專題42概率與統計的綜合應用

【題型歸納目錄】

題型一：決策問題

題型二：道路通行問題

題型三：保險問題

題型四：概率最值問題

題型五：放回與不放回問題

題型六：體育比賽問題

題型七：幾何問題

題型八：彩票問題

題型九：納稅問題

題型十：疾病問題

題型十一：建議問題

題型十二：概率與數列遞推問題

題型十三：硬幣問題

題型十四：自主選科問題

題型十五：高爾頓板問題

題型十六：自主招生問題

題型十七：順序排位問題

題型十八：博彩問題

【典例例題】

題型一：決策問題

例1.(2022?全國?高三專題練習)最新研發的某產品每次試驗結果為成功或不成功，且每次

試驗的成功概率為"現對該產品進行獨立重復試驗，若試驗成功，則試驗結束；

若試驗不成功，則繼續試驗，且最多試驗8次.記X為試驗結束時所進行的試驗次數，X的

數學期望為E(X).

⑴證明：E(x)<2；

⑵某公司意向投資該產品，若。=0.2,每次試驗的成本為。(。>0)元，若試驗成功則獲利8a

元，則該公司應如何決策投資？請說明理由.

【解析】(1)由題意,X=1,2,3,…,8

故尸(X=&)=p(l—p)Rk=1,2,,7,P(X=8)=(1-p)，

分布列如下：

X12345678

ppp(l-p)P(l-P)2P(l-P>P（”P）4p(l-pYp(l-p)6(1-p)7

所以X的數學期望E(X)=p(l-p)°+2p(l-p)'+3p(l-p)2++7p(l-p)6+8(1-p)7,

記S=(1-p)°+2(1-p)'+3(1-pf++7(1-p)6,

(1-P)S=(1-p)'+2(1-p)2+3(1-4++7(1-p)7,

作差可得，pS=(1-/?)°+(1-/2)'+(l-p)2++(1-/2)(-7(1-p)7=-——~———7(1-p)7,

則E(X)=m+8(1-p)，=心+(l-p)7=1一0一理<-；

PPP

E（X）<-=5

（2）由（l）可知P,則試驗成本的期望小于“元，

試驗成功則獲利8a元，且8“>5〃，則該公司應該投資該產品

例2.（2022?陜西?交大附中模擬預測（理））據悉強基計劃的校考由試點高校自主命題，校

考過程中達到筆試優秀才能進入面試環節.已知甲、乙兩所大學的筆試環節都設有三門考試

科目且每門科目是否達到優秀相互獨立.若某考生報考甲大學，每門科目達到優秀的概率均

為1;，若該考生報考乙大學，每門科目達到優秀的概率依次為1工，2其中。

365

（1）若"=;,分別求出該考生報考甲、乙兩所大學在筆試環節恰好有一門科目達到優秀的概

率；

（2）強基計劃規定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中達到優秀科目個數的期

望為依據作出決策，該考生更希望進入甲大學的面試環節，求〃的范圍.

【解析】（1）設該考生報考甲大學恰好有一門筆試科目優秀為事件A,則

該考生報考乙大學恰好有一門筆試科目優秀為事件B,則

P(B)=1X2XZ+5X2X2+5X3XI=41

',65365365390

（2）該考生報考甲大學達到優秀科目的個數設為X,

依題意，則E（X）=3xg=l,

該同學報考乙大學達到優秀科目的個數設為y,隨機變量y的可能取值為：0,1,2,3.

/53z、\-n/、13/、52/、5313+2〃

PD\Yv=0)=-x-(1-n)=-----,P\Y=1)=-x-(1-n)+-x—(1-7?)+—x—7?=---------

65265656530

八521312八、2+11/?122nn

P（Y=2）=-x—〃+—x—〃+—x—（1—〃）=------,P（y=3）=—x—77=—=—

'765656530'7653015

隨機變量y的分布列:

Y0123

\-n13+2〃2+15n

P

303015

l/s八1一〃，13+2〃-2+11〃17+30〃

￡（y）=0x---+lx------+2x+3cx——〃=

'，230301530

因為該考生更希望進入甲大學的面試，則E（y）<￡（x）,即解得0<〃吟,

所以"的范圍為：o<"

例3.（2022?江蘇?南京市寧海中學模擬預測）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年

后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個

100元，在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個300元.現需決策在購買機器時應

同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件

數，得如圖柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件

數發生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，〃表示購買2臺機器的同

時購買的易損零件數.

⑴求X的分布列；

⑵以購買易損零件所需費用的期望為決策依據，在〃=19與〃=20之中選其一，應選用哪個

更合理？

【解析】（1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，

一臺機器在三年內需更換的易損零件數為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2,

X的可能取值為16,17,18,19,20,21,22,

從而p（X=16）=0.2x0.2=0.04；

P（X=17）=2x0.2x0.4=0.16；

P（X=18）=2x0.2x0.2+0.4x0.4=0.24；

p（X=19）=2x0.2x0.2+2x0.4x0.2=0.24；

P(X=20)=2X0.2X0.4+0.2X0.2=0.2；

尸(X=21)=2x02x0.2=0.08；

P(X=22)=0.2x0.2=0.04；

所以X的分布列為

X16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

(2)購買零件所需費用含兩部分：

一部分為購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用，

當〃=19時，費用的期望為：

19x100+300x0.2+600x0.08+900*0.04=2044元，

當”=20時，費用的期望為：

20x100+300x0.08+600x0.04=20487C.

因為2044<2048,所以選〃=19更適合.

變式1.(2022.遼寧葫蘆島.一模)葫蘆島市礦產資源豐富，擁有煤、鋁、鋅、鉛等51種礦

種，采礦業歷史悠久，是葫蘆島市重要產業之一.某選礦場要對即將交付客戶的一批200

袋鋁礦進行品位(即純度)檢驗，如檢驗出品位不達標，則更換為達標產品，檢驗時；先從

這批產品中抽20袋做檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有銅礦做檢驗，設每袋鑰

礦品位不達標的概率都為且每袋鋁礦品位是否達標相互獨立.

⑴若20袋鋁礦中恰有2袋不達標的概率為“P),求”P)的最大值點P。：

(2)已知每袋銅礦的檢驗成本為10元，若品位不達標銅礦不慎出場，對于每袋不達標銅礦要

賠付客戶110元.現對這批鋁礦檢驗了20袋，結果恰有兩袋品位不達標.

①若剩余鋁礦不再做檢驗，以(1)中確定的P。作為p的值.這批鋁礦的檢驗成本與賠償費

用的和記作3求E(J);

②以①中檢驗成本與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對余下的所有銅礦進行檢驗？

【解析】(I)20袋鋁礦中恰有2件不達標的概率為

因此(P)=C；0[2p(l—p)'8-18/r(l-p)'7]=2C；。p(l-p)'7(l-10p)

令/(P)=O;得P=01，當pe(OOl)時，/(同>0,〃P)單調遞增，pe(O.l,l)時，

/'(p)<0,/(p)單調遞減，

所以/(P)的最大值點P0=0」.

(2)由(1)知，°=

①令〃表示余下的180袋鋁礦中不達標的袋數,依據題意可知"~5(180,0.1),故EM)=18,

x（f=20x10+110/7，即4=200+110〃，

所以E《）=￡（200+110〃）=200+110￡（力=200+110x18=2180.

②若對余下的鋁礦進行檢驗，則所有檢驗成本為2000元.由于E（J）=2180>2000.應該對

余下的缶礦都進行檢驗.

變式2.（2022?安徽省舒城中學一模（文））某蛋糕店計劃按日生產一種面包，每天生產量相

同，生產成本每個6元，售價每個8元，未售出的面包降價處理，以每個5元的價格當天全

部處理完，該蛋糕店記錄了30天這種面包的日需求量（單位：個），整理得表：

日需求量”282930313233

頻數346674

（1）若該蛋糕店一天生產30個這種面包，以記錄了30天的日需求量的頻率作為日需求量發

生的概率，求當天的利潤不少于60元的概率；

（2）該蛋糕店想提高該面包的銷售利潤，員工甲和乙分別提出兩種方案.甲的方案：保持一天

生產30個這種面包；乙的方案：加大產量一天生產31個這種面包.根據以上30天日需求量

的日平均利潤來決策哪一種方案收益更好.

【解析】（1）由題意可知，當天需求量”30時，當天的利潤"8〃+5（30-〃）-6X30=3〃-30,

當天需求量“230時，當天的利潤y=8x30-6x30=60.

3〃一30,〃<30

故當天的利潤y關于當天需求量n的函數解析式為：y=60,n>30，M€N-

由題意可得:

日需求量n282930313233

日利潤545760606060

頻數346674

則當天的利潤不少于60元的概率P=---

54x3+57x4+60x23

（2）由（1）可得甲的方案的30天的日利潤的平均數為=59（元）,

30

,,⑶?一31,〃<31

同理可得乙的利潤y,關于當天需求量〃的函數解析式為廣62,41

由題意可得:

II需求量”282930313233

日利潤535659626262

頻數346674

53x3+56x4+59x6+62x171791

可得乙的方案的30天的日利潤的平均數=■^=59.7>59

3030

所以乙的方案收益更好.

題型二：道路通行問題

例4.某人某天的工作是，駕車從A地出發，到5,C兩地辦事，最后返回A地A,B,C

三地之間各路段的行駛時間及當天降水概率如表：

路段正常行駛所需時間（小上午降水概率下午降水概率

時）

AB20.30.6

BC20.20.7

CA30.30.9

若在某路段遇到降水，則在該路段行駛的時同需延長1小時.

現有如下兩個方案：

方案甲：上午從A地出發到8地辦事然后到達C地，下午在C地辦事后返回A地；

方案乙：上午從A地出發到C地辦事，下午從C地出發到達3地，辦事后返回A地

（1）若此人8點從A地出發，在各地辦事及午餐的累積時間為2小時，且采用方案甲，求

他當日18點或18點之前能返回4地的概率；

（2）甲、乙兩個方案中，哪個方案有利于辦完事后能更早返回A地？

【解析】解：（1）由題意可知，若各路段均不會遇到降水，則返回A地的時間為17點，

因此若18點之前能返回A地的充要條件是降水的路段數不超過1,

記事件M2,M3分別表示在上午A8路段降水、上午BC路段降水、下午C4路段降水,

則所求概率：

P=尸(％%%)+P(M%%)+P(%%%)+P(%%%)

=0.7x0.8x0.1+O.3xO.8xO.I+0.7x0,2x0.1+0.7x0.8x0.9=0.598.

(2)設基本路段正常行駛時間為x,降水概率為0,

則該路段行駛時間X的分布列為：

行駛時間XXX+1

概率P1-PP

E(X)=x(\-p)+(x+\)p=x+p,

路段正常行駛所需時上午上午下午卜午

間（小時）降水概率行駛時間期望值降水概率行駛時間期望值

AB20.32.30.62.6

BC20.22.20.72.7

CA30.33.30.93.9

設采用甲、乙兩種方案所花費的總行駛時間分別為y,z,

則成=2.3+2.2+3.9=8.4,

￡Z=2.6+2.7+3.3=8.6.

二采用甲方案更有利于辦事之后能更早返回A地.

例5.市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就讀的小學在丙地，三地之間的道

路情況如圖所示.假設工作日不走其它道路，只在圖示的道路中往返，每次在路口選擇道路

是隨機的.同一條道路去程與回程是否堵車相互獨立.假設李先生早上需要先開車送小孩去

丙地小學，再返回經甲地趕去乙地上班.假設道路A,B,。上下班時間往返出現擁堵的概

率都是L,道路C,E上下班時間往返出現擁堵的概率都是,，只要遇到擁堵上學和上班

105

的都會遲到.

(1)求李先生的小孩按時到校的概率；

(2)李先生是否有七成把握能夠按時上班？

(3)設X表示李先生下班時從單位乙到達小學丙遇到擁堵的次數，求X的均值.

【解析】(1)因為道路。、E上班時間往返出現擁堵的概率分別是‘和1，因此從甲到丙遇

105

到擁堵的概率是：-1x±1+1lx1l=aA,故李先生的小孩能夠按時到校的概率是1一a上=

210252020

17

20,

(2)甲到丙沒有遇到擁堵的概率是1與7，丙到甲沒有遇到擁堵的概率也是1以7，甲到乙遇到擁

堵的概率是Lx-L+ix-!-+1xL=2,甲到乙沒有遇到擁培的概率是i—2=巨，

31031035151515

李先生上班途中均沒有遇到擁堵的概率是Ux衛■xll=理＜0.7,所以李先生沒有七成

2020156000

把握能夠按時上班.

⑶依題意X可以取0,1,2.

小1317221…217,13373P(X=2)=Z

P(X=0)=—X——=——P(X=1)=—x——+—x——=——x——=-----

15203001520152030020300

分布列是:

X012

221736

P

300300300

221736_17

E（X）=0x—+lx—+2x

30030030060,

例6.2018年11月6日-11日，第十二屆中國國際航空航天博覽會在珠海舉行。在航展期

間，從珠海市區開車前往航展地有甲、乙兩條路線可走，已知每輛車走路線甲堵車的概率為

■，走路線乙堵車的概率為p,若現在有A,B兩輛汽車走路線甲，有一輛汽車C走路線乙，

且這三輛車是否堵車相互之間沒有影響。

（1）若這三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為廣，求P的值。

（2）在（1）的條件下，求這三輛汽車中被堵車輛的輛數X的分布列和數學期望。

【解析】⑴由已知得C；托（l—p）+言/=（=〃

（2）由題意得X的所有可能取值為0,1,2,3

尸（X=0）W，2）$，P（X=3）=H

,371]_

所以P（X=2）=l-P（X=0）-P（X=l）-P（X=3）=l--

816~486

所以隨機變量X的分布列為

X0123

37]_1

P

8記648

5

故E（X）=0X3+1XZ+2X1+3X±=

8166486

變式3.某校要用三輛汽車從新校區把教職工接到老校區，已知從新校區到老校區有兩條

公路，汽車走公路①堵車的概率為」，不堵車的概率為3；汽車走公路②堵車的概率為p,

44

不堵車的概率為l_p.若甲、乙兩輛汽車走公路①，丙汽車由于其他原因走公路②，且三輛

車是否堵車相互之間沒有影響.

（1）若三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為工，求走公路②堵車的概率；

16

（2）在（1）的條件下，求三輛汽車中被堵車輛的個數g的分布列和數學期望.

【解析】解：（1）三輛車是否堵車相互之間沒有影響

三輛汽車中恰有一輛汽車被堵，是一個獨立重復試驗,

走公路②堵車的概率為P,不堵車的概率為1-P,

即3P=1,貝=」

3

即p的值為

3

（2）由題意知。可能的取值為0,1,2,3

p（^=0）=----=-，P（^=l）=—

v74438v'16

題型三：保險問題

例7.(2022?全國?高三專題練習)根據以往統計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5,

購買乙種保險的概率為0.3,1位車主只購買一種保險.

(1)求該地的1位車主購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；

(2)求該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率.

【解析】(1)記A表示事件“該地的1位車主購買甲種保險”；

8表示事件“該地的1位車主購買乙種保險”；

C表示事件“該地的1位車主購買甲、乙兩種保險中的1種”；

則P(A)=().5,P⑶=0.3,C=AB,

所以P(C)=P(AuB)=尸(A)+P(3)=0.8.

(2)設。表示事件“該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買

則￡>=心,故尸(0)=1-P(C)=1-0.8=02

例8.(2022?全國?高三專題練習)某單位有員工50000人，一保險公司針對該單位推出一款

意外險產品，每年每位職工只需要交少量保費，發生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險

公司把該單位的所有崗位分為A,B,C三類工種，從事三類工種的人數分布比例如餅圖所

示，且這三類工種每年的賠付概率如下表所示：

工種類別ABC

121

賠付概率

存存To7

職業類別分布餅圖

對于A,B,C三類工種，職工每人每年保費分別為。元、。元元，出險后的賠償金額分

別為100萬元、100萬元、50萬元，保險公司在開展此項業務過程中的固定支出為每年20萬

元.

⑴若保險公司要求每年收益的期望不低于保費的15%,證明：153a+176N4200.

（2）現有如下兩個方案供單位選擇：方案一：單位不與保險公司合作，職工不交保險，出意

外后單位自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開展這項工作的

固定支出為每年35萬元；方案二：單位與保險公司合作，。=25,6=60,單位負責職工

保費的80%,職工個人負責20%,出險后賠償金由保險公司賠付，單位無額外專項開支.根

據該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議.

【解析】（1）設工種A,B,C對應職工的每份保單保險公司的收益分別為隨機變量X,7,

Z（單位：元），則X,Y,Z的分布列分別為

Xaa-100xl04

1

p

Yaa-100xl04

2

P

J^y.(a-10)x50000x0.6+(?-20)x50000x0.3+(&-50)x50000x0.1-20xl04

>(t/x50()00x0.6+ax50000x0.3+匕x50000x0.1)x0.15,

整理得153。+17。24200.

(2)方案一：單位不與保險公司合作，則單位每年賠償金支出的期望與固定開支共為

121

30000X100X104X—+15000X100X104X—+5000X50X104X—+35X104=1.2X106(元).

10'105104

方案二：單位與保險公司合作，則單位支出金額為

(30000x25+15000x25+5000x60)x0.8=1.14xl06(元).

因為1.2x106>1.14x106,所以建議單位選擇方案二.

例9.(2022?遼寧?沈陽二中二模)隨著我國經濟的發展，人們生活水平的提高，汽車的保有

量越來越高.汽車保險費是人們非常關心的話題.保險公司規定：上一年的出險次數決定了

下一年的保費倍率，具體關系如下表：

上一年的出險次數012345次以上(含5次)

下一年的保費倍率85%100%125%150%175%200%

連續兩年沒有出險打7折，連續三年沒有出險打6折

經驗表明新車商業車險保費與購車價格有較強的線性相關關系，下面是隨機采集的8組數據

(%)，)(其中x(萬元)表示購車價格，y(元)表示商業車險保費)：(8,2150),(11,2400),

(18,3140),(25,3750),(25,4000),(31,4560),(37,5500),(45,6500).設由這8組數據得到的回

歸直線方程為y=6x+1055.

(1)求b的值.

(2)某車主蔡先生購買一輛價值20萬元的新車.

①估計該車主蔡先生購車時的商業車險保費.

②若該車今年保險期間內已出過一次險，現在又被刮花了，蔡先生到4s店詢價，預計修車

費用為800元，保險專員建議蔡先生自費（即不出險），你認為蔡先生是否應該接受建議？

并說明理由.（假設該車輛下一年與上一年購買相同的商業車險產品進行續保）.

-1900

【解析】⑴X=-X（8+11+18+25+25+31+37+45）=——=25（萬元）

88

1=1x（2150+2400+3140+3750+4000+4560+5500+6500）=^^=4000（元），

88

回歸直線y=加+1055經過樣本點的中心伍引，即（25,4000）,

所以。=三竺=理二W至=117.8.

x25

（2）①價值為20萬元的新車的商業車險保費預報值為117.8x20+1055=3411（元）.

②由于該車已出過一次險，若再出一次險，則保費增加25%,即增加3411x25%=852.75（元）.

因為852.75>800,所以應該接受建議.

變式4.（2022?全國?高三專題練習）2017年泰康集團成立.泰康集團成立后，保險、資管、

醫養三大業務蓬勃發展.為了回饋社會，2021年初推出某款住院險.每個投保人每年度向保險

公司交納保費。元，若投保人在購買保險的一年內住院，只要住院費超過IO4元，則可以獲

得IO4元的賠償金.假定2021年有105人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立.記投

保的1（）'人中出險的人數為久投保的地人在一年度內至少有一人出險的概率為1-0.9997W.

（1）求一投保人在一年度內出險的概率P;

（2）設保險公司開辦該項險種業務除賠償金外的成本為U元，保險公司該項業務的利潤為

H,為保證該項業務利潤的期望不小于0,求每位投保人應交納的最低保費（單位：元）.

【解析】各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是。，投保的10、人中出險的人數自服

從二項分布,即?

（1）記A"保險公司為該險種至少支付IO4元賠償金”，則才發生當且僅當<=0,

P（A）=1-尸（無）=1一尸?=（））=1_（1_0嚴，

又P（A）=l-0.9997i%故0=3x10"；

（2）該險種總收入為105a元，支出是賠償金總額與成本的和；支出101+105,

盈利;7=10%-（10箋+1（）5）,

盈利的期望為助=10%-1（）4斯-105,

由J?B（10=3x107）知，E^=105X3XW4,

E7=105a-104E^-105=105a-104xlO5xSxlO^-lO5.

助20時，105a-104xl05x3xl0^-105>0

a>4（元）.

所以為保證該項業務利潤的期望不小于0,每位投保人應交納的最低保費為4元.

題型四：概率最值問題

例10.(2022?全國?高三專題練習)《中華人民共和國未成年人保護法》是為保護未成年人身

心健康，保障未成年人合法權益，根據憲法制定的法律.某中學為宣傳未成年人保護法，特

舉行一次未成年人保護法知識競賽.競賽規則是：兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別

選答兩題，兩人答題互不影響.若答對題數合計不少于3題，則稱這個小組為“優秀小組”.已

知甲、乙兩位同學組成一組，且甲、乙同學答對每道題的概率分別為6.

(1)若25=］1,則在第一輪競賽中，求該組獲“優秀小組”的概率；

(2)當=：時，求該組在每輪競賽中獲得“優秀小組”的概率的最大值.

【解析】(I)記他們獲得“優秀小組”的事件為事件A,則事件A包含三種情況：

甲答對兩題，乙答對一題的事件8；甲答對一題，乙答對兩題的事件C,甲、乙都答對兩題

的事件D,

事件8、C,力互斥，又因為甲乙兩人答題相互獨立，

P(A)=P(BuCu￡))=P(B)+P(C)+P(r>)=(|)2x2xlx1+2x|xlx(l)2+(|)2x(l)2=^,

所以該組獲“優秀小組”的概率14.

(2)由(1)知甲、乙小組每輪比賽獲“優秀小組”的概率為：

「=年,2〃(1-舄)+2片(1-71)寫+邛丹=片什［2片(1一￡)+2(1-々)舄+片鳥］

=耳巴［2(耳+舄)一3耳￡］,

又e+則“署)2=！，當且僅當［=5=曰時，等號成立，

1<4F14"

而0*41,0</^<1,于是有,因此解=用l―々卜,

令￡=初6］用，則P=-3/+3=-3(1)2+梟瞿，當且僅當小時等號成立，

所以該組在每輪競賽中獲得“優秀小組'’的概率的最大值為捺.

例11.(2022?重慶八中高三開學考試)某單位為了激發黨員學習黨史的積極性，現利用“學

習強國”APP中特有的“四人賽”答題活動進行比賽，活動規則如下：一天內參與“四人賽’'活

動，僅前兩局比賽可獲得積分，第一局獲勝得3分，第二局獲勝得2分，失敗均得1分，小

張周一到周五每天都參加了兩局“四人賽”活動，已知小張第一局和第二局比賽獲勝的概率分

別為P(O<P<1),且各局比賽互不影響.

2

(1)若〃=§，記小張一天中參加“四人賽”活動的得分為X,求X的分布列和數學期望;

(2)設小張在這5天的“四人賽”活動中，恰有3天每天得分不低于4分的概率為f(p),試問

當p為何值時，/(P)取得最大值.

【解析】(1)由題可知，X的可能取值為2,3,4,5.

因為P=;，所以尸(X=2)=彳x彳=2,P(X=3)=—x—=—,/>(X=4)=-x—=—,

3326326323

P(X=5)=|xi=^.

323

故X的分布列為

X2345

工I2

P

6633

-1、1,「I23

E(X)=2x—+3x—+4X-4-5X-=—.

66336

(2)設一天得分不低于4分為事件A,

則尸(A)=5+5=p,

則f(p)=C；pp-p)2=10p3(l一p)2,0<p<l,

貝IJf'(P)=30P2(1_p)2_20P3(1-p)=10p2(l-p)(3-5p).

33

當0<〃<g時，f(p)>o；當時，f(p)<o

所以/(p)在(0，|)上單調遞增，在［I，1)上單調遞減，故當p=|時，"P)取得最大值.

例12.(2022.全國.高三專題練習)北京某高校有20名志愿者報名參加2022年北京冬奧會

服務工作，其中有2名老師，18名學生.若從中隨機抽取”(〃€川,“420)名志愿者，用X表

示所抽取的n名志愿者中老師的人數.

(1)若”=2,求X的分布列與數學期望；

(2)當n為何值時，X=1的概率取得最大值?最大值是多少？

【解析】(1)當"=2時-，X的所有可能取值為0,1,2,

則”=。)=警嚙,S=警吟,尸(X=2)=警喘

所以X的分布列為

X012

153181

P

19095190

￡(X)=Ox—+lx—+2x—=-

190951905

尸（X=1）=寫=續四

（2）X=1的概率為Co1901<n<20,且〃￡N’

―"12

因為“(20-〃)4二為=100,當且僅當〃=20-〃，即〃=10時等號成立,

所以當〃=10時，X=1的概率P（X=1）取最大值，最大值是藍.

變式5.（2022?全國?高三專題練習）某工廠對一批零件進行質量檢測，具體檢測方案是：從

這批零件中任取10件逐一進行檢測，當檢測到2件不合格零件時，停止檢測，此批零件未

通過，否則檢測通過.設每件零件為合格零件的概率為p,且每件零件是否合格是相互獨立的.

（1）已知。=0.9,若此批零件檢測未通過，求恰好檢測5次的概率；

（2）已知每件零件的生產成本為80元，合格零件的售價為每件150元.現對不合格零件進行修

復，修復后按正常零件進行銷售，修復后不合格零件以每件10元按廢品處理.若每件零件修

復的費用為每件20元，每件不合格的零件修復為合格零件的概率為0.6.工廠希望每件零件

可獲利至少60元.求每件零件為合格零件的概率p的最小值？

【答案】（1）0.02916

33

⑵一

38

【分析】（1）若此批零件檢測未通過，恰好檢測5次，則第五次檢驗不合格，前四次有一次

檢驗不合格，再結合二項分布的概率公式，即可求解.

（2）由題意可得，合格產品利潤為70元，不合格產品修復合格后利潤為50元，不合格產品

修復后不合格的利潤為-90元，則X可取70,50,-90,分別求出對應的概率，即可得X

的分布列，并結合期望公式，即可求解.

（1）記事件A="此批零件檢測未通過，恰好檢測5次”則前4次有1次未通過，第5次未

通j1寸.P（A）=C：x0.1x。夕x0.1=0.02916

即恰好檢測5次未通過的概率為0.02916；

（2）由題意可得，合格產品利潤為70元，不合格產品修復合格后利潤為50元，不合格產

品修復后不合格的利潤為-90元，

設每件零件可獲利X元，X=70：50：-90.

p（X=7（））=p；P（X=50）=0.6（1-p）；=-90）=0.4（1-p）,

貝iJE（X）=70p+5OxO.6（l_/?）_9OxO.4（l_p）=76p_6,

33

.\76p-6>60解得

即：每件零件為合格零件的概率P的最小值為工.

變式6.（2022.全國?高三專題練習）隨著中國經濟的迅速發展，市場石料需求急增.西部某

縣有豐富的優質石料，當地政府決定有序開發本縣石料資源.因建立石料廠會破壞生態，該

縣決定石料開發走“開發治理結合，人類生態友好”的路線.當地政府請國家環保機構每年對

該縣與石料開發相關的生態（以下簡稱生態）進行評估.若生態開始變差，則下一年石料廠

將停產（本問題中，時間以整數年為單位），生態友好后復產.該縣在建石料廠之初投入巨

資進行與之有關的生態建設，考慮到可持續發展，這種生態投入（以下簡稱生態投入）將逐

年減少（41na-/—2q+i（））是常數，（）<a<e）億元.該縣從2021年起，若某年生態友

好，則下一年生態變差的概率是若某年生態變差，則下一年生態友好的概率為。.模型

OO

顯示，生態變差的概率不大于0.16683時，該縣生態將不再變差，生態投入結束.

（1）若2021年該縣生態變差的概率為g,求該縣2022年生態友好的概率;

（2）若2021年該縣生態變差概率為生態投入是40億元，“為何值時，從2021年開始到

生態投入結束，對該縣總生態投入額最小？并求出其最小值.

【解析】（1）設A="該縣2021年生態友好”，8="該縣2022年生態友好”，

?.?該縣2021年生態變差的概率為:，即P（A）=§,尸（A）=],

...如果該縣2021年生態友好，那么它2022年生態友好的概率為

217

P（AB）=-x（l--）=-,

jo1Z

該縣2021年變差，那么它2022年友好的概率為

-155

P(AB)=_x-=——

3824

因為“該縣2021年生態友好，那么它2022年生態友好”與“該縣2021年生態變差，而2022年

生態友好”是互斥事件,

_7519

所以，=P(AB)+P(AB)=—+—=—,

19

所以，該縣2022年生態友好的概率為五.

（2）設該縣2021年生態變差的概率為P,

7s71

同（1）可得，該縣2022年生態友好的概率為g（l-P）+K〃=不一二p,

8884

該縣2022年生態變差的概率為+g,

48

?，.該縣2023年生態變差的概率為+:=(1)2〃+，XJ+：,

44884488

該縣從2022年開始的第〃年生態變差的概率為

*+96(p_》+(p=g'

...若從2022年開始到生態投入結束共有〃年，則6683,

4366

即22"21020.4,

??M—5?

對該縣總生態投入額

22

S6=6x40-^(41na-a-2?+10)=90+15(a+2a-41na),

.30(a+2)("l)

??勒=^,

若0<"1,則黑<0,$6單調遞減；若。>1,則￥>0,$6單調遞增，

由于4=1時，S：=0,所以，當。=1時，段最小，且最小值是135億元，

也就是說，當。=1時，對該縣總生態投入額最小，最小值為135億元.

題型五：放回與不放回問題

例13.(2022?福建?寧德市高級中學高三階段練習)己知一個袋子里裝有顏色不同的6個小球,

其中紅球2個，黃球4個，現從中隨機取球，每次只取一球.

(1)若每次取球后都放回袋中，求事件“連續取球三次，至少兩次取得紅球”的概率；

(2)若每次取球后都不放回袋中，且規定取完所有紅球或取球次數達到四次就終止取球，記

取球結束時一共取球X次，求隨機變量X的分布列與期望.

3,-^1

【解析】(1)連續取球三次，記取得紅球的次數為則&I3),

貝11尸(422)=^^尸、|+0；(》3=5.

(2)隨機變量X的所有可能取值為2,3,4,

P(X=2)=|xl=1,

所以隨機變量X的分布列為

X234

124

P———

15155

所以隨機變量X的期望為E(X)=2x/3x5+4x1噌.

例14.(2022.湖北.高三開學考試)袋中有同樣的球5個，其中3個紅色，2個黃色，現從中

隨機且不放回的摸球，每次摸I個，當兩種顏色的球都被摸到時，即停止摸球，記隨機變

量4為此時已摸球的次數，求：

(1)尸(4=2)的值；

(2)隨機變量J的概率分布列和數學期望.

【解析】(I)由已知可得從袋中不放回的摸球兩次的所有取法有種，事件4=2表示第

一次取紅球第二次取黃球或第一次取黃球第二次取紅球，故事件歲=2包含C；C；+C；C；種取

法，

所以%=2)，般y=1

2,3,4*2)-C；C；+；C、3

(2)隨機變量&可取的值為‘‘5

n——、A仁;+A：C；3,、A：C；1

=3)=~,■-=—;n/e=4)=,:=—.

C；C；C；10-C；C；C；C；10

得隨機變量J的概率分布列為：

隨機變量4的數學期望為：￡(^)=2X|+3X^+4X-1=2.5

例15.(2022.全國?高三專題練習)在10件產品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等

品.

(1)若從這10件產品中任意抽取1件，設抽取到一等品的件數為3求4的分布列.

(2)若從這10件產品中隨機連續抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都放回，設抽取到一

等品的件數為"，求的分布列，

(3)若從這10件產品中隨機連續抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都不放回，設抽取到

一等品的件數為X,求

①X的分布列；

②抽取到的3件產品中一等品件數多于二等品件數的概率.

【解析】(1)由題意知g的可能取值為o,1,所以g服從兩點分布,

37

P(