1.公式(a+b)n=

an+

an-1b+…+

an-rbr+…+

bn稱為二項式定理.

(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N+)叫作二項式系數,在定理中,令a=1,b=x,則得到公式(1+x)n=

+

x+

x2+…+

xr+…+

xn.2.二項展開式的通項為Tr+1=

an-rbr,它是(a+b)n展開式的第(r+1)項.4.4二項式定理1|

二項式定理及相關概念1.對稱性在二項展開式中,與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等,即

=

.2.單調性和最大值二項式系數從兩端向中間逐漸增大,當n為偶數時,中間一項的二項式系數

最大;當n為奇數時,中間兩項的二項式系數

,

相等,且同時取得最大值.3.各二項式系數的和(1)

+

+…+

=2n;(2)

+

+

+…=

+

+

+…=2n-1.2

|

二項式系數的有關性質1.二項式(a+b)n和(b+a)n的展開式相同嗎?相同.雖然二者展開式相同,但展開式中項的排列順序是不同的,(a+b)n展開式中的

第(r+1)項是

an-r·br,(b+a)n展開式中的第(r+1)項是

bn-rar.2.(a-b)n與(a+b)n的展開式中二項式系數和項的系數都相同嗎?二項式系數相同,項的系數不相同.二項式系數只與項數有關,與a,b的值無關,而項

的系數指項中除變量外的常數部分,不僅與項數有關,還與a,b的值有關.3.令f(r)=

(0≤r≤n,且r∈N),則f(r)的圖象關于直線r=

對稱嗎?對稱.知識辨析1.對于常數項,隱含的條件是字母的指數為0.2.對于有理項,一般先寫出展開式的通項,然后令其所有的字母的指數都等于整

數.求解時必須合并通項中同一字母的指數,根據具體要求,令其為整數,再根據數

的整除性來求解.3.對于整式項,其通項中同一字母的指數合并后應是非負整數,求解方式與求有理

項一致.1求二項展開式中的特定項(項的系數)

典例

(1)

x-

n(n∈N+)的展開式中,第5項是常數項,則常數項為

(

)A.-270

B.-240

C.240

D.270(2)

的展開式中的有理項共有

(

)A.4項B.5項

C.6項D.7項(3)(x-

)n(n∈N+)的展開式中,第二項與第四項的系數之比為1∶2,則含x2的項為

12x2

.CC解析

(1)∵

x-

n的展開式的通項為Tr+1=

·xn-r·

-

r=(-2)r

·

,令r=4,則n-

×4=0,解得n=6.∴展開式中的常數項為T5=(-2)4

=240.故選C.(2)

的展開式的通項為Tr+1=

·2r·

(r=0,1,2,…,10),令20-

為整數,可得r=0,2,4,6,8,10,則有理項共有6項,故選C.(3)(x-

)n(n∈N+)的展開式中第二項與第四項分別為T2=

xn-1·(-

)=-

nxn-1,T4=

xn-3·(-

)3=-2

xn-3.依題意得

=

,即n2-3n-4=0且n≥3,解得n=4.故(x-

)n=(x-

)4,其展開式的通項為Tr+1=

x4-r(-

)r(r=0,1,2,3,4),令4-r=2,得r=2,即(x-

)4的展開式中含x2的項為T3=

x2(-

)2=12x2.求三項式中特定項的方法(1)因式分解法:先通過因式分解將三項式變成兩個二項式,然后用二項式定理分

別展開.(2)逐層展開法:先將三項式分成兩組,用二項式定理展開,再把其中含兩項的展開.(3)利用組合知識:把三項式(a+b+c)n看成n個(a+b+c)的積,利用組合知識分析項的

構成,注意最后把各個同類項合并.2三項展開式問題

典例

的展開式中x2的系數為

800

.解析

解法一:(x2+3x+2)5=[(1+x)(2+x)]5=(1+x)5(2+x)5.(1+x)5的展開式的通項為Tr+1=

xr,(2+x)5的展開式的通項為Tk+1=

·25-kxk,所以

的展開式的通項為Tr+1,k+1=

25-kxr+k,其中0≤r≤5,0≤k≤5,且r,k∈N.令r+k=2,可得

或

或

因此,

的展開式中x2的系數為

·

·23+

·

·24+

·

·25=800.解法二:

=

,且它的展開式的通項為Tk+1=

(x2+3x)5-k2k(k=0,1,2,…,5),

的展開式的通項為Tr+1=

(x2)5-k-r(3x)r=

·3rx10-2k-r(0≤r≤5-k,r∈N),所以Tk+1=

2k3rx10-2k-r(k=0,1,2,…,5,0≤r≤5-k,r∈N),令10-2k-r=2,得k=3,r=2或k=4,r=0.當k=3,r=2時,x2的系數為

·

·23·32=720;當k=4,r=0時,x2的系數為

·

·24·30=80.綜上,

的展開式中x2的系數為720+80=800.賦值法是解決展開式中系數或展開式中系數的和、差問題的常用方法.要根

據所求,靈活地對字母賦值,通常賦的值為0,-1或1.(1)對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子,常令x=1;對形如(ax+by)n

(a,b∈R,n∈N+)的式子,常令x=y=1.(2)一般地,令f(x)=(ax+b)n,即f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則(ax+b)n的展開式中各項系

數之和為f(1);奇數項系數之和為a0+a2+a4+…=

;偶數項系數之和為a1+a3+a5+…=

.3賦值法求展開式中的系數和

典例

(1)已知(2x-1)n的展開式中,奇次項系數的和比偶次項系數的和小38,則

+

+

+…+

的值為

(

B

)A.28B.28-1C.27

D.27-1(2)若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,則a2+a4+…+a12=

364

.解析

(1)設(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次項的系數和為A,偶次項的系數和

為B,則A=a1+a3+a5+a7+…,B=a0+a2+a4+a6+…,由已知可得B-A=38.令x=-1,則a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,即B-A=(-3)n,∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8.故

+

+

+…+

=2n-

=28-1.(2)令x=1,則a0+a1+a2+…+a12=36,①令x=-1,則a0-a1+a2-…+a12=1,②

,得a0+a2+a4+…+a12=

.令x=0,則a0=1.故a2+a4+…+a12=

-1=364.1.求展開式中二項式系數最大的項時,可直接根據性質求解.2.求二項展開式中系數的最值問題有兩種思路:(1)看成關于n的函數,結合函數的

單調性判斷系數的增減性,從而求出系數的最值;(2)在系數均為正值的前提下,求

它們的最大值只需比較相鄰兩個系數的大小,根據其展開式的通項列出不等式

(組)即可.3.根據二項式系數的性質求參數時,關鍵是正確列出與參數有關的式子,然后解此

關系式即可.必要時,需檢驗所求參數是否符合題目要求.4二項式系數的性質及應用

典例在

的展開式中,前三項系數的絕對值成等差數列.(1)求項數n;(2)求展開式中二項式系數最大的項;(3)求展開式中所有系數的絕對值的和.解析

(1)

的展開式的通項為Tr+1=

=

-

r

,因為前三項系數的絕對值成等差數列,所以2

·

=

+

,化簡得n2-9n+8=0,解得n=8或n=1,因為n≥2,所以n=8.(2)由(1)知n=8,二項式的展開式共9項,故二項式系數最大的項為第5項,即T5=

·

=70×

=

.(3)展開式中所有系數的絕對值的和為

+

+…+

=

=

.解決與楊輝三角有關的問題的一般思路

5楊輝三角問題

典例

如圖,在由二項式系數所構成的楊輝三角中,若第n(n∈N)行中從左至右第14與第15個數的比為2∶3,則n的值為(

)第0行

1第1行

1