專題8.2離散型隨機變量的分布列及數字特征知識點1隨機變量1.隨機變量：隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量，常用字母，…表示．離散型隨機變量：所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量2.離散型隨機變量分布列的概念及性質①離散型隨機變量的分布列的概念設離散型隨機變量X可能取的不同值為，，…，，X取每一個值()的概率，則下表稱為隨機變量X的概率分布，簡稱為X的分布列.X……P……有時也用等式表示X的分布列．②離散型隨機變量的分布列的性質（1）(i＝1，2，…，n)；（2）．知識點2兩點分布的分布列若隨機變量的分布列為兩點分布列,就稱服從兩點分布或分布,并稱為成功概率.知識點3離散型隨機變量的均值與方差①離散型隨機變量的均值與方差一般地，若離散型隨機變量X的分布列為：X……P……（1）稱為隨機變量X的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．（2）稱為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術平方根為隨機變量X的標準差．方差的變形：②均值與方差的性質若Y＝aX＋b，其中a，b為常數，則Y也是隨機變量，則重難點1隨機變量與離散型隨機變量的辨析【例1】下面給出四個隨機變量：①一高速公路上某收費站在十分鐘內經過的車輛數；②一個沿軸進行隨機運動的質點，它在軸上的位置；③某派出所一天內接到的報警次數；④某同學上學路上離開家的距離．其中是離散型隨機變量的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例2】小王錢夾中只剩下20元、10元、5元和1元的人民幣各一張．他決定隨機抽出兩張用來買晚餐，用表示這兩張金額之和，則的可能取值為．【變式11】下列變量中哪些是隨機變量？如果是隨機變量，那么可能的取值有哪些？(1)一個實驗箱中裝有標號為1，2，3，3，4的5只白鼠，從中任取1只，記取到的白鼠的標號為X；(2)明天的降雨量L（單位：mm）；(3)先后拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次，正面向上的次數X．【變式12】連續不斷地射擊某一目標，首先擊中目標需要的射擊次數是一個隨機變量，則表示的試驗結果是．【變式13】某公司的員工是按照下述方式獲取稅前的月工資：底薪1000元，設工作1h再獲得40元，從該公司員工中任意抽取一名用Y表示所獲月工資（單位：元）.（X為工作小時數）(1)當時，求Y的值；(2)寫出X與Y之間的關系式．判斷一個隨機變量判斷一個隨機變量X是否為離散型隨機變量的具體方法:（1）明確隨機試驗的所有可能結果；（2）將隨機試驗的試驗結果數量化；（3）確定試驗結果所對應的實數是否可按一定次序一一列出,如果能一一列出,則該隨機變量是離散型隨機變量,否則不是.重難點2離散型隨機變量的分布列【例3】全班有40名學生，某次數學作業的成績如下：分數012345人數01312204現從該班中任選一名學生，用X表示這名學生的數學作業成績，求隨機變量X的分布列．【例4】設離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m(1)求隨機變量的分布列；(2)求隨機變量的分布列.【變式21】擲兩顆骰子，用X表示兩點數差的絕對值.求X的分布.【變式22】同學甲進行一種闖關游戲，該游戲共設兩個關卡，闖關規則如下：每個關卡前需先投擲一枚硬幣，若正面朝上，則順利進入闖關界面，可以開始闖關游戲；若反面朝上，游戲直接終止，甲同學在每次進入闖關界面后能夠成功通過關卡的概率均為，且第一關是否成功通過都不影響第二關的進行．(1)同學甲在游戲終止時成功通過兩個關卡的概率；(2)同學甲成功通過關卡的個數為，求的分布列．【變式23】中國的CT機打破了歐美30年的技術壟斷，實現了從無到有的突破，中國的CT機不僅在技術上達到了國際水平，而且在價格上也更具競爭力.此外，中國的CT機還具有更好的定制化服務，能夠更好地滿足不同地區和不同醫療機構的需求，明峰醫療和聯影醫療是中國CT機行業中的佼佼者.2023年8月某醫院購進甲型CT機2臺，乙型CT機1臺，該醫院決定按照以下方案調試新機器：每臺設備最多進行2次調試，只要調試成功就投入使用，每次調試費用0元：如果兩次調試均不成功，則邀請生產商上門調試，生產商調試一臺醫院調試不成功的CT機需要額外支付1000元，生產商調試后直接投入使用；其中醫院對甲機型每次調試成功的概率為，對乙機型每次調試成功的概率為，調試相互獨立.(1)求醫院不需要生產商上門調試的概率；(2)計算醫院支付調試費用的分布列.求離散型隨機變量求離散型隨機變量的分布列的步驟：（1）理解的意義,寫出可能取的全部值；（2）求取每個值的概率；（3）寫出的分布列.重難點3離散型隨機變量分布列的性質【例5】設隨機變量X的分布列如下：X1234Pp則p為（

）．A． B． C． D．【例6】若離散型隨機變量X的分布列為，則的值為（

）.A． B． C． D．【變式31】隨機變量X的分布列如下：X01Pabc其中a，b，c成等差數列，則可以為（

）A． B． C． D．【變式32】已知離散型隨機變量X的分布列如表所示，則m的值為.0123【變式33】設隨機變量的分布列為，則常數.分布分布列性質的兩個作用：（1）利用分布列中各事件概率之和為1可求參數的值及檢查分布列的正確性；（2）隨機變量所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的,利用這一點可以求隨機變量在某個范圍內的概率.重難點4兩點分布【例7】已知隨機變量服從兩點分布，且.設，那么等于（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【例8】袋內有10個紅球，5個白球，從中摸出2個球，記求的分布列．【變式41】已知離散型隨機變量的分布列服從兩點分布，且，則（

）A． B． C． D．【變式42】已知隨機變量X服從兩點分布，且，則．【變式43】已知一批200件的待出廠產品中，有1件不合格品，現從中任意抽取2件進行檢查，若用隨機變量X表示抽取的2件產品中的次品數，求X的概率分布．兩步法判斷一個分布是否為兩點分布兩步法判斷一個分布是否為兩點分布：（1）看取值:隨機變量只取兩個值和；（2）驗概率:檢驗是否成立；如果一個分布滿足以上兩點,則該分布是兩點分布,否則不是兩點分布.重難點5求離散型隨機變量的均值、方差【例9】已知隨機變量的分布列如表所示：0p其中，若，且，則（

）A． B．C． D．【例10】已知X的分布列為X01P則下列結論正確的是（

）．A． B． C． D．【變式51】某種資格證考試，每位考生一年內最多有3次考試機會.一旦某次考試通過，便可領取資格證書，不再參加以后的考試；否則就繼續參加考試，直到用完3次機會.小王決定參加考試，若他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，且每次考試是否通過相互獨立，則小王在一年內領到資格證書的概率為；他在一年內參加考試次數的數學期望為.【變式52】設隨機變量的分布列為其中．則下列說法正確的是（

）012A． B．C．隨著的從小到大變化，先增大后減小 D．有最小值【變式53】設，隨機變量的分布列如下圖所示，則下列說法正確的有（

）X012PA．恒為1 B．隨增大而增大C．恒為 D．最小值為0求離散型隨機變量求離散型隨機變量的均值的步驟：（1）理解的實際意義,并寫出的全部取值；（2）求出取每個值的概率；（3）寫出的分布列(有時也可省略)；（4）利用期望公式，方差公式計算即可重難點6均值及方差性質【例11】已知隨機變量X的分布列如下：X－101P設Y＝2X＋1，則Y的數學期望E(Y)的值是（

）A．－ B． C． D．－【例12】已知離散型隨機變量的分布列為若離散型隨機變量滿足，則下列說法正確的有（

）A． B．0 C． D．【變式61】已知隨機變量X的分布列為X123P且，若，則等于（

）A． B． C． D．【變式62】若隨機變量的分布列如下表所示，則（

）01A． B．2 C． D．【變式63】設離散型隨機變量的分布列為：01230.40.30.2若離散型隨機變量滿足，則（

）A． B．C． D．對于對于型的隨機變量,則有，重難點7均值與方差在決策中的應用【例13】某市甲?乙兩個企業都生產某種產品，貿易部門為將該種產品擴大市場份額，推向國內外，創造更高的收益，準備從甲?乙兩個企業中選取優質的產品，參加2021年的廣交會.現從甲?乙兩個企業中各隨機抽取5件產品進行質量檢測，得到質量指數如下表：甲9089938791乙9189908892規定：質量指數在90以上(包括90)的視為“優質品”，質量指數低于90的視為“合格品”以此樣本估計總體，頻率作為概率，求解以下問題：（1）若從甲?乙兩個企業的優質品中隨機取出2件去參加2021年的廣交會，求取出的2件優質品恰好都是甲企業的優質品的概率；（2）從乙企業的5件產品中隨機取出1件，若為合格品則另放入1件優質品，直到取出的是優質品，求取得合格品次數X的分布列和期望；（3）若兩個企業中只能選一個企業參加這次廣交會，如果你是該市貿易部門的負責人，從產品質量的穩定性方面考慮，你會選擇哪個企業？【例14】甲公司現有資金200萬元，考慮一項投資計劃，假定影響投資收益的唯一因素是投資期間的經濟形勢，若投資期間經濟形勢好，投資有的收益率，若投資期間經濟形勢不好，投資有的損益率；如果不執行該投資計劃，損失為1萬元.現有兩個方案，方案一：執行投資計劃；方案二：聘請投資咨詢公司乙分析投資期間的經濟形勢，聘請費用為5000元，若投資咨詢公司乙預測投資期間經濟形勢好，則執行投資計劃；若投資咨詢公司乙預測投資期間經濟形勢不好，則不執行該計劃.根據以往的資料表明，投資咨詢公司乙預測不一定正確，投資期間經濟形勢好，咨詢公司乙預測經濟形勢好的概率是0.8；投資期間經濟形勢不好，咨詢公司乙預測經濟形勢不好的概率是0.7.假設根據權威資料可以確定，投資期間經濟形勢好的概率是，經濟形勢不好的概率是.(1)求投資咨詢公司乙預測投資期間經濟形勢好的概率；(2)根據獲得利潤的期望值的大小，甲公司應該執行哪個方案？說明理由.【變式71】學校進行足球專項測試考核，考核分“定位球傳準”和“20米運球繞桿射門”兩個項目.規定：“定位球傳準”考核合格得4分，否則得0分；“20米運球繞桿射門”考核合格得6分，否則得0分.現將某班學生分為兩組，一組先進行“定位球傳準”考核，一組先進行“20米運球繞桿射門”考核，若先考核的項目不合格，則無需進行下一個項目，直接判定為考核不合格；若先考核的項目合格，則進入下一個項目進行考核，無論第二個項目考核是否合格都結束考核.已知小明“定位球傳準”考核合格的概率為0.8，“20米運球繞桿射門”考核合格的概率為0.7，且每個項目考核合格的概率與考核次序無關.(1)若小明先進行“定位球傳準”考核，記為小明結束考核后的累計得分，求的分布列；(2)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先進行哪個項目的考核？并說明理由.【變式72】某超市計劃按天從廠家訂購酸奶，每瓶進價為4元，零售價為6元，若進貨不足，則該超市以每瓶5元的價格進行補貨，若銷售有余，則廠家以3元回購，為此該超市收集并整理了30天這種酸奶的銷售記錄，得到了如下數據：銷售瓶數2030405060頻數361263以頻率代替概率，記為這家超市每天銷售該酸奶的瓶數，表示超市每天購進該酸奶的瓶數.(1)求的分布列和數學期望；(2)以銷售該酸奶所得的利潤的期望為決策依據，在和之中選一個，應選用哪個？【變式73】現有人要通過化驗來確定是否患有某種疾病，化驗結果陽性視為患有該疾病．化驗方案：先將這人化驗樣本混在一起化驗一次，若呈陽性，則還要對每個人再做一次化驗；否則化驗結束．已知這人未患該疾病的概率均為，是否患有該疾病相互獨立．(1)按照方案化驗，求這人的總化驗次數的分布列；(2)化驗方案：先將這人隨機分成兩組，每組人，將每組的人的樣本混在一起化驗一次，若呈陽性，則還需要對這人再各做一次化驗；否則化驗結束．若每種方案每次化驗的費用都相同，且，問方案和中哪個化驗總費用的數學期望更小？隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平,方差反映了隨機變量穩定于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫了隨機變量,是生產實際中用于方案取舍的重要理論依據.一般先比較均值,若均值相同,再用方差來決定.隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平,方差反映了隨機變量穩定于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫了隨機變量,是生產實際中用于方案取舍的重要理論依據.一般先比較均值,若均值相同,再用方差來決定.1．投擲兩枚質地均勻的骰子，記偶數點朝上的骰子的個數為，則的分布列為（

）A．X12PB．X01PC．

X012PD．

X012P2．下列問題中的隨機變量不服從兩點分布的是（

）A．拋擲一枚骰子，所得點數為隨機變量B．某選手射擊一次，擊中目標的次數為隨機變量C．從裝有5個紅球、3個白球的袋中取1個球，令隨機變量D．某醫生做一次手術，手術成功的次數為隨機變量3．已知隨機變量的分布列為，2，3，，，則（）A． B． C． D．4．某高二學生在參加物理、歷史反向學考中，成績是否取得等級相互獨立，記為“該學生取得等級的學考科目數”，其分布列如下表所示，則的最大值是（

）A． B． C． D．5．已知隨機變量X的分布列如下表：X01Pabc若成等差數列，則公差d可以是（

）A． B．0 C． D．16．，隨機變量的分布列如下，則下列結論正確的有（

）X012PA．的