PAGE23-云南省德宏州2025屆高三數學上學期期末考試教學質量檢測試題理（含解析）留意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并仔細核準條形碼上的姓名、準考證號、考場號、座位號及科目，在規定的位置貼好條形碼.2.回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號，寫在本試卷上無效.3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式得集合，再利用集合并集運算即可得到答案.【詳解】又所以故選：B.2.若為虛數單位，，且，則復數的模等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先依據復數相等得到，，再求的模即可.【詳解】因為，所以，.所以.故選：C3.我國古代聞名的數學著作中，《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《孫丘建算經》、《海島算經》、《五經算術》、《綴術》和《緝古算經》，稱為“算經十書”.某校數學愛好小組為了解本校學生對《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》閱讀的狀況，隨機調查了100名學生，閱讀狀況統計如下表，書籍《周髀算經》《九章算術》《周髀算經》且《九章算術》《周髀算經》或《九章算術》閱讀人數70？6090則該100名學生中閱讀過《九章算術》的人數為（）A.60 B.70 C.80 D.90【答案】C【解析】【分析】依據統計表分析可得結果.【詳解】依據統計表可知，只閱讀過《周髀算經》沒閱讀過《九章算術》的人數為人，所以只閱讀過《九章算術》沒閱讀過《周髀算經》的人數為人，所以閱讀過《九章算術》的人數為人.故選：C【點睛】關鍵點點睛：理解并運用統計表給出的信息是解題關鍵.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導公式得,再利用二倍角公式化簡，然后代值求解即可.【詳解】，利用誘導公式可得，，故選：B.5.綻開式的系數為（）A.-10 B.10 C.-30 D.30【答案】A【解析】【分析】先求得的通項公式，然后再由求解.【詳解】的通項公式為，因為。所以含的項為：，，綻開式的系數為-10，故選：A6.如下圖所示，在正方體中，是平面的中心，、、分別是、、的中點，則下列說法正確的是（）A.，且與平行B.，且與平行C.，且與異面D.，且與異面【答案】D【解析】【分析】設正方體的棱長為2，利用正方體性質可求得，，知，再利用三角形中位線性質知，從而，又與相交，可知與異面，即可選出答案.【詳解】設正方體的棱長為2，則作點在平面的投影點，即平面，連接，在直角中，，，則，所以，故解除A、C連接，由是平面的中心，得又分別是、的中點，所以又，所以，又，所以與異面故選：D.【點睛】關鍵點睛：本題考查正方體中的線面關系，線線平行的關系，及推斷異面直線，解題的關鍵是熟記正方體的性質，考查學生的邏輯推理實力，屬于基礎題.7.執行如圖所示的程序框圖，若輸入，的值分別是288，123，則輸出的結果是（）A.42 B.39 C.13 D.3【答案】D【解析】【分析】執行程序框圖，寫出每次循環得到的值，當時，滿意條件，輸出的值.【詳解】執行程序框圖，由，知由，知由，知由，知，即，輸出，結束循環故選：D.8.設ΔABC內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則∠B=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據正弦定理，結合三角恒等變換化簡即可求得.【詳解】由正弦定理可得：，.故選：D【點睛】此題考查依據正弦定理進行邊角互化，依據三角恒等變換化簡求解角的大小.9.將函數的圖象向左平移個單位后得到函數的圖象，則下列說法正確的是（）A.的圖象的一條對稱軸為 B.在上單調遞增C.在上的最大值為1 D.的一個零點為【答案】B【解析】【分析】對選項A，，即可推斷A錯誤；對選項B，求出的單調區間即可推斷B正確；對選項C，求出在的最大值即可推斷C錯誤；對選項D，依據，即可推斷D錯誤.【詳解】，.對選項A，因為，故A錯誤；對選項B，因為，.解得，.當時，函數的增區間為，所以在上單調遞增，故B正確；對選項C，因為，所以，所以，，，故錯誤；對選項D，，故D錯誤.故選：B10.設，分別為雙曲線的左，右焦點，點為雙曲線上的一點.若，則點到軸的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖，設，，由雙曲線定義知，平方得：，在中利用余弦定理可得：，即可得到，再利用等面積法即可求得【詳解】由題意，雙曲線中，如圖，設，，由雙曲線定義知兩邊平方得：在中，由余弦定理可得：，即兩式相減得：，即利用等面積法可知：，即解得故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題考查雙曲線的定義及焦點三角形的幾何性質，解題的關鍵是熟識焦點三角形的面積公式推導，也可以干脆記住結論：（1）設，分別為橢圓的左，右焦點，點為橢圓上的一點，且，則橢圓焦點三角形面積（2）設，分別為雙曲線的左，右焦點，點為雙曲線上的一點，且，則雙曲線焦點三角形面積11.函數是定義在上的奇函數，對隨意兩個正數，都有，記，，，則大小關系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構造函數，則函數單調遞減，且，，，通過自變量的大小和函數的單調性比較函數值的大小即可.詳解】構造函數，則函數單調遞減，，，，，.故選C.【點睛】本題主要考查函數的單調性及其應用，實數比較大小的方法等學問，意在考查學生的轉化實力和計算求解實力.12.對于正數，定義函數：.若對函數，有恒成立，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最小值為【答案】B【解析】【分析】利用導數求出函數最大值，由函數的定義結合恒成立可知，由此可得出的取值范圍，進而可得出合適的選項.【詳解】對于正數，定義函數：，且恒成立，則.函數的定義域為，且.當時，，此時，函數單調遞增；當時，，此時，函數單調遞減.所以，，.因此，的最小值為.故選：B.【點睛】解決導數中的新定義的問題，要緊扣新定義的本質，將問題轉化為導數相關的問題，本題將問題轉為不等式恒成立，從而將問題轉化為求函數的最大值.第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題，每個考生都必需做答.第22題~第23題為選考題，考生依據要求做答.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則_______________.【答案】5【解析】【分析】由向量坐標運算先寫出向量的坐標，再求模即可.【詳解】,,故答案為：5.14.已知拋物線：的焦點為，準線為，點在上，過點作的垂線交于點，且，，則拋物線的方程為：______________.【答案】【解析】【分析】如圖作，，由拋物線定義知是等邊三角形，再過焦點作，知為的中點，所以，即焦點到準線的距離是，即可求得拋物線方程.【詳解】拋物線：，焦點，準線如圖，，，，由拋物線定義知，故是等邊三角形，過焦點作，交于，則為的中點，所以，即焦點到準線的距離是故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題考查球拋物線的方程，解題的關鍵是要熟識拋物線的定義，動點到定點的距離與動點到定直線的距離相等，即可知，再利用知是等邊三角形，再利用等邊三角形性質求解，考查學生的邏輯推導實力，屬于中檔題.15.設點在曲線上，在直線上，則的最小值________.【答案】【解析】【分析】當曲線在點處的切線與直線平行時，最小，最小值為切線與直線之間的距離，即切點到直線的距離，先依據導數的幾何意義求出切點坐標，再利用點到直線的距離公式進行求值.【詳解】函數的定義域為，求導得，當曲線在點處的切線與直線平行時，最小，最小值為切線與直線之間的距離，即切點到直線的距離.設，由導數的幾何意義，可得，解得（舍去），故切點為，點到直線的距離所以的最小值為故答案為：【點睛】結論點睛：本題考查利用導數的幾何意義探討曲線上某點的切線方程，須要留意：（1）已知切點求斜率，即求該點處的導數值：；（2）已知斜率，求切點，即解方程；（3）已知過某點(不是切點)的切線斜率為時，常需設出切點，利用＝求解.16.如下圖所示，三棱錐外接球的半徑為1，且過球心，圍繞棱旋轉后恰好與重合.若，則三棱錐的體積為_____________.【答案】【解析】【分析】作于，可證得平面，得，得等邊三角形，利用是球的直徑，得，然后計算出，再應用棱錐體積公式計算體積．【詳解】∵圍繞棱旋轉后恰好與重合，∴，作于，連接，則，，∴．又過球心，∴，而，∴，同理，，，由，，，得平面，∴．故答案為：．【點睛】易錯點睛：本題考查求棱錐的體積，解題關鍵是作于，利用旋轉重合，得平面，這樣只要計算出的面積，即可得體積，這樣作圖可以得出，為旋轉所形成的二面角的平面角，這里簡單出錯在誤認為旋轉，即為．旋轉是旋轉形成的二面角為．應用作出二面角的平面角．三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.2024年年初，中共中心、國務院發布《關于開展掃黑除惡專項斗爭的通知》，在全國范圍部署開展掃黑除惡專項斗爭.為了解這次的“掃黑除惡”專項斗爭與2000年、2006年兩次在全國范圍內持續開展了十多年的“打黑除惡”專項斗爭是否相同，某高校一個社團在2024年末隨機調查了100位該校在讀高校生，就“掃黑除惡”與“打黑除惡”是否相同進行了一次調查，得到部分數據如下表：不相同相同合計男50女15合計100已知在100名學生中隨機抽取1人認為“掃黑除惡”與“打黑除惡”不相同的概率為0.75.（1）完成上表；（2）依據如上的列聯表，有沒有的把握認為“掃黑除惡”與“打黑除惡”是否相同與性別有關？附：（）.0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246635【答案】（1）表格見解析；（2）有把握認為“掃黑除惡”與“打黑除惡”是否相同與性別有關.【解析】【分析】（1）由的概率計算出認為不相同的總人數，則可完成列聯表；（2）計算后比較可得結論．【詳解】解：（1）不相同相同合計男501060女251540合計7525100（2）.所以有的把握認為“掃黑除惡”與“打黑除惡”是否相同與性別有關.18.設數列的前項和為，且.（1）證明數列是等比數列，并求出數列的通項公式；（2）若數列中，，，求數列的前項和.【答案】（1）證明見解析；；（2）.【解析】【分析】（1）當時，由，可得，兩式相減，可化為，結合等比數列的定義,即可得到結論；（2）由題知數列是等差數列，則，再利用分組求和法求數列的前項和.【詳解】（1）證明：當時，，當時，①②由①－②得：，，即，故數列是以2為公比，首項為的等比數列，，得.（2）由題得：，故是以2為公差，2為首項的等差數列，..【點睛】方法點睛：本題考查數列求通項公式與求和問題，求數列和常用的方法：（1）等差等比數列：分組求和法；（2）倒序相加法；（3）（數列為等差數列）：裂項相消法；（4）等差等比數列：錯位相減法.19.如圖①，是由正三角形和正方形組成的平面圖形，其中；將其沿折起，使得，如圖②所示.（1）證明：圖②中平面平面；（2）在線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在點滿意題意要求，.【解析】【分析】（1）取的中點，連接、，利用等腰三角形三線合一可得出，利用勾股定理可得出，利用線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系，設，利用空間向量法可得出關于的方程，求出的值，即可得出結論.【詳解】（1）取的中點，連接、，為正三角形且，，且，因為四邊形為正方形，且，，，，則，又，平面.平面，平面平面；（2）平面，且四邊形是正方形，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系，則、、、、，

平面，所以，面的一個法向量為，在線段上，設，，，設平面的法向量為，由，得，令，則，，，設二面角的平面角為，二面角的余弦值為，，整理得，，解得，，綜上，存在點滿意題意要求，此時.【點睛】體幾何開放性問題求解方法有以下兩種：（1）依據題目的已知條件進行綜合分析和視察猜想，找出點或線的位置，然后再加以證明，得出結論；（2）假設所求的點或線存在，并設定參數表達已知條件，依據題目進行求解，若能求出參數的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點或線，否則不存在．20.已知函數，.（1）若函數在上存在單調遞增區間，求實數的取值范圍；（2）設.若，在上的最小值為，求在上取得最大值時，對應的值.【答案】（1）；（2）最大值點為..【解析】【分析】（1）依據在上存在單調遞增區間，由在上有解求解.（2）由得，，依據，易得，，則在上的最大值點為，最小值為或，然后由，分，確定最小值進而求得a即可【詳解】（1）∵在上存在單調遞增區間，∴在上有解，即在上成立，而的最大值為，∴，解得：.（2），∴，由得：，，則在，上單調遞減，在上單調遞增，又∵當時，，，∴在上的最大值點為，最小值為或，而，當，即時，，得，此時，最大值點；當，即時，，得（舍）.綜上在上的最大值點為.【點睛】方法點睛：(1)求解函數的最值時，要先求函數y＝f(x)在[a，b]內全部使f′(x)＝0的點，再計算函數y＝f(x)在區間內全部使f′(x)＝0的點和區間端點處的函數值，最終比較即得；(2)已知函數的最值求參數，一般先用參數表示最值，列方程求解參數．21.在平面直角坐標系中，已知，直線：，點為平面內的動點，過點做直線的垂線，垂足為點，且，點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設，過且與軸不重合的直線與曲線相交于不同的兩點，.則的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）直線的方程為，的內切圓的面積最大值為.【解析】【分析】（1）設點，依據得到模長關系，由此得到關于的等式即為軌跡方程；（2）利用內切圓的半徑分析出的面積最大時，對應的內切圓半徑最大從而內切圓面積最大，再根弦長公式以及點到直線的距離表示出，并利用導數計算出的最大值，從而內切圓半徑最大值可求，則的內切圓的面積最大值可求.【詳解】解：（1）設動點，則，由，則，，∵，∴，∴，化簡得：.∴所求曲線的方程為.（2）設，，不妨令，，設的內切圓半徑為，則的周長為，，由此可知，當的面積最大時，的內切圓面積最大，可設直線的方程為，聯立，得：，∴，則，令，則，∴，令，則，當時，恒成立，則在上單調遞增，∴，即的最小值為4.∴，即當時，的面積最大為3，此時，的內切圓的最大半徑為，所以，的內切圓的面積取得最大值為.故直線的方程為，的內切圓的面積最大值為.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中求解三角形面積的思路：（1）利用弦長以及點到直線的距離公式，結合底高，表示出三角形的面積；（2）依據直線與圓錐曲線的交點，利用公共底或者公共高的狀況，將三角形的面積表示為或；（3）借助三角形內切圓的半徑，將三角形面積表示為（為內切圓半徑）.請考生在第22、23題中任選一題做答，假如多做，則按所做的第一題計分.做