高中數學知識易錯點梳理

一、集合、簡易邏輯、函數

1.研究集合必須注意集合元素的特征即三性(確定，互異，無序)；已知集合A={x,xy,Igxy},

集合

B={0,IxI,y},且A=B,貝!|x+y=

2.研究集合，首先必須弄清代表元素，才能理解集合的意義。已知集合M={y|y=x2,xG

R},N={yIy=x?+l,xGR},求MAN；與集合M={(x,y)Iy=x2,xGR},N={(x,y)Iy=x2+l,x

GR}求MAN的區別。

3.集合A、B,Ac3=0時，你是否注意到“極端”情況：A=0或5=0；求集合的

子集6時是否忘記0.例如：口一2卜2+2(a—2卜一1<0對一切xeR恒成立,

求a的取植范圍，你討論了a=2的情況了嗎？

4.對于含有n個元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為

2",2"-1,2"-1,2"-2.如滿足條件{1}=加(={1,2,3,4}的集合,"共有多少個

5.解集合問題的基本工具是韋恩圖；某文藝小組共有10名成員，每人至少會唱歌和跳舞中

的一項，其中7人會唱歌跳舞5人會，現從中選出會唱歌和會跳舞的各一人，表演一個唱

歌和一個跳舞節目，問有多少種不同的選法？

6.兩集合之間的關系。M={^x=2k+\,keZ],N={)\x=4k+\,keZ}

7.(GA)n(CuB)=Ci(AUB)(GA)U(GB)=CMACB)；AC\B=B=>BA；

8、可以判斷真假的語句叫做施逛

邏輯連接詞有“或”、“且”和“非”.

P、q形式的復合命題的真值表：

PqP且qP或q

真真真真

真假假真

假真假真

假假假假

原命題與逆否命題同真同假；逆命題與否命題同真同假.

10、你對映射的概念了解了嗎？映射f：A-B中，A中元素的任意性和B中與它對應元素的

唯一性，哪幾種對應能夠成映射？

11、函數的幾個重要性質：

①如果函數y=/(x)對于一切xeR,都有f(a+x)=/(a—x)或f(2a-x)=f(x),

那么函數y=/(x)的圖象關于直線x=a對稱.

②函數y=/(x)與函數y=/(-x)的圖象關于直線x=O對稱；

函數y=/(x)與函數y=—/(x)的圖象關于直線y=O對稱；

函數y=/(x)與函數y=—/(—x)的圖象關于坐標原點對稱.

③若奇函數y=/(x)在區間(0,”)上是遞增函數，則y=/(x)在區間(-8,0)上也是遞

增函數.

④若偶函數y=/(x)在區間(0,+8)上是遞增函數，則y=/(x)在區間(―oo,0)上是遞減

函數.

⑤函數y=/(x+a)(a>0)的圖象是把函數y=/(x)的圖象沿x軸向左平移a個單位得

到的；函數y=/(x+a)((a<O)的圖象是把函數y=/(x)的圖象沿x軸向右平移時

個單位得到的；

函數y=/(x)+a(a>0)的圖象是把函數y=/(x)助圖象沿y軸向上平移a個單位得到

的；函數y=/(x)+a(a<0)的圖象是把函數丁=/(x)助圖象沿y軸向下平移同個單位

得到的.

12、求一個函數的解析式和一個函數的反函數時，你標注了該函數的定義域了嗎？

13、求函數的定義域的常見類型記住了嗎？函數丫=也,三?的定義域是；

]g(x-3)2

復合函數的定義域弄清了嗎？函數/(x)的定義域是[0,1],求川oggx)的定義域.函數/(x)的

定義域是b>-a>0,求函數F(x)=/(%)+/(t)的定義域

14、含參的二次函數的值域、最值要記得討論。若函數尸asir?戶2cos『b2(4￡心的最小值

為/〃，求in的表達

15、函數與其反函數之間的一個有用的結論：設函數y二f(x)的定義域為A,值域為C,則

①若a@A,則a=fT[f(a)];若b￡C,貝！Jb=f[fT(b)];②若p￡C,求fT(p)就是令p=f(x),

求x.(xeA)即f-x[a)=bof(b)=a.互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y=x對稱，

16、互為反函數的兩個函數具有相同的單調性;原函數y=/(x)在區間[-a,司上單調遞增，

則一定存在反函數，且反函數y=/T（x）也單調遞增；但一個函數存在反函數，此函數不一

定單調.

17、判斷一個函數的奇偶性時，你注意到函數的定義域是否關于原點對稱這個必要非充分條

件了嗎？在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數;兩個偶函數的乘積是偶函數;一個奇

函數與一個偶函數的乘積是奇函數；

18、根據定義證明函數的單調性時，規范格式是什么？（取值，作差，判正負.）可別忘了導數

也是判定函數單調性的一種重要方法。

19、你知道函數y=x+@（a〉0）的單調區間嗎？（該函數在（-8,-0和距,+0。）上單調

遞增；在和上單調遞減）這可是一個應用廣泛的函數！

20、解對數函數問題時，你注意到真數與底數的限制條件了嗎？（真數大于零，底數大于零

且不等于1）字母底數還需討論呀.

21、對數的換底公式及它的變形，你掌握了嗎？（log?b=?bn=log?b）

log,,a0

22、你還記得對數恒等式嗎？（￡3=b）

23、“實系數一元二次方程a/+區+。=0有實數解”轉化為“△=〃—4。。20”，你是

否注意到必須awO；當a=0時，“方程有解”不能轉化為△=/—4acN0.若原題中

沒有指出是“二次”方程、函數或不等式，你是否考慮到二次項系數可能為零的情形？

二、三角、不等式

24、三角公式記住了嗎？兩角和與差的公式；二倍角公

式：萬能公式正切半角公式

；解題時本著“三看”的基本原則來進行：“看角，看函數,看特征”，

基本的技巧有:巧變角，公式變形使用，化切割為弦,用倍角公式將高次降次，

25、在解三角問題時，你注意到正切函數、余切函數的定義域了嗎？正切函數在整個定

義域內是否為單調函數？你注意到正弦函數、余弦函數的有界性了嗎？

26、在三角中，你知道1等于什么嗎？（1=sin?x+cos?x=se（?x-taifx

TTTT

=tanx-cotx=tan—=sin—=cosO....這些統稱為1的代換）常數“1"的種種

42

代換有著廣泛的應用.（還有同角關系公式：商的關系，倒數關系，平方關系；誘導公試：僉

變偶不變，符號看象限）

27、在三角的恒等變形中，要特別注意角的各種變換.（如

a+

4=（a+0）-a,0=（a—戶）+a,

2I"卜）

28、你還記得三角化簡題的要求是什么嗎？項數最少、函數種類最少、分母不含三角函

數、且能求出值的式子，一定要算出值來）

29、你還記得三角化筒的通性通法嗎？（切割化弦、降基公式、用三角公式轉化出現特

殊角.異角化同角，異名化同名，高次化低次）；你還記得降幕公式嗎？

COS2X=(1+COS2X)/2;sin2x=(l-cos2x)/2

30、你還記得某些特殊角的三角函數值嗎？

,5?！?5。=吟&畝75。915。=逅產.8。=亨)

31、你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎？(/=|同r,5扇形=3")

32、輔助角公式：〃sinx+Z?cos%=J？T^'sin(x+e)(其中。角所在的象限由a,b

的符號確定，。角的值由tan。=2確定)在求最值、化簡時起著重要作用.

a

33、三角函數(正弦、余弦、正切)圖象的草圖能迅速畫出嗎？能寫出他們的單調區、

對稱軸，取最值時的x值的集合嗎？(別忘了keZ)

三角函數性質要記牢。函數y=Asin(口?x+0)+k的圖象及性質:

2〃

振幅|A|,周期T=若X=xo為此函數的對稱軸，則Xo是使y取到最值的點，反之亦然,

H,

使y取到最值的x的集合為--------------------，當o>0,A>0時函數的增區間為

,減區間為----------；當。<0時要利用誘導公式將①變為大于零后再用上

面的結論。

五點作圖法：令加r+O依次為0、，萬,與,2萬求出x與y,依點(x,y)作圖

34、三角函數圖像變換還記得嗎？

平移公式(1)如果點P(x,y)按向量：=缶/)平移至P'(x',y'),則

x=x+h,

y^y+k.

(2)曲線f(x,y)=0沿向量a=(/z,Z)平移后的方程為f(x-h,y-k)=0

35、有關斜三角形的幾個結論：(1)正弦定理：(2)余弦定理：(3)面積公式

36、在用反三角函數表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時，你是否注意到它

們各自的取值范圍及意義？

①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、向量的夾角的取值范圍依次是

fTT7T

0,-,[0,-],[0,^].

I2」2

TT

②直線的傾斜角、4到4的角、與乙的夾角的取值范圍依次是[0,乃),[0,乃),(0,'].

7/'Ji)]_

③反正弦、反余弦、反正切函數的取值范圍分別是[——,—],[0,乃],(——

2222

37、同向不等式能相減，相除嗎？

38、不等式的解集的規范書寫格式是什么？(一般要寫成集合的表達式)

39、分式不等式暝>。（。力0）的一般解題思路是什么？（移項通分，分子分母分解因

g（M

式，x的系數變為正值，奇穿偶回）

40、解指對不等式應該注意什么問題？（指數函數與對數函數的單調性，對數的真數大

于零.）

41、含有兩個絕對值的不等式如何去絕對值？（一般是根據定義分類討論）

42、利用重要不等式a+/?22，茄以及變式/）等求函數的最值時，你是否

注意到a,bG/?+（或a,b非負），且“等號成立”時的條件，積ab或和a+b其中之

一應是定值？（一正二定三相等）

43、、竺上Z2g吆2疝2空■,（a,bcR*）（當且僅當a=b=c時，取等號）；

V22a+b

a、b、ceR,a2+b2+c2>ab+bc+ca（當且僅當a=b=c時，取等號）；

44、在解含有參數的不等式時，怎樣進行討論？（特別是指數和對數的底0<4<1或

?>1）討論完之后，要寫出：綜上所述，原不等式的解集是…….

45、解含參數的不等式的通法是“定義域為前提，函數增減性為基礎，分類討論是關鍵

46、對于不等式恒成立問題，常用的處理方式？（轉化為最值問題）

三、數列

47、等差數列中的重要性質：（1）若加+〃=〃+</,則％,+%=4。+4；（2）

數列｛—｝，包J阿+與仍成等差數列；sn,s2n-sn）s3n-s2n?WJ

（3）若三數成等差數列，則可設為a-d、a、a+d；若為四數則可設為a-^d、a-Id.a+'d、

222

a+-d；

2

（4）在等差數列中，求Sn的最大（?。┲担渌悸肥钦页瞿骋豁?，使這項及它前面的項皆取正

（負）值或0,而它后面各項皆取負（正）值，則從第一項起到該項的各項的和為最大（?。?即：當

ai>0,d〈0,解不等式組an20an+1<0可得Sn達最大值時的n的值；當a1<0,d>0,解不等

式組an〈0an+i》0可得Sn達最小值時的n的值；（5）.若an,如是等差數列,Sn,5分

別為an，%的前n項和，則》="。.（6）.若｛冊｝是等差數列，則心產｝是等比數列，若

｛%｝是等比數列且冊>0,則｛10g/,｝是等差數列.

48、等比數列中的重要性質：（1）若加+〃=p+q,貝=%,q；（2）Sk,

S2k-Sk,S3k-S2A成等比數列

49、你是否注意到在應用等比數列求前n項和時，需要分類討論.（q=l時，Sn=na,；

50、等比數列的一個求和公式：設等比數列｛4｝的前n項和為S“，公比為q,則

S,"+"=S,"+q"'Sn.

51、等差數列的一個性質：設是數列｛/｝的前n項和，｛。“｝為等差數列的充要條件是

2

Sn=an+bn（a,b為常數）其公差是2a.

52、你知道怎樣的數列求和時要用“錯位相減”法嗎？（若％=。,力“，其中｛%｝是等差

數列，物,｝是等比數列，求｛%｝的前n項的和）

53、用=S“—S'-求數列的通項公式時，你注意到q=號了嗎？

54、你還記得裂項求和嗎？（如一?—=--——.）

〃（〃+1）nn+1

四、排列組合、二項式定理

55、解排列組合問題的依據是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合.

56、解排列組合問題的規律是：相鄰問題捆綁法；不鄰問題插空法；多排問題單排法；

定位問題優先法；多元問題分類法；有序分配問題法；選取問題先排后排法；至多至少

問題間接法，還記得什么時候用隔板法？

57、排列數公式是：組合數公式是：排列數與組合數的關系是：P：

組合數性質：-C：+C：T=C：、￡。；=2"

r=O

cr+cr+cr+…川

nn2

二項式定理：（a+。）"=C：a"+C｝,a-'b+C；ta-b-+…+C：a"+…+C?"

nr

二項展開式的通項公式：Tr+I=C'na-b'（r=0A,2--；ri）

五、立體幾何

58、有關平行垂直的證明主要利用線面關系的轉化：線〃線o線〃面o面〃面，線，線o

線，面O面，面，垂直常用向量來證。

59、作出二面角的平面角主要方法是什么？（定義法、三垂線法）三垂線法：一定平面,

二作垂線，三作斜線，射影可見.

60、二面角的求法主要有：解直角三角形、余弦定理、射影面積法、法向量

61、求點到面的距離的常規方法是什么？（直接法、等體積變換法、法向量法）

62、你記住三垂線定理及其逆定理了嗎？

63、有關球面上兩點的球面距離的求法主要是找球心角，常常與經度及緯度聯系在一起,

你還記得經度及緯度的含義嗎？（經度是面面角；緯度是線面角）

64、你還記得簡單多面體的歐拉公式嗎？（V+F-E=2,其中V為頂點數，E是棱數，F為面

數），棱的兩種算法，你還記得嗎？（①多面體每面為n邊形，則E二一；②多面體每個

2

頂點出發有m條棱，則￡r=nV"）

2

六、解析幾何

65、設直線方程時，一般可設直線的斜率為k,你是否注意到直線垂直于x軸時，斜率k

不存在的情況？（例如：一條直線經過點（-3,-且被圓/+V=25截得的弦長為

8,求此弦所在直線的方程。該題就要注意，不要漏掉x+3=0這一解.）

66、定比分點的坐標公式是什么？（起點，中點，分點以及4值可要搞清）

線段的定比分點坐標公式

—>—>

設P(x,y),Pl(X1,yi)，P2(X2,y2)且6P=幾/鳥,則

x+Ax

x=}2

1+2

y+儀

y=

1+2

中點坐標公式

X1+x2

X—

2

y=

2

若A(X|,y),B(x2,y2),C(x3,j3)則△ABC的重心G的坐標是

%1+x2+x3必+為+為

33

67、在利用定比分點解題時，你注意到;1/-4了嗎？

68、在解析幾何中，研究兩條直線的位置關系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾

何中一般提到的兩條直線可以理解為它們不重合.

69、直線方程的幾種形式：點斜式、斜截式、兩點式、截矩式、一般式.以及各種形式的局

限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線）

70、對不重合的兩條直線4:A/+B1V+G=0，l2A2x+B2y+C2=0,有

AS=A,B.

12''；/.±/=A.+月8,=0.

[A?/A2G2

71、直線在坐標軸上的截矩可正，可負，也可為0.

72、直線在兩坐標軸上的截距相等，直線方程可以理解為曰+上=1,但不要忘記當a=0時，

ah

直線y=kx在兩條坐標軸上的截距都是0,也是截距相等.

73、兩直線Ax+By+G=0和+旦y+=0的距離公式d=一

74、直線的方向向量還記得嗎？直線的方向向量與直線的斜率有何關系？當直線L的方

向向量為.=（x。，yo）時，直線斜率1<=--------------；當直線斜率為k時，直線的方

向向量m=----------

75、到角公式及夾角公式--------------，何時用？

76、處理直線與圓的位置關系有兩種方法：（1）點到直線的距離；（2）直線方程與圓的方程

聯立，判別式.一般來說，前者更簡捷.

77、處理圓與圓的位置關系，可用兩圓的圓心距與半徑之間的關系.

78、在圓中，注意利用半徑、半弦長、及弦心距組成的直角三角形并且要更多聯想到圓的幾

何性質.

79、在利用圓錐曲線統一定義解題時，你是否注意到定義中的定比的分子分母的順序？兩個

定義常常結伴而用，有時對我們解題有很大的幫助，有關過焦點弦問題用第二定義可能

更為方便。（焦半徑公式：橢圓：|PF"=——s|PF2|=——；雙曲線：|PFJ=——，

|PF2|=.——（其中R為左焦點F?為右焦點）；拋物線:|PF|=|xo|+—）

2

80、在用圓錐曲線與直線聯立求解時，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數是否為零？

判別式△?（）的限制.（求交點，弦長，中點，斜率，對稱，存在性問題都在A>0下進

行）.

81、橢圓中，a,b,c的關系為——；離心率e=一；準線方程為——；焦點到相應準線距

離為一雙曲線中，a,b,c的關系為一；離心率e=一；準線方程為一；焦點

到相應準線距離為——

82、通徑是拋物線的所有焦點弦中最短的弦.

83、你知道嗎？解析幾何中解題關鍵就是把題目中的幾何條件代數化，特別是一些很不

起眼的條件，有時起著關鍵的作用：如：點在曲線上、相交、共線、以某線段為直徑的

圓經過某點、夾角、垂直、平行、中點、角平分線、中點弦問題等。圓和橢圓參數方程

不要忘，有時在解決問題時很方便。數形結合是解決解幾問題的重要思想方法，要記得

畫圖分析喲！

84、你注意到了嗎？求軌跡與求軌跡方程有區別的。求軌跡方程可別忘了尋求范圍呀！

85、在解決有關線性規劃應用問題時，有以下幾個步驟：先找約束條件，作出可行域，明確

目標函數，其中關鍵就是要搞清目標函數的幾何意義，找可行域時要注意把直線方程中

的y的系數變為正值。如：求2<5a-2b<4,-3<3a+b<3求a+b的取值范圍，但也可以不用

線性規劃。

七、向量

86、兩向量平行或共線的條件，它們兩種形式表示，你還記得嗎？注意Z=是向量平行的

充分不必要條件。（定義及坐標表示）

87、向量可以解決有關夾角、距離、平行和垂直等問題，要記住以下公式：-a,

XIX2+)'D'2

⑷向+yjJ,、+刈2

88、利用向量平行或垂直來解決解析幾何中的平行和垂直問題可以不用討論斜率不存在的情

況，要注意￡?3<0是向量Z和向量3夾角為鈍角的必要而非充分條件。

89、向量的運算要和實數運算有區別：如兩邊不能約去一個向量，向量的乘法不滿足結合律,

即Z(g?Z)關口?刃1,切記兩向量不能相除。

90、你還記得向量基本定理的幾何意義嗎？它的實質就是平面內的任何向量都可以用平面內

任意不共線的兩個向量線性表示，它的系數的含義與求法你清楚嗎？

91、一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，這是題目中的天然條件，要注意運用，

對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數，兩邊同時取模，兩邊

同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量。

92、向量的直角坐標運算

設a二1],%,生)工=(凡也也),則

a+b=\ax+4,%+4,%+&)

a—h=(4-b^a2-h2,a3-by)

Aa=,Aa2,GR)

—>—>

ab-a/〕+a2b2+4優

ci——Ja；+a；+aJ

Ja：+a；+a；不b；+0；+/?；

allbo%=2伉,%=肪2，％=例3。eR)

a-L8=axbx+a2b2+a3b?=0

設A=(2,y,zJ,B=(X2,^2,Z2),

則，)

AB=OB-OA=(%,%22-(XI,^I,ZI)=(X2-xx,y2-y},z2-zt)

4AB,AB+J(%2-MF+(為-xF+(z

八、導數

93、導數的幾何意義即曲線在該點處的切線的斜率，學會定義的多種變形。

94、幾個重要函數的導數：①C'=0,(C為常數)②(￡')'=nx"T(〃€Q)

導數的四運算法則(〃±D)=//,±v'

95、利用導數可以證明或判斷函數的單調性，注