2022屆山西省長治市名校高三下學期模擬數學（理）試題一、單選題1．已知集合，則（

）A．P B．Q C．Z D．【答案】B【分析】在集合中討論的奇偶性，判斷集合、中元素的關系，即可確定答案.【詳解】對于集合，有，，對應集合，：當為偶數時，此時元素相同；當為奇數時，此時中元素不在內，中元素也不在內；綜上，.故選：B2．若，則（

）A． B．10 C． D．【答案】C【分析】由四則運算得出化簡，再求.【詳解】，則故選：C3．命題，則為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結果即可．【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題，命題，所以．故選：D．4．若函數滿足，則可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據周期函數的定義，結合特例法進行判斷求解即可.【詳解】因為，所以函數的周期為.A：因為，所以，因此函數的周期不可能，本選項不符合題意；B：因為，所以，因此函數的周期不可能，本選項不符合題意；C：該函數的最小正周期為：，因此函數的周期不可能，本選項不符合題意；D：該函數的最小正周期為：，因此本選項符合題意，故選：D5．如圖，某幾何體平面展開圖由一個等邊三角形和三個等腰直角三角形組合而成，E為的中點，則在原幾何體中，異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將給定展開圖還原成三棱錐，取BD中點F，借助幾何法求出異面直線所成角的余弦值.【詳解】因幾何體平面展開圖由一個等邊三角形和三個等腰直角三角形組合而成，于是得原幾何體是正三棱錐，其中兩兩垂直，且，取BD中點F，連接EF，AF，如圖，因E為的中點，則有，因此，是異面直線與所成角或其補角，令DB=2，則，中，，正中，，于是有：，即，，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A6．展開式中常數項為（

）A． B．0 C．15 D．80【答案】B【分析】由的通項得出展開式中常數項.【詳解】的通項為當時，；當時，則展開式中常數項為故選：B7．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由倍角公式結合平方關系得出.【詳解】由題意可得，即，由可得，故選：D8．從裝有3個白球m個紅球n個黃球（這些小球除顏色外完全相同）的布袋中任取兩個球，記取出的白球的個數為X，若，取出一白一紅的概率為，則取出一紅一黃的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知求出X的分布列，借助期望求出，再由給定概率求出m，n即可計算作答.【詳解】依題意，X的可能值為0，1，2，則有，，，于是得，解得，袋中共有10個球，因此，取出一白一紅的概率為，解得，則，所以取出一紅一黃的概率為.故選：A9．函數的圖象過點，距離y軸最近的最高點是，則下列說法正確的是（

）A．B．函數在區間內單調遞增C．函數關于點對稱D．若函數的圖象向右平移個單位后得到的圖象，則是奇函數【答案】C【分析】由所過點及距離y軸最近的最高點坐標，結合正弦函數的性質得，進而寫出解析式，整體法求單調區間、代入法判斷對稱性，根據圖象平移得到的解析式，進而判斷奇偶性.【詳解】由題設，且，又，且是距離y軸最近的最高點，則，所以，，故，A錯誤；綜上，.令，，可得，，則時，上遞增，而不是其子區間，B錯誤；，故關于點對稱，C正確；，顯然不是奇函數，D錯誤.故選：C10．當時，過點均可以作曲線的兩條切線，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設過點的切線與相切于，把題意轉化為關于m的方程有兩解.令.作出與的圖像，有兩個交點求出.記，利用導數求出的最大值，即可求出.【詳解】設過點的切線與相切于，則有，消去n得：.因為過點均可以作曲線的兩條切線，所以關于m的方程有兩解.即有兩解.令.只需與有兩個交點.對于，則.令，解得：；令，解得：.所以在上單調遞減，在單調遞增.作出的草圖如圖所示：要使與有兩個交點，只需.記，.令，解得；令，解得；所以在上單調遞增，在單調遞增.所以的最大值為，所以.故選：C【點睛】導數的應用主要有：（1）利用導函數幾何意義求切線方程；（2）利用導數研究原函數的單調性，求極值（最值）；（3）利用導數求參數的取值范圍；（4）利用導數研究零點.11．過點P作拋物線的切線，切點分別為，若的重心坐標為，且P在拋物線上，則D的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導數求出切線方程，聯立方程求出，再由重心坐標公式的得出，最后由求出D的焦點坐標.【詳解】設，，由可得故，即①，同理②聯立①②可得，則所以，即，解得故，則，D的焦點坐標為故選：A12．若，滿足，則（

）A．98 B．99 C．100 D．101【答案】B【分析】通過構造函數，利用放縮法，結合已知進行求解即可.【詳解】構造函數，所以此函數是單調遞增函數，因此當時，，于是有，因為當時，成立，所以一定有，當時，，滿足，故選：B【點睛】關鍵點睛：構造函數是解題的關鍵.二、填空題13．已知向量，若，則______.【答案】【分析】根據平面向量垂直的性質，結合平面向量數量積的坐標表示公式和運算性質進行求解即可【詳解】因為，所以，解得，故答案為：14．在中，，點D在線段上，且，則______.【答案】或.【分析】根據銳角三角函數定義，結合余弦定理進行求解即可.【詳解】因為，所以，在中，由余弦定理可知：，或，故答案為：或15．如圖，在三棱錐中，平面平行于對棱，截面面積的最大值是______.【答案】【分析】由線面平行的性質可得、且、，易得為平行四邊形，結合有為矩形，進而設，由已知求、關于的表達式，即可得面積關于的函數，利用二次函數性質求最值即可.【詳解】由題設，面，又面，面面，所以，同理可證，故，又面，又面，面面，所以，同理可證，故，故為平行四邊形，又，即，則為矩形，若，則，又，所以，，又面積為，所以，故當時.故答案為：.16．已知分別為雙曲線的兩個焦點，曲線上的點P到原點的距離為b，且，則該雙曲線的離心率為______.【答案】【分析】由等面積法結合定義得出，由結合余弦定理得出該雙曲線的離心率.【詳解】設焦距為，因為，，所以，又，所以因為，所以，結合整理得，即故答案為：三、解答題17．已知數列的前n項和為.(1)證明為等差數列，并求的通項公式；(2)若，求數列的前n項和.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）先由結合定義證明為等差數列，并求的通項公式；（2）由與的關系得出，再由錯位相減法求和即可.【詳解】(1)因為，所以整理得，所以首項為，公差為的等差數列.故，則(2)由（1）可得，則又也符合等式，所以，①②由①②得則18．三棱錐中，△為等腰直角三角形，，平面平面.(1)求證：；(2)求和平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由勾股定理及等腰三角形的性質可得、，再由線面垂直的判定及性質即可證結論.（2）若是的中點，過作，由等腰三角形、面面垂直的性質證明，，，進而構建空間直角坐標系并求的方向向量和平面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求線面角的正弦值.【詳解】(1)由題設，，即，又△為等腰直角三角形且，即，因為，則面，面，所以.(2)由題設，若是的中點，則，面面，面面，面，所以面，又面，即，，且在面的射影為，由（1）知：，故，過作，即可構建如下圖示的空間直角坐標系，所以，，，，則，，，若是面的一個法向量，則，令，則，所以，則和平面所成角的正弦值為.19．山西運城王過酥梨是國家農產品地理標志保護產品，王過酥梨含有多種對人體有益的鈣、鐵、磷等微量營養元素，食后清火潤肺，止咳化痰，能起到祛病養生之效，一致被人們作為逢年過節走親訪友，饋贈待客及日常生活的必備佳品.某水果批發商小李從事酥梨批發多年，他把去年年底客戶采購酥梨在內的數量x（單位：箱）繪制成下表：采購數x（單位：箱）客戶數51015155(1)根據表中的數據，補充完整這些數據的頻率分布直方圖，并估計采購數在168箱以上（含168箱）的客戶數；(2)若去年年底采購在內的酥梨數量約占小李去年年底酥梨總銷售量的，估算小李去年年底總銷售量（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；(3)在（2）的條件下，由于酥梨受到人們的青睞，小李做了一份市場調查以決定今年年底是否在網上出售酥梨，若沒有在網上出售酥梨，則按去年的價格出售，每箱利潤為14元，預計銷售量與去年持平；若計劃在網上出售酥梨，則需把每箱售價下調1至5元（網上、網下均下調），且每下調m元銷售量可增加箱，試預計小李在今年年底銷售酥梨總利潤Y（單位：元）的最大值.【答案】(1)見解析(2)（箱）(3)（元）【分析】（1）由表中數據計算相應的頻率/組距，再繪制頻率分布直方圖，并由數據估計采購數在168箱以上（含168箱）的客戶數；（2）先計算去年年底客戶采購酥梨在內的數量，再求小李去年年底總銷售量；（3）由題設條件得出，再由二次函數的性質得出最值.【詳解】(1)對應的頻率分別為，則對應的頻率/組距為，故這些數據的頻率分布直方圖如下圖所示：由直方圖可知，采購數在168箱以上（含168箱）的客戶數為（人）(2)由題意可知，去年年底客戶采購酥梨在內的數量為（箱）則小李去年年底總銷售量為（箱）(3)由題意可得當時，（元）20．已知函數.(1)證明：；(2)若有兩個不相等的實數根，求證：.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）令，利用導數證明不等式即可；（2）先由的單調性得出，再由等價于，構造函數，由導數得出，即可證明.【詳解】(1)令，當時，；當時，即函數在上單調遞減，在上單調遞增，故(2)，當時，；當時，即函數在上單調遞減，在上單調遞增當時，，且又有兩個不相等的實數根，不妨設，所以，即等價于，即令，，則函數在上單調遞增當時，，則存在，使得，即；即在上單調遞減，在上單調遞增當時，，，即成立，故.【點睛】關鍵點睛：解決問題二時，對于雙變量，關鍵是由單調性得出等價于，從而將雙變量變為單變量問題.21．已知橢圓的離心率為，左，右焦點分別為為坐標原點，點Q在橢圓C上，且滿足.(1)求橢圓C的標準方程；(2)P為橢圓C的右頂點，設直線與橢圓C交于異于點P的兩點，且，求的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據題意求出a、b、c即可；(2)根據題意設l：(t≠2)，聯立l與橢圓C的方程，由求出t為定值，再求出弦長MN，求出點P到直線l的距離d，即可求出，根據m的范圍求出的最大值，又根據即可求出的最大值.【詳解】(1)；(2)，設，，則，∵PM⊥PN，∴，且.由題可知直線l斜率不為0，設l方程為(t≠2)，，()，則，，則，，，∴，即或t＝2(舍).時，l過定點(，0)，則()恒成立.P(2，0)到直線l：x－my－t＝0的距離，令，則，則，則，∵在s≥8時單調遞增，∴當s＝8時，取最大值，∴，∴.即的最大值是.【點睛】本題關鍵是利用△PMN的面積的最大值來求的最大值，將問題轉化為常規的橢圓內部三角形面積的問題.22．在直角坐標系中，以坐標原點為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為，曲線C的極坐標方程為.(1)寫出直線和曲線C的直角坐標方程；(2)已知點，若直線與畫線C交于兩點，求的值.【答案】(1)直線的直角坐標方程為，曲線C的直角坐標方程為(2)【分析】（1）由三角恒等變換結合得出直線和曲線C的直角坐標方程；（2）由直線參數方程與曲線C的直角坐標方程聯立，由其幾何意義以及韋達定理進行求解.【詳解】(1)可化為，即即直線的直角坐標方程為可化為，，即曲線C的直角坐標方程為(2)因為在直線上，所以直線的參數方程為（為