第一章

空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運算的坐標表示

1.3.1

空間直角坐標系一二三學習目標了解空間直角坐標系（會畫）會用空間直角坐標系刻畫點的位置（會寫）掌握空間向量的坐標表示(會寫)學習目標復習回顧1.什么是空間向量基本定理？

定理如果三個向量不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序實數組(x,y,z)，使得2.什么是正交分解？什么是單位正交基底？|i|＝|j|＝|k|＝1.且i·j＝j·k＝i·k＝0，這是其他一般基底所沒有的．把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底,常用{}表示3.平面直角坐標系的定義是什么？復習回顧

O

A(x,y)

新課導入空間向量的運算基向量的運算幾何問題代數問題學習了空間向量基本定理，建立了“空間基底”的概念，我們就可以利用基底表示任意一個空間向量，進而把空間向量的運算轉化為基向量的運算．所以，基底概念的引人為幾何問題代數化奠定了基礎.

能否利用空間向量基本定理和空間的單位正交基底，建立空間直角坐標系，進而建立空間向量的坐標與空間點的坐標的一一對應呢？概念生成

空間直角坐標系這時我們建立了一個空間直角坐標系OxyzxyzO

②通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面.8它們把空間分成

個部分.Oxy平面Oyz平面Oxz平面新知探究問題2

如何畫出空間直角坐標系？

斜二測畫法

①畫軸：

畫空間直角坐標系Oxyz時，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.②建系：在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系.

本書建立的坐標系都是右手直角坐標系.新知探究問題3

平面直角坐標系中，每一個點和向量都可以用一對有序實數對表示。對于空間直角坐標系中每一個點和向量是否有類似的表示？空間點的坐標OxyzA在單位正交基底

下與向量

對應的有序實數組(x,y,z),叫做點A在空間直角坐標系中的坐標,記作A(x,y,z),其中在空間直角坐標系Oxyz中,

為坐標向量,對空間任意一點A,對應一個向量

，且點A的位置由向量

唯一確定,由空間向量基本定理,存在唯一的有序實數組(x,y,z),使x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標.新知探究OxyzA

也就是說,以O為起點的有向線段(向量)的坐標可以和終點的坐標建立起一一對應的關系,從而互相轉化.空間向量的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，對空間任一向量

,

作

由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x,y,z),使

有序實數組(x,y,z),叫做

在空間直角坐標系Oxyz中的坐標,上式可簡記作

.向量終點的坐標A(x,y,z)向量的坐標OA=(x,y,z)一一對應符號(x,y,z)具有雙重意義，既可以表示向量，也可以表示點，在表述時注意區分.

在空間直角坐標系中，空間中的點和向量都可以用三個有序實數表示.新知探究問題4

在空間直角坐標系Oxyz中，對空間任意一點A，或任意一個向量，你能借助幾何直觀確定它們的坐標(x,y,z)嗎?OxyzA

BCD

求某點A的坐標的方法：先找到點A在xOy平面上的射影A'，過點A'向x軸作垂線，確定垂足B.其中|OB|,|BA'|,|A'A|即為點A坐標的絕對值，再按O→B→A'→A確定相應坐標的符號(與坐標軸同向為正，反向為負)，最后得到相應的點A的坐標．A'典例解析例1

如圖示,在長方體OABC-D'A'B'C'中,OA=3,OC=4,OD'=2,以為單位正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.

(1)寫出D',C,A',B'四點的坐標;

(2)寫出向量

的坐標.ACOBC′D′B′A′解：用坐標表示空間向量的步驟

觀圖形建坐標系用運算定結果充分觀察圖形特征根據圖形特征建立空間直角坐標系綜合利用向量的加減及數乘運算將所求向量用已知的基向量表示出來，確定坐標歸納小結新知探究問題6

坐標面上和坐標軸上的點的特征是什么？點的位置xOy平面xOz平面yOz平面點的坐標(x,y,0)(x,0,z)(0,y,z)點的位置x軸上y軸上z軸上點的坐標(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)點P關于x軸的對稱點是_________

點P關于y軸的對稱點是_________點P關于z軸的對稱點是_________點P關于原點的對稱點是_________點P關于平面xOy的對稱點是_________點P關于平面xOz的對稱點是_________點P關于平面yOz的對稱點是_________P1(x,-y,-z)新知探究問題7關于坐標平面的對稱的點又有怎樣的情況？在空間直角坐標系中，點P(x,y,z)，則有空間直角坐標系中對稱點的坐標P2(-x,y,-z)P3(-x,-y,z)PP4P4(-x,-y,-z)P1P2P3P5P5(x,y,-z)P6P6(x,-y,z)P7P7(-x,y,z)規律：關于誰對稱，誰就不變！其余互為相反數。鞏固練習課本P182.在空間直角坐標系Oxyz中,(1)坐標平面____與x軸垂直，坐標平面_____與y軸垂直，坐標平面____與z軸垂直；(2)寫出點P(2,3,4)在三個坐標平面內的射影的坐標；

在Oyz平面內的射影坐標為____________

在Oxz平面內的射影坐標為____________

在Oxy平面內的射影坐標為____________(3)點P(1,3,5)關于原點成中心對稱的點的坐標是___________.(4)點P(1,3,5)在x軸上的射影坐標為_________.OyzOxzOxy(0,3,4)(2,0,4)(2,3,0)(-1,-3,-5)點在平面內的射影：過點作平面的垂線所得的垂足.點在坐標軸的射影：過點作坐標軸的垂線所得的垂足.(1,0,0)規律：在坐標平面或坐標軸的射影坐標——缺誰誰就為0.空間中點的射影鞏固練習課本P181.在空間直角坐標系中標出下列各點:A(0,2,4),B(1,0,5),C(0,2,0),D(1,3,4).OA(0,2,4)?B(1,0,5)?C(0,2,0)?D(1,3,4)?畫出長方體，在長方體上標出點鞏固練習課本P183.在長方體OABC-D'A'B'C'中，OA=3,OC=4,OD'=3，A'C'與B'D'相交于點P，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.(1)寫出點C,B',

P的坐標；(2)寫