中學數學概念課型與其教學設計

譚國華

【專題名稱】中學數學教與學

【專題號】G312

【復印期號】2014年02期

【原文出處】《中學數學探討》(廣州)2013年6上期第4?8頁

【作者簡介】譚國華，廣州市教化局教研室(510030).

在我國中學數學教學中，有按課型特點設計和組織教學的傳

統.但是，對于如何劃分課型以與如何相識每一類課的一般結構特點

等問題，始終以來都未得到很好的解決.究其緣由，主要是我們過去

對中學數學課型的探討基本上是依據廣闊老師的教學實踐閱歷，對課

型結構特點的歸納總結，或者只是泛泛而談，提出一些基本原則，缺

乏可操作性；或者因人而異，不同人的觀點有很大的不同.因此，原

有的課型理論對課堂教學的指導作用有限.

在過去，由于受教化心理學特殊是教學心理學發展所限，要想專

心理學的探討成果來指導中小學課堂教學的探討也是心有余而力不

足，更別說是用來指導課型的探討.但現在的狀況大不相同了.從1980

年頭以來，教化心理學與中小學課堂教學的關系越來越緊密，對中小

學課堂教學的指導作用越來越干脆而有力.近幾年，我們借助教化心

理學的探討成果，特殊是學習心理學和教學心理學的探討成果指導課

型的探討，取得較為可喜的成效.詳細做法是，一方面使中學數學課

型的理論保持我國傳統課型理論中課型的整體性與綜合性特點，以便

利操作；同時，融入現代學習理論關于學習分類的觀點，對每一種課

型中涉與的主要學問的類型與其學習的過程、有效學習的條件進行深

化的分析，以此為中學數學教學設計奠定堅實的科學基礎.本文僅對

有關中學數學概念課型與其教學設計的探討成果作簡要介紹.

一、中學數學概念課型的基本特點

我國傳統的課型概念有兩種含義：一是指課的類型，它是按

某種分類基準（或方法）對各種課進行分類的基礎上產生的.例如，

《中國大百科全書。教化卷》（1985年版）中關于課的類型，是指

依據不同的教學任務或按一節課主要采納的教學方法來劃分課的類

別.二是指課的模型，它是在對各種類型的課在教學觀、教學策略、

教材、教法等方面的共同特征進行抽象、概括的基礎上形成的模型、

模式.在這種意義下，課型可以看作是微觀的課堂教學模式.

本文所指的課型主要是指課的類型，是依據一節課（有時是連續

的兩節或三節課）擔當的主要教學任務來劃分的，但是同時它也兼具

課的模型的含義.

這是因為依據教學心理學的有關理論，不同的教學任務分屬不同

的學問類型，而不同類型學問的學習過程與學習所需的內、外部條件

是不同的，這就導致了不同的課堂教學結構.具有某種特點的課堂教

學結構事實上就是微觀的課堂教學模式，也即是課的模型.

在中學數學教學中，數學概念可以劃分為原始概念和定義性概念.

原始概念一般是通過對一系列的例證干脆視察和歸納而習得，這類概

念一般不需單獨設課講授，只需結合其他概念或規則的學習附帶進行

即可習得.而定義性概念中的那些次要的和易學的數學概念往往也不

單獨設課講授.但是，在中學數學概念中，有很多重要的定義性概念

往往是要單獨設課講授的，這一類課是具有共同的課堂教學結構特點

的，于是，我們將這一類須要單獨設課講授的、重要的定義性概念課

統稱為中學數學概念課型.

1.教學任務分析

中學數學概念課型的主要教學任務是使學生駕馭概念所反

映的一類事物的共同本質屬性，以與運用概念去辦事，去解決問題.

因此，中學數學概念學習主要應作為程序性學問學習.

依據學習心理學關于定義性概念的學習過程與條件的分析，中學

數學概念教學有三項內容：一是要明確數學概念是什么，也就是要幫

助學生習得概念，這將涉與前面提到的四個方面即概念的名稱、定義、

屬性和例證的分析；二是要運用概念去辦事，即將習得的數學概念運

用到各種詳細情境中去解決相應的問題；三是要辨明相關概念間的關

系，形成概念系統.其中前兩項內容完全屬于中學數學概念課型的教

學任務，第三項內容中一般只有部分內容屬于概念課型的教學任務，

形成完整的概念系統則屬于中學數學復習課型的教學任務，我們將在

復習課型中進行探討.

2.學與教的過程和條件

中學數學概念學與教的一般過程可以以我國教化心理學家

皮連生創立的“六步三段兩分支”教學模型為線索進行分析.（詳細

內容請參見參考文獻［1］）

第一階段：習得階段

主要教學任務是幫助學生習得數學概念，明確數學概念是什

么，重點是促進學生對所學數學概念的理解.教學中，幫助學生習得

數學概念一般須要做好下面四件事情.

首先，揭示概念所反映的一類事物的本質屬性，給概念下定義.

其次，辨別概念的正例和反例，并結合定義賜予恰當的說明.

再次，用不同的語言形式對概念加以說明,如將概念的定義由文

字語言表述轉換為用符號語言或圖形語言表述.

最終，對概念做深化分析，著重在以下四點：

①辨明所學數學概念與原有相關數學概念之間的關系；

②分析所學數學概念的其他一些重要屬性或特征；

③分析所學數學概念與其形成過程中蘊含的數學思想方法；

④分析所學數學概念與其形成過程中蘊含的情感教化內容.

當然,并非每一個數學概念的教學都要完成全部這些事情.對于

一些簡潔的、次要的數學概念，有時只需完成前三件事情就可以了.

習得概念的基本形式有兩種:一種叫概念形成,另一種叫概念同

化.

①概念形成這是一種從辨別概念的例證動身，漸漸歸納概括出概

念的本質屬性的學習方式，其心理機制可用奧蘇貝爾的上位學習模式

來說明.（詳細內容見參考文獻［1］）

學與教的基本過程：

知覺辨別（供應概念的正例，引導學生分析概念例證的特征）

一提出假設（對概念例證的共同本質特征作出假設）一檢驗假設，使

假設精確化一概括（給概念下定義）一辨別概念的正例、反例（正例

應有助于證明概念的本質屬性，反例應有助于剔除概念的非本質屬

性）一用不同的語言形式對概念加以說明一對概念做深化分析（分析

與相關數學概念之間的關系，揭示概念的其他一些重要屬性或特征）.

學習的內部條件（即學生自身應具備的條件）：

學生必需能夠辨別正、反例證.

學習的外部條件（即教學應供應的條件）：

第一，必需為學生供應概念的正、反例，正例應有兩個或兩

個以上，正例的無關特征應有改變，以幫助學生更好地辨別概念的本

質屬性和非本質屬性；正例應連續呈現，最好能同時讓學生意識到，

以幫助學生形成概括.

其次,學生必需能從外界獲得反饋信息,以檢驗其所做的假設是

否正確.

第三，供應適當的練習，并賜予矯正性反饋.

采納概念形成的學習方式涉與如何給概念下定義的問題.明確概

念的定義方式，對于老師更好地分析概念以與促進學生形成概括是有

幫助的.在中學數學中，對于一些重要的數學概念大多數采納屬加種

差的定義方式.這里的屬是指屬概念，種是指種概念.屬概念和種概念

是指具有包含關系的兩個概念，即假如概念A的外延真包含概念B的

外延，則稱概念A為概念B的屬概念，而概念B即為概念A的種概念.

通常，也稱概念A為概念B的上位概念，而概念B即為概念A的下位

概念.可用公式表示：

被定義概念=種差+最鄰近的屬概念.

公式中，最鄰近的屬概念是指在被定義概念的全部上位概念中外

延最小的上位概念（屬概念），種差就是被定義概念在它的最鄰近的

屬概念里區分于其他種概念的那些本質屬性.

例如，一元二次不等式的定義是:只含有一個未知數且未知數的

最高次數是2的不等式叫做一元二次不等式.這個定義中，被定義概

念是一元二次不等式；最鄰近的屬概念是不等式；種差是“只含有一

個未知數且未知數的最高次數是2"，這是一元二次不等式獨有的而

且能夠將一元二次不等式與其他不等式區分開來的本質屬性.

②概念同化概念同化是通過干脆下定義來揭示一類事物的共同

本質屬性，從而習得概念的一種學習方式，其心理機制可用奧蘇伯爾

的下位學習模式來說明.

學與教的基本過程：

呈現概念的定義一分析定義，包括揭示概念的本質屬性和構

成定義的各部分的關系一辨別概念的正例、反例（正例應有助于證明

概念的本質屬性，反例應有助于剔除概念的非本質屬性）一用不同的

語言形式對概念加以說明一對概念做深化分析（分析與相關數學概念

之間的關系，揭示概念的其他一些重要屬性或特征）.

學習的內部條件：

學生的原有認知結構中應具有同化新概念的適當的上位概

念（或結構），而且這一上位概念（或結構）越鞏固、越清楚就越有

利于同化新的下位概念.

學習的外部條件：

第一，言語指導，以幫助學生更好地理解概念的本質屬性.

其次，供應符合概念定義的正例和不符合概念定義的反例.

第三，供應適當的練習，并給以矯正性反饋.

其次階段：轉化階段

第一階段習得的概念仍屬于概念的陳述性形式.若要運用概

念對外辦事，則還需將它轉化為程序性形式，也就是轉化為辦事的技

能.這是本階段的主要教學任務，重點是要明確運用概念辦事的情境

和程序，并在一些典型的情境中嘗試運用概念.轉化的關鍵條件是要

供應變式練習.

運用數學概念辦事大致可分兩種狀況:一種是為數學概念自己辦

事，解決與數學概念本身有關的問題；另一種是運用概念的本質屬性

和一些重要的非本質屬性去解決有關數學運算、推理、證明問題以與

解決實際問題.例如，函數概念的運用，一種是為函數自己辦事，如

求函數的解析式、函數值、定義域、值域，作函數的圖象，判定函數

的單調性和奇偶性，求函數的最值等；另一種是運用函數的概念、圖

象、性質等解決與方程、數列、不等式等相關問題，或建立函數模型

解決實際問題.函數概念教學與變式練習的重點就在于嫻熟駕馭每一

種情境中辦事的程序和步驟.

第三階段：遷移與應用階段

這是其次階段的延長.通過變式練習，學生已能在一些典型

的情境中運用概念，已初步形成運用概念對外辦事的技能.本階段是

要進一步供應概念應用的新情境，以促進遷移，其關鍵條件是供應綜

合練習.綜合練習中問題的類型或情境應多樣化，和其次階段相比有

類似的，也有新的呈現，以有效地幫助學生在不憐憫境中獨立運用概

念解決問題.這一階段既可在課內完成，也可在課外完成，但通常都

要反復多次才能完成.

3.中學數學概念課教學的基本程序

依據上面的分析，結合廣義學問學與教的“六步三段兩分

支”教學模型，我們可以將中學數學概念課型教學的基本程序簡要歸

納為：

第一階段：習得階段(習得數學概念)

(1)引起留意與告知目標，使學生對學習新概念產生肯定

的預期，從而激發學生的學習動機.

(2)提示學生回憶原有學問，以便為同化新概念做好打算.

(3)引入概念，使學生初步感知概念的本質屬性.這里，既要從

學生接觸過的詳細內容引入，也要留意從數學內部提出問題.

(4)采納概念形成或概念同化的形式幫助學生習得概念的陳述

性形式，即理解概念.

其次階段：轉化階段(將習得的概念轉化為辦事的技能)

(5)通過變式練習促進學生將習得的陳述性形式的概念轉

化為程序性形式，即轉化為辦事的技能.

第三階段：遷移與應用階段（運用概念對外辦事）

（6）通過課外作業、復習、間隔練習和在后續課程內容中

應用概念等多種形式，為學生供應概念應用的情境，促進保持與遷移.

依據中學數學教學的特點，第一、二兩個階段的5步通常是在課

內完成.第三階段即第6步為概念的鞏固、遷移和應用階段，通常是

在課外和后續的課程中完成.

對于以學案自學為主的教學則需考察其學案編寫以與老師課堂

上供應的幫助是否有助于學生完成學習的三個階段.

二、中學數學概念課型教學設計舉例

下面以《對數函數與其性質》（詳細內容見參考文獻［2］第

節）的教學過程分析為例，詳細說明中學數學概念課型的教學設計過

程.

1.教學任務分析

本節教材有兩項學習內容：

（1）對數函數的概念；

（2）反函數的概念.

第（1）項內容屬于定義性概念學習，需達到駕馭水平.對對數函

數概念的學習需采納數形結合方法從數和形兩個方面綻開.

第（2）項內容也屬于定義性概念學習.中學數學課程標準對反函

數的學習要求已經降低.本課學習反函數的概念，主要為了幫助學生

明確對數函數和指數函數間的關系，從而深化對數函數概念的理解.

因此，本節教材主要是對數函數概念的學習，反函數概念的學習只需

達到了解水平即可.

本節教材的主要教學任務是對數函數概念的教學，屬于概念課

型，需按中學數學概念課的課型特點來設計整個教學過程.詳細教學

要做到三點：

第一，要幫助學生明確對數函數概念是什么，包括四個方面:

對數函數的定義、名稱、例證和屬性.依據函數的特點，對對數函數

屬性的探討應包括形和數兩個方面.

其次,要運用對數函數概念去辦事,教材主要要求能解決三方面

問題：求對數型函數的定義域，比較兩個對數值的大小，解決簡潔的

實際問題.

第三，要明確對數函數與指數函數與函數的關系.其中,辨明對

數函數概念與指數函數概念的關系須要先介紹反函數概念.

本節教材一般應支配2課時.第1課時學習對數函數的概念、圖

象與性質.第2課時學習運用對數函數解決簡潔的兩數大小比較、運

用對數函數模型解決簡潔實際問題和反函數概念.為了幫助學生形成

運用對數函數概念去辦事的實力，須要補充適量的變式練習題.

2.教學的基本過程

第一階段：習得階段.習得對數函數的概念.

第一步引起留意與告知目標.

通過本課的學習，學生應能做到：

（1）初步駕馭對數函數的概念.包括：

①能陳述對數函數的定義，并能列舉正例、反例加以說明；

②能用描點法畫出詳細對數函數的圖象，并能用自己的話描

述一般對數函數的圖象特征和基本性質；

③能依據對數函數的單調性比較兩個對數值的大小.

(2)了解反函數的概念，進一步明確對數函數和指數函數之間

的關系.

(3)通過對實際問題的分析，能初步相識到對數函數模型與現

實生活以與與其他學科的親密聯系和應用價值，提高數學應用的意識.

其次步復習原有學問.

對本課學習影響較大的原有學問,一是函數概念和指數函數概

念，二是描點法畫函數的圖象.對數函數的定義是屬加種差的定義方

式，函數是其上位概念，也是其最鄰近的屬概念.因此，在學習新課

之前，應幫助學生回憶函數和指數函數的定義，以與函數圖象的畫法.

第三步采納概念同化方式習得對數函數的定義.

習得對數函數的定義可以采納概念形成的方式，也可以采納概念

同化的方式.如采納概念形成方式則需列舉兩至三個正例.我們這里

是采納概念同化方式.

(1)引入概念

教材供應了一個引例：通過碳14的含量測量出土文物的年

頭.這個引例能起兩方面的作用：一是使學生初步感知對數函數的概

念；二是使學生相識對數函數的應用價值，激發學生的學習動機.老

師應引導學生視察教材中給出的t和P的取值的對應表，體會“對每

一個碳14的含量P的取值，通過對應關系巴J,都有唯一的生物死

亡年數t與之對應”，從而說明t是P的函數.

(2)呈現并分析定義

依據對數函數的定義方式，分析時要講清兩點：一是最鄰近

的屬概念，二是種差.在對數函數的定義中，最鄰近的屬概念是函數，

函數與對數函數構成了上下位關系，即對數函數是一種函數；種差是

指兩個變量間的對應關系為回I(a>0,且aWl),種差也就是對數

函數區分于其他函數的本質屬性，即對數函數是一類特殊的函數.

分析定義的目的是為了幫助學生形成對定義的深化理解.老師可

以提出一些問題供學生思索.例如：定義中為什么要規定a>0,且

aWl?為什么對數函數I曰J(a>0,且aWl)的定義域是(0,+°°)?

(3)列舉正例與反例

通過列舉正例、反例，幫助學生進一步加深對概念的理解.

第四步采納概念形成方式習得對數函數的圖象與性質.

對各種不同的函數的概念學習都包括數和形兩個方面，畫函數圖

象既是為了獲得函數的性質，也是為了從形的方面更好地理解函數概

念.將圖象上視察到的共同特征用代數語言表達出來，就得到一類函

數的性質.這一過程體現了數形結合的基本思想.

(1)在同一坐標系內采納描點法畫出對數函數的圖象

應分0Va<l和a>l兩種狀況，每種狀況至少舉兩個對數

函數的例子，在同一坐標系內采納描點法畫出它們的圖象.有的老師

在教學時，每種狀況都只舉一例，這是不能形成對共有的關鍵特征的

概括的.有的老師說教材也只舉一例，這是不對的.教材中有一段話：

“選取底數a（a>0,且aWl）的若干個不同的值，在同一平面直角

坐標系內作出相應的對數函數的圖象.視察圖象，你能發覺它們有哪

些共同特征嗎？”教學時應落實教材的這個意圖.

（2）通過視察圖象的特征，概括出一般對數函數的性質

視察和分析圖象，歸納它們的共同特征和性質，并由此概括

出一般對數函數的圖象特征和性質.

其次階段:轉化階段.將?習得的對數函數概念轉化為辦事的技能.

第五步樣例學習和變式練習

這一步主要任務是幫助學生學會如何運用概念去辦事，其核

心是駕馭運用的方法與步驟.依據教材的要求，分為三種狀況.

（1）運用對數函數定義解決求對數型函數的定義域問題

教材中供應了兩個例題，均屬于對數型的函數.

教學中應結合這兩個例題分析對數型函數與對數函數的異同，以

與總結求這類函數定義域的基本方法.

例1求函數［MJ（a>0,且aWl）的定義域.

通過樣例學習后讓學生小結求對數型函數的定義域的步驟，并進

行變式練習.如求下列函數的定義域：

（2）運用對數函數性質解決比較兩個對數值大小的問題

教材中供應了三個例題，三個例題分屬三種類型.教學中應

結合這三個例題，總結運用對數函數的單調性比較兩個對數值的大小

的基本方法.同樣，先學習樣例，然后再進行變式練習.

例2比較下列兩個值大小：

回

在學習例2時，老師可以提出一些問題引發學生的思索.如

本題