在（*。）內(nèi)—）＞0,則/（7）在上的圖形是凹的；

（2）若在（*。）內(nèi)—）＜0,則一工）在［a,口上的圖形是凸的.

（9）了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。

設(shè)曲線由參數(shù)方程

T=

y=S（z）

給出，則可利用由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法，求出￡,及代入（3）便

得

_\cp'{t}[t}-(f>'(t)</>'(t)I

一[，()+產(chǎn)(,)聲―⑷

設(shè)曲線y=/J)在點(diǎn)MJ,y)處的曲率為K(KWO).在點(diǎn)M處的曲線

的法線上，在凹的一側(cè)取一點(diǎn)D,使IDMIq=p.

以D為圓心，p為半徑作圓(圖3-35),這個(gè)圓叫做曲

線在點(diǎn)M處的電鸚，曲率圓的圓心D叫做曲線在

點(diǎn)M處的域量^初率圓的半徑P叫做曲線在點(diǎn)

M處的也逛篆?

按二S贏可知，曲率圓與曲線在點(diǎn)M有相同

的切線和曲率，且在點(diǎn)M鄰近有相同的凹向.因此，圖3-35

在實(shí)際問題中，常常用曲率圓在點(diǎn)M鄰近的一段圓

弧來近似代替曲線弧，以使問題簡(jiǎn)化.

按上述規(guī)定.曲線在點(diǎn)M處的曲率K(K=0)與曲線在點(diǎn)M處的曲率半

徑P有如下關(guān)系：

_1*1

P=K，K=,.

這就是說：曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)斗

處的曲率互為倒數(shù).\1/

第三章、不定積分與定積分

考試要求

(1)理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念。

，定義！如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F(z)的導(dǎo)函數(shù)為f(H),即對(duì)任一

?rGI,都有

F'(z)=/(z)或dF(x)=/(x)dx,

那么函數(shù)F(z)就稱為/(z)(或f(H)dz)在區(qū)間I上的屋爨.

定義2在區(qū)間/上，函數(shù)/(工)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為/(a)

(或在區(qū)間I上的不定積分，記作

|f(x)dx.

其中記號(hào)[稱為積分號(hào),/(工)稱為被積函數(shù)J(z)clr稱為被積表達(dá)式，z稱為

積分變量.

性質(zhì)1設(shè)函數(shù)〃z)及g(z)的原函數(shù)存在，則

j"(z)+g(x)]dx=J/(x)dx+Jg(x)dx.(3)

性質(zhì)2設(shè)函數(shù)/Q)的原函數(shù)存在，歸為非零常數(shù)，則

|kf(x}dx=J/(x)dx.

定義設(shè)函數(shù)在上有界，在［a,6］中任意插入若干個(gè)分點(diǎn).

a=a1<z?<叫<…<h"-1<a’”=b,

把區(qū)間［a,6］分成n個(gè)小區(qū)間

;［xo.x,］,(X|,a-2［xB,1

各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為

△工1=工1-xu,AX3=x2-=.r?-x?-1.

在每個(gè)小區(qū)間［工一，與］上任取一點(diǎn)￡(a?…作函數(shù)值/(￡.)與小

區(qū)間長(zhǎng)度△耳的乘積/”,)△?(，=1,2」“，〃)，并作出和

Mi.

s=X/(G△叩(1)

i=I

記2=max|△才|,Ax:,Ax,I，如果不論對(duì)［a,4］怎樣劃分，也不論在小區(qū)

間［為上點(diǎn)壬怎樣選取，只要當(dāng)A-0時(shí)，和S總趨于確定的極限/，那么

稱這個(gè)極限I為函數(shù)/(彳)在區(qū)間［%6］上的定積分(簡(jiǎn)稱積分)，記作

jf(jc)dx,即

［f(x)dx=/=limV,(2)

，Jo-。K

其中/(H)叫做被積函數(shù)J(z)d_r叫做被積表達(dá)式業(yè)叫做積分變量，a叫做積

分下限，〃叫做積分上限，［%。］叫做積分區(qū)間.

性質(zhì)1［［/(Jr)±g(a)］dj-=/(jr)dj-±g(a)da-.

JUJUJCl

性質(zhì)2fV(^)d.r=^［7(r)d.r(k是常數(shù)).，

JuJa

性質(zhì)3設(shè)aVcV〃，則

I/(.r)d」?=f)d.r+f/(a*)d.r.

JdJUJC

性質(zhì)4如果在區(qū)間［a,6］上三1,則

rbr6

idx=dz=b-a.

JaJa

性質(zhì)5如果在區(qū)間［a,6］上，/(I))0,則

/(?r)djrX)(aV6).

性質(zhì)6設(shè)M及“分別是函數(shù)/(1)在區(qū)間［a"］上的最大值及最小值,

m［b-ajf(jc)dx^M(b-a)(a<6).

性質(zhì)7(定積分中值定理)如果函數(shù)/(］)在積分區(qū)間［a,6］上連續(xù)，則在

上至少存在一個(gè)點(diǎn)已使下式成立：

f(x)dx=y(f)(6-a)(a&W&b).

這個(gè)公式叫做積分中值公式.

(2)掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分

中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。

①jAdz=Ez+C(歸是常數(shù))，

②f工&=三4+C(戶工-1),

J"+1

④f,"：=arctanx+C,

J1+x'

?f"z=arcsinx+C,

J71-x2

cosjrdx=sinx+C,

⑦Jsinzdz=-cosz+C,

sec2xdjr=tanx+C,

fdxf2i,r，

-n—=escxax=-cotx+C,

JsinxJ

⑩seca:tanxdx=secT+C,

?escxcotzdz=-escx+C,'

?je&=e，+C,

?fa'di=g-+C.

JIna

定理1設(shè)/(u)具有原函數(shù)，〃=奴?)可導(dǎo)，則有換元公式

f［夕(7)］果'(z)d7=.(1)

JLJ」”=夕(，)

定理2設(shè)Z=3(z)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且“(。工0.又設(shè)丹以。］

“Q)具有原函數(shù)，則有換元公式

］/(z)dT=尸(J⑵

其中［TQ)是z=以2)的反函數(shù).

設(shè)函數(shù)U=U(T)及具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).那么，兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公

式為

(〃u)'=UV+UP',

移項(xiàng)，得uv=(UP)'-u'v.

對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分，得

Juvdx=uv-uvdx.(1)

公式(1)稱為分部積分公式.如果求iuvdx有困難，而求fuvdx比較容易時(shí)，

分部積分公式就可以發(fā)揮作用了.

(3)會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分。

注意使用萬能公式

2u

sinx=----

l+M2

Xl-u2

〃=tan—=><COSX=------Z-

2l+〃2

2

]+u~

(4)理解積分上限的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式。

如果上限x在區(qū)間上任意變動(dòng)，則對(duì)于每一個(gè)取定的x值,定積分

有一個(gè)對(duì)應(yīng)值，所以它在［a,6］上定義了一個(gè)函數(shù)，記作◎(1):

@(z)=［f(t)dt(a&K&b).

定理1如果函數(shù)/"(■!)在區(qū)間［a"］上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)

切(z)=jf(t)dt

在［a義］上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)

◎'(?r)=4j=f(1)工&b).(2)

定理2如果函數(shù)f(i)在區(qū)間［*/＞］上連續(xù)，則函數(shù)

◎(￡)=J'/(，)dz(3)

就是人才)在［a,6］上的一個(gè)原函數(shù).

定理3如果函數(shù)F(T)是連續(xù)函數(shù)/(①)在區(qū)間［a,。］上的一個(gè)原函數(shù),

則

J/(a)da-=F(b)-F(a).(4)

公式(4)叫做牛頓(Newton)-萊布尼茨(Leibniz)公式

(5)了解反常積分的概念，會(huì)計(jì)算反常積分。

定義1設(shè)函數(shù)/(7)在區(qū)間［a,+8)上連續(xù)，取/〉*如果極限

limf(j)d.r

f-?+o：Ja

存在，則稱此極限為函數(shù)_/(工)在無窮區(qū)間［a,+8)上的反常積分，記作

f(x)dx，即

［/(x)dx=limf/(j)dx,(1)

這時(shí)也稱反常積分「8/Q)dx收斂;如果上述極限不存在，則函數(shù)/(Z)在無窮

Ja

區(qū)間［a,+8)上的反常積分「8〃7)dT就沒有意義，習(xí)慣上稱為反常積分

Ja

O0°/(x)dx徽，這時(shí)記號(hào)［7(1)也不再表示數(shù)值了.

類似地，設(shè)函數(shù)人工)在區(qū)間(-8,6]上連續(xù)，取.如果極限

lim[f(jc)dx

f**-8Jg

存在，則稱此極限為函數(shù)f(H)在無窮區(qū)間(-8"]上的反常積分，記作

[/(彳)(1工,即

J-OO

[f(x)dx=limff(x)dx,(2)

這時(shí)也稱反常積分「/(a)dx收斂；如果上述極限不存在，則稱反常積分

J-OO

“/(H)dM發(fā)散.

設(shè)函數(shù)/(z)在區(qū)間(-8,+8)上連續(xù)，如果反常積分

pi)