14版數學《高中全程復習方略》（提升版）人教A版階段滾動檢測（一）階段滾動檢測(一)120分鐘150分一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2024·西安模擬)已知集合A={x|y=log2(x-2)},B={x|2x-2≥0},則(RA)∩B=()A.(0,1) B.[1,2) C.(1,2) D.[1,2]【解析】選D.A={x|x>2},RA={x|x≤2},B={x|2x-2≥0}?{x|x≥1},所以(RA)∩B=[1,2].2.函數y=23x3+1在xA.π6 B.π3 C.2π3 【解析】選B.由題意可得:y=23x3+1=23x32+1,則y'=x,可得所以函數y=23x3+1在x=3處的切線的斜率為33.函數y=(2x+2-x)·lnx2的圖象大致為()【解析】選B.設f(x)=(2x+2-x)·lnx2,f(x)的定義域為{x|x≠0},f(-x)=(2-x+2x)·lnx2=f(x),所以f(x)是偶函數,圖象關于y軸對稱,所以D選項錯誤;f(1)=0,所以C選項錯誤;當x>1時,f(x)>0,所以A選項錯誤.4.(2024·新余模擬)已知函數y=loga(x-1)+2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A,且A點在直線mx-y+n=0(m,n>0)上,則2m+(2)n的最小值是()A.42 B.22 C.2 D.2【解析】選B.當x=2時,loga(x-1)+2=2,故函數y=loga(x-1)+2的圖象恒過定點A(2,2),由點A(2,2)在直線mx-y+n=0上,則2m+n=2,故2m+(2)n=2m+2n2≥22m當且僅當m=n2=12時等號成立,故2m+(2)n的最小值是25.(2024·泉州模擬)若函數f(x)=log12(xA.(-∞,14] B.(0,1C.(-12,12] D.(0,【解析】選B.當x≥1時,f(x)=1-31-x在[1,+∞)上單調遞增,此時f(x)∈[0,1),無最大值;又因為y=x2+2a在(-∞,0]上單調遞減,在[0,1)上單調遞增,故f(x)=log12(x2+2所以當x<1時,f(x)max=f(0)=log12(2結合題意可得log12(2解得0<2a≤12,所以0<a≤1即實數a的取值范圍為(0,146.已知過點A(0,b)作曲線y=lnxx的切線有且僅有兩條,則b的取值范圍為(A.(0,1e) B.(0,2e) C.(0,e) D.(0,【解析】選D.設切點為(x0,y0),由題意得y'=1-lnxx2,所以k=1-lnx0令函數f(x)=2lnx-1x,則f'(當0<x<e32時,f'(x)>0,所以f(x)在(0,當x>e32時,f'(x)<0,所以f(x)在[e32,+∞)上單調遞減,且f(x)>0.f(x)max=f(e32)=2e7.已知函數f(x)=ax-lnx,若f(x)>0在定義域上恒成立,則a的取值范圍是()A.(1e,+∞) B.C.(e,+∞) D.(12【解題指南】由f(x)>0得a>lnxx在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=lnxx(x>0),求出g【解析】選A.f(x)=ax-lnx的定義域為(0,+∞),由f(x)>0在定義域上恒成立,得a>lnxx在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=lnxx(x>0),g'(令g'(x)=0得x=e,x∈(0,e)時,g'(x)>0,g(x)單調遞增,x∈(e,+∞)時,g'(x)<0,g(x)單調遞減,所以g(x)max=g(e)=1e,所以a>1【加練備選】已知函數f(x)=lnx-(x-a)2(a∈R)在區間[1,+∞)上存在單調遞增區間,則實數a的取值范圍是()A.[12,+∞) B.(1C.[1,+∞) D.(1,+∞)【解題指南】分析可知,存在x∈[1,+∞),使得f'(x)>0,由參變量分離法可得a>x-12x,求出函數g(x)=x-12x【解析】選B.因為f(x)=lnx-(x-a)2(a∈R),則f'(x)=1x-2x+2a,因為函數f(x)在區間[1,+∞)上存在單調遞增區間,則存在x∈[1,+∞),使得f'(x)>0,即1x-2x+2a>0,可得a>x-12x,設g(x)=因為函數y=x,y=-12x在[1,+∞)上均為增函數,則函數g(當x≥1時,g(x)min=g(1)=1-12=12,故a>8.(2024·長春模擬)已知a=sin13,b=13cos13,c=ln3A.c<a<b B.c<b<aC.b<c<a D.b<a<c【解析】選D.設f(x)=sinx-xcosx,x∈(0,π2),則f'(x)=xsinx,在x∈(0,π2)時,f'(所以f(x)在(0,π2所以f(x)>f(0)=0,則f(13)=sin13-13即sin13>13cos13,則a設g(x)=lnx+1x,則g'(x)=x-1則當x∈(0,1)時,g'(x)<0,所以g(x)單調遞減,則當x∈(1,+∞)時,g'(x)>0,所以g(x)單調遞增,所以g(32)=ln32+23則ln32>1設h(x)=x-sinx,x∈(0,π2),則h'(x)=1-cosx所以h(x)在(0,π2則h(13)=13-sin13即13>sin13,則ln32>sin13,所以c>a,所以c二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.關于函數y=lg(21-xA.定義域為(-1,1)B.圖象關于y軸對稱C.圖象關于原點對稱D.在(0,1)上單調遞增【解析】選ACD.因為f(x)=lg(21-x-1)=lg(1+x1-x),所以1+x1-x>0?x+1x-1<0?-1<x<1,所以定義域為(-1,1),故A正確;因為f(-x)=lg(1-x1+xlgx在(0,+∞)上單調遞增,所以y=lg(21-10.地震震級根據地震儀記錄的地震波振幅來測定,一般采用里氏震級標準.里氏震級的計算公式為M=lgAmaxA0(其中常數A0是距震中100千米處接收到的0級地震的地震波的最大振幅,Amax是指我們關注的這次地震在距震中100千米處接收到的地震波的最大振幅).地震的能量E(單位:焦耳)是指當地震發生時,以地震波的形式放出的能量.已知E=104.8×101.5M,其中M是()A.若地震震級M增加1級,則最大振幅Amax增加到原來的10倍B.若地震震級M增加1級,則放出的能量E增加到原來的10倍C.若最大振幅Amax增加到原來的10倍,則放出的能量E增加到原來的1010倍D.若最大振幅Amax增加到原來的10倍,則放出的能量E增加到原來的1000倍【解析】選AC.因為M'=lgA'maxA0=M+1=1+lgAmaxA0=lg10因為E'=104.8×101.5M'=104.8×101.5(M+1)=104.8×101.5M+1.5=101.5E,所以B錯誤;因為M'=lg10AmaxA0=M+1,所以E'=104.8×101.5M'=104.8×101=104.8×101.5M+1.5=101.5E=1010E,所以C正確,D錯誤.11.(2024·南京模擬)已知函數f(x)=x2ex-a,x∈A.2是函數f(x)的極小值點B.當x=0時,函數f(x)取得最小值C.當a=4e2時,函數f(D.若函數f(x)有1個零點,則a>4e2或【解析】選BCD.對A,由題意f'(x)=2xex-exx2e2x=x(2-x)ex,x∈R,所以當x<0或x>2時,f'(x)<0,此時對B,由A知f(x)極小值=f(0)=-a,且當x→+∞時,f(x)→-a,且大于-a,則當x=0時,函數f(x)取得最小值,故B正確;對于C,若a=4e2,則令f(x)=x2ex-4e2=0,即x2e則h'(x)=x(2-x)ex,所以當x<0或x>2時,h'當0<x<2時,h'(x)>0,此時h(x)單調遞增,則h(x)極小值=h(0)=0,h(x)極大值=h(2)=4e2,且當x→+∞,h(x)→0,且大于0,作出函數圖象如圖所示,則直線y=4e2與函數h(x)有兩個交點,則當a=4e對于D,若函數f(x)有1個零點,即方程a=x2ex有一個根,則轉化為直線y=a與h(x)=x2ex的圖象只有一個交點,由圖可知,若函數f(x)有1個零點,則a三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.(2024·寶雞模擬)曲線f(x)=ln(5x+2)在點(-15,0)處的切線方程為__________答案:y=5x+1【解析】f(x)=ln(5x+2)的導數為f'(x)=55可得曲線f(x)=ln(5x+2)在點(-15,0)處的切線斜率為k則切線的方程為y=5(x+15),即y=5x+1【加練備選】已知a,b為正實數,函數f(x)=ax-bx在P(1,f(1))處的切線斜率為2,則1a+3b答案:2+3【解析】由題意得f'(x)=a+bx2,則f'(1)=a+b=2,因為a,b為正實數,則1a+3b=12(1a+3b)(a+b)=12(4+ba+3ab)≥13.已知函數f(x)=b+2a-12x-a(a答案:3【解析】由于函數的定義域滿足2x-a≠0?x≠log2a,故定義域為xx根據奇函數的定義域關于原點對稱可知log2a=0?a=1,所以f(x)=b+12f(-x)=b+12-x-1所以f(-x)+f(x)=b+12x-1+b+2x1-2x=0故a+b=3214.(2024·恩施模擬)已知函數f(x)=|x2-2x-3|,x>-2,x+6,x≤-2,存在直線y=m與f(x)的圖象有4個交點,則m=________;若存在實數x1<x2<x3<=f(x4)=f(x5),則x1+x2+x3+x4+x5的取值范圍是________.

【解題指南】畫出分段函數的圖象,利用數形結合的思想求m,再根據二次函數的性質及-6<x1<-2求出x1+x2+x3+x4+x5的取值范圍.答案:4(-2,2)【解析】作出f(x)=|x因為直線y=m與f(x)的圖象有4個交點,所以m=4;記f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=f(x5)=k,則直線y=k與f(x)的圖象有5個交點,x1<x2<x3<x4<x5,如圖所示:由圖可知,-6<x1<-2,由二次函數的對稱關系可得,x3+x4=x2+x5=2,所以x1+x2+x3+x4+x5=x1+4∈(-2,2),即x1+x2+x3+x4+x5的取值范圍是(-2,2).四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)已知函數f(x)=x3-ax2+x的一個極值點為1.(1)求a;【解析】(1)因為f(x)=x3-ax2+x,所以f'(x)=3x2-2ax+1.因為f(x)的一個極值點為1,所以f'(1)=3-2a+1=0,所以a=2.因為f'(x)=3x2-4x+1=(x-1)(3x-1),當13<x<1時,f'(x)<0;當x<13或x>1時,f'(所以f(x)在(13,1)上單調遞減,在(-∞,1所以f(x)的極小值點為1,符合題意.故a=2.(2)若過原點作直線與曲線y=f(x)相切,求切線方程.【解析】(2)設切點為(x0,f(x0)),則f(x0)=x03-2x02+x0,f'(x0)=3x所以切線方程為y-(x03-2x02+x0)=(3x02-4x0+1)(將點(0,0)代入得-(x03-2x02+x0)=(3x02-4整理得x02(x0-1)=0,所以x0=0或x0當x0=0時,切線方程為y=x;當x0=1時,切線方程為y=0.【解題指南】(1)求出函數的導數f'(x),由f'(1)=0求出a值,再驗證作答;(2)設出切點坐標,利用導數的幾何意義求出切線方程,結合已知求出切點坐標作答.16.(15分)(2024·合肥模擬)已知函數f(x)=2a4(1)求實數a的值并判斷函數單調性(無需證明);【解析】(1)因為f(x)=2a4x+1-1是奇函數,所以當a=1時,f(x)=24x+1又f(-x)=1-4-x4-x+1=4x-14x+1=-f(x(2)若不等式f(4x+1)+f(t-2·2x+5)<0在R上恒成立,求實數t的取值范圍.【解析】(2)f(4x+1)+f(t-2·2x+5)<0等價于f(4x+1)<-f(t-2·2x+5),即f(4x+1)<f(-t+2·2x-5);因為f(x)為減函數,所以4x+1>-t+2·2x-5,即4x-2·2x+6>-t;令m=2x>0,則上式化為m2-2m+6>-t,即(m-1)2+5>-t,所以t>-5.故實數t的取值范圍為(-5,+∞).17.(15分)設函數f(x)=xekx(k(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;【解析】(1)f'(x)=ekx-kxekxe2所以所求切線方程為y=x;(2)求函數f(x)的單調區間;【解析】(2)f'(x)=1-當k>0,x<1k時,f'(x)>0,f(xx>1k時,f'(x)<0,f(x當k<0,x<1k時,f'(x)<0,f(x)單調遞減,x>1k時,f'(x)>0,f(所以當k>0時,單調遞增區間是(-∞,1k),單調遞減區間是(1當k<0時,單調遞減區間是(-∞,1k),單調遞增區間是(1(3)若函數f(x)在區間(-1,1)內單調遞增,求k的取值范圍.【解析】(3)由(2)知,當k>0時,1k≥1,即0<k當k<0時,1k≤-1,即-1≤k所以k的取值范圍是[-1,0)∪(0,1].【解題指南】(1)求出導函數f'(x),求得f'(0)得切線斜率,再求出函數值f(0)后可得切線方程;(2)分類討論確定f'(x)>0和f'(x)<0的解,得單調區間;(3)由(2)中單調遞增區間得關于k的不等式,從而求得其范圍.18.(17分)已知函數f(x)=12x2-3ax+2a2lnx,a≠0(1)討論f(x)的單調區間;【解析】(1)f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=(x若a>0,當x∈(0,a)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增;當x∈(a,2a)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減;當x∈(2a,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增.若a<0,則f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上單調遞增.綜上,當a>0時,f(x)的單調遞增區間為(0,a),(2a,+∞),單調遞減區間為(a,2a);當a<0時,f(x)的單調遞增區間為(0,+∞),無單調遞減區間.(2)若f(x)有3個零點,求a的取值范圍.【解析】(2)因為f(x)有3個零點,所以a>0,又f(x)的單調遞增區間為(0,a),(2a,+∞),單調遞減區間為(a,2a),所以f(a)=-52a2+2a2lna>0,f(2a)=-4a2+2a2ln(2a解得e54<a<此時f(1)=12-3a<0,f(6a)=2a2ln6a故函數f(x)在區間(1,a),(a,2a),(2a,6a)上各有一個零點,即函數f(x)在區間(0,a),(a,2a),(2a,+∞)上各有一個零點,滿足要求,所以a的取值范圍為(e54,e【解題指南】(1)先求出函數的定義域,從而根據函數的解析式,求出函數的導函數,分析導函數符號在不同區間上的取值,根據導函數符號與原函數的單調性之間的關系即可求出所求區間.(2)由條件,根據函數的單調性結合零點存在性定理可求a的取值范圍.【方法技巧】導函數中兩種常用的轉化方法:一是利用導數研究含參函數的單調性,常化為不等式恒成立問題,注意分類討論與數形結合思想的應用;二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理.19.(17分)(2024·許昌模擬)已知函數f(x)=2x+alnx(a∈R),g(x)=ex-x(其中e為自然對數的底數).(1)若函數f(x)的圖象與x軸相切,求a的值;【解析】(1)若a=0,則函數f(x)=2x,不符合題意,所以a≠0;因為f(x)=2x+alnx(a∈R),則f'(x)=2+ax,設切點坐標為(x0則f'(x0)=2+ax0=0,解得x0=-且f(-a2)=-a+aln(-a整理可得ln(-a2可得-a2=e,解得a=-2e(2)設a>0,?x1,x2∈[2,4](x1≠x2),都有|f(x1)-f(x2)|<|g(x1)-g(x2)|,求實數a的取值范圍.【解析】(2)因為a>0,則f'(x)=2+ax>0對任意的x∈[2,4]恒成立,所以函數f(x因為g(x)=ex-x,則g'(x)=ex-1>0對任意的x∈[2,4]恒成立,則函數g(x)在[2,4]上單調遞增,不妨設2≤x1<x2≤4,由|f(x1)-f(x2)|<|g(x1)-g(x2)|可得f(x2)-f(x1)<g(x2)-g(x1),即f(x2)-g(x2)<f(x1)-g(x1).記h(x)=f(x)-g(x)=3x+alnx-ex,則h(x1)>h(x2),則函數h(x)在[2,4]上單調遞減,h'(x)=3+ax-ex≤0在[2,4]上恒成立,則對任意的x∈a≤xex-3x,令p(x)=xex-3x,其中x∈[2,4],則p'(x)=(x+1)ex-3,令q(x)=(x+1)ex-3,其中x∈[2,4],則q'(x)=(x+2)ex>0對任意的x∈[2,4]恒成立,所以函數p'(x)在區間[2,4]上單調遞增,則p'(x)≥p'(2)=3e2-3>0,所以函數p(x)在[2,4]上單調遞增,則a≤p(x)min=p(2)=2e2-6,又因為a>0,則實數a的取值范圍是(0,2e2-6].【方法技巧】利用函數的單調性求參數,可按照以下原則進行:(1)函數f(x)在區間D上單調遞增?f'(x)≥0在區間D上恒成立;(2)函數f(x)在區間D上單調遞減?f'(x)≤0在區間D上恒成立;(3)函數f(x)在區間D上不單調?f'(x)在區間D上存在異號零點;(4)函數f(x)在區間D上存在單調遞增區間??x∈D,使得f'(x)>0成立;(5)函數f(x)在區間D上存在單調遞減區間??x∈D,使得f'(x)<0成立.階段滾動檢測(二)120分鐘150分一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2024·鄭州模擬)已知i為虛數單位,復數z滿足zi-i=z+1,則|z+1|=()A.2 B.1 C.5 D.2【解析】選A.因為zi-i=z+1,則-z(1-i)=1+i,所以z=-1+i1-i故|z+1|=|1-i|=12+(-12.(2023·北京模擬)在△ABC中,若a=2bcosC,則△ABC一定是()A.正三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰三角形【解析】選D.由a=2bcosC及余弦定理得:a=2b×a2+b2-c22ab?a2=a2+b2-c2?3.(2023·襄陽模擬)設z∈C,則在復平面內3≤|z|≤5所表示的區域的面積是()A.5π B.9π C.16π D.25π【解析】選C.滿足條件|z|=3的復數z在復平面內對應的點的軌跡是以原點為圓心,半徑為3的圓,滿足條件|z|=5的復數z在復平面內對應的點的軌跡是以原點為圓心,半徑為5的圓,則在復平面內3≤|z|≤5所表示的區域為圓環,如圖中陰影部分區域所示:所以,在復平面內3≤|z|≤5所表示的區域的面積是π×(52-32)=16π.4.(2024·江西模擬)已知向量a=(log23,sin4π3),b=(log38,m),若a⊥b,則m=(A.-23 B.-3 C.23 D.32【解析】選C.因為a⊥b,所以a·b=0,即log23×log38+msin4π3所以log28-32m=0,所以m=23【加練備選】(2024·咸陽模擬)已知向量a=(1,-1),b=(m,2),若(a+b)∥a,則2a·b=()A.-8 B.-7 C.7 D.8【解析】選A.由向量a=(1,-1),b=(m,2),得a+b=(m+1,1),由(a+b)∥a,得(m+1)+1=0,解得m=-2,于是b=(-2,2),所以2a·b=2×(-2-2)=-8.5.(2024·西安模擬)已知向量a=(1,0),b=(4,m),若|2a-b|不超過3,則m的取值范圍為()A.[-3,3] B.[-5,5]C.[-3,3] D.[-5,5]【解析】選B.由題意知,2a-b=(-2,-m),所以|2a-b|=4+m2≤3,得4+m即m2≤5,解得-5≤m≤5,即實數m的取值范圍為[-5,5].6.將函數y=sin(2x-φ)的圖象沿x軸向右平移π8個單位后,得到一個偶函數的圖象,則φ的取值可為(A.-π4 B.π4 C.π2 【解析】選B.將函數y=sin(2x-φ)的圖象沿x軸向右平移π8得到y=sin[2(x-π8)-φ]=sin(2x-π4-φ),若此時函數為偶函數的圖象,則-π4-φ=kπ+π2,k∈Z,得φ=-kπ-3π4,k∈Z,當k=-1時,φ7.已知向量a=(1,3),a+b=(-1,7),則向量a在向量b方向上的投影向量為()A.(-15,25) C.(-5,25) D.(15,-2【解析】選B.由題知,向量b=a+b-a=(-1,7)-(1,3)=(-2,4),所以a·b=-2+12=10.又|b|=4+16=25,所以向量a在向量b方向上的投影向量為(-1,2).8.(2024·貴州聯考)如圖,甲秀樓位于貴州省貴陽市南明區,是該市的標志性建筑之一.甲秀樓上下三層,白石為欄,層層收進.某研究小組將測量甲秀樓最高點離地面的高度,選取了與該樓底B在同一水平面內的兩個測量基點C與D,現測得∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=11.2m,在C點測得甲秀樓頂端A的仰角為72.4°,則甲秀樓的高度約為(參考數據:tan72.4°≈3.15,sin53°≈0.8)()A.20m B.21m C.22m D.23m【解析】選C.由題意可知,∠BCD=23°,∠CDB=30°,所以∠CBD=127°,又因為CD=11.2m,由正弦定理CDsin∠CBD=可得11.2sin127°=又因為∠ACB=72.4°,所以AB=BCtan∠ACB≈7×3.15≈22(m).二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.(2023·長沙模擬)已知復數z的共軛復數為z,則下列說法正確的是()A.z2=|z|2B.z+z一定是實數C.若復數z1,z2滿足|z1+z2|=|z1-z2|,則z1·z2=0D.若復數z的平方是純虛數,則復數z的實部和虛部相等或者互為相反數【解析】選BD.當復數z=i時,z2=-1,|z|2=1,故A錯;設z=a+bi(a,b∈R),則z=a-bi,所以z+z=2a∈R,故B對;設z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R),由|z1+z2|=|z1-z2|可得|z1+z2|2=(a1+a2)2+(b1+而z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2-b1b2+(a1b2+b1a2)i=2a1a2+(a1b2+b1a2)i,不一定為0,故C錯;設z=a+bi(a,b∈R),則z2=a2-b2+2abi為純虛數.所以a2-b210.(2024·濰坊模擬)已知向量a=(-1,3),b=(x,2),且(a-2b)⊥a,則下列選項正確的是()A.a,b能作為平面內所有向量的一組基底B.m<3是a=(-1,3)與c=(m,1)夾角是銳角的充要條件C.向量a與向量b的夾角是45°D.向量b在向量a上的投影向量坐標是(-1,3)【解析】選AC.因為a=(-1,3),b=(x,2),所以a-2b=(-1-2x,-1),則(a-2b)·a=1+2x-3=0,解得x=1,所以b=(1,2),可得a,b不共線,故A正確;當a,c平行時,可得-1×1-3×m=0,解得m=-13由cos<a,b>=a·b|a||b|因為0°≤<a,b>≤180°,故向量a與向量b的夾角是45°,所以C正確;向量b在向量a上的投影向量為a·b|a|·a|a|=511.(2024·大連模擬)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若acosB+bsinA=c,a=210,a2+b2-c2=absinC,則()A.tanC=2 B.A=πC.b=62 D.△ABC的面積為122【解析】選AC.由余弦定理可得a2+b2-c2=2abcosC=absinC,解得tanC=2,故A正確;由acosB+bsinA=c及正弦定理,可得sinAcosB+sinBsinA=sinC=sin(A+B),化簡可得sinBsinA=cosAsinB.因為B∈(0,π),所以sinB>0,所以sinA=cosA,即tanA=1.因為A∈(0,π),所以A=π4因為tanC=2,所以cosC>0且sinC=2cosC,代入sin2C+cos2C=1,可得5cos2C=1,解得cosC=55,sinC=2因為a=210,A=π4,sinC=2所以由正弦定理可得c=asinCsin由a2+b2-c2=absinC,可得(210)2+b2-82=210b×25化簡可得b2-42b-24=0,解得b=62或b=-22(舍去),故C正確;S△ABC=12bcsinA=12×62×8×2三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.若復數z滿足|z|=1,則|z2+(1-i)z|(i為虛數單位)的最小值為________.

答案:2-1【解析】因為|z|=1,所以z在復平面內對應點的軌跡為以原點為圓心,以1為半徑的圓,又因為|z1z2|=|z1||z2|,所以|z2+(1-i)z|=|z||z+1-i|=|z+1-i|=|z-(-1+i)|的幾何意義為圓上的點到P(-1,1)的距離,如圖,所以|z2+(1-i)z|=|z-(-1+i)|的最小值為|OP|-1=(-1)2+13.(2023·鎮江模擬)在△ABC中,AB=3AD,點E是CD的中點.若存在實數λ,μ使得=λ+,則λ+μ=__________(請用數字作答).

答案:2【解析】因為E是CD的中點,所以=+=+12=+12(-)=12(+),因為AB=3AD,所以=13,所以=16+12,所以λ=16,μ=12,即λ+μ=16+1214.(2024·天津模擬)在△ABC中,∠BAC=120°,|AB|=|AC|=2,=2,=λ(λ>0),=2,且||=72,則λ=________;·的值為________.

答案:32-【解析】因為=2,=λ(λ>0),=2,所以=12(+)=12(12+λ)=14+12λ,又||=72,在△ABC中,∠BAC=120°,|AB|=|AC|=2,所以·=||·||cos∠BAC=2×2×(-12)=-2,=(14)2+λ4·+(λ2)2=14-λ2+λ2=即2λ2-λ-3=0,解得λ=32或λ故λ的值為32又=+=-+λ,=+=-+12,·=(-+λ)·(-+12)=(1+λ2)·-12()2-λ()2=(1+λ2)(-2)-2-4λ=-4-5λ=-232,故·的值為-232.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)(2023·長春模擬)已知復數z=(m2-1)+(m2-m-2)i,m∈R.(1)若z是純虛數,求m的值;【解析】(1)若z是純虛數,則m2所以m=1,則m的值為1;(2)若z在復平面內對應的點在直線x-y+1=0上,求m的值;【解析】(2)若z在復平面內對應的點在直線x-y+1=0上,則m2-1-(m2-m-2)+1=0,解得m=-2;(3)若z在復平面內對應的點在第四象限,求m的取值范圍.【解析】(3)若z在復平面內對應的點在第四象限,則m2所以1<m<2,則m的取值范圍為(1,2).16.(15分)(2023·洛陽模擬)已知向量a=(1,2),b=(3,-2).(1)求|a-b|;【解析】(1)由題知,a=(1,2),b=(3,-2),所以a-b=(-2,4),所以|a-b|=4+16=25.(2)已知|c|=10,且(2a+c)⊥c,求向量a與向量c的夾角.【解析】(2)由題知,a=(1,2),|c|=10,(2a+c)⊥c,所以|a|=5,(2a+c)·c=0,所以2a·c+c2=0,所以2|a||c|cos<a,c>+|c|2=0,所以2×5×10×cos<a,c>+10=0,所以cos<a,c>=-22因為<a,c>∈0,π,所以向量a與向量c的夾角為17.(15分)(2024·長沙模擬)在△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且滿足sinB+sinC=2sinAcosB.(1)證明:a2-b2=bc;【解析】(1)因為sinB+sinC