PAGEPAGE18吉林省通榆縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次質(zhì)量檢測(cè)試題理考生須知：本試卷滿分120分，考試時(shí)間為120分鐘.答題前，考生先將自己的“姓名”、“考號(hào)”、“考場(chǎng)”、“座位號(hào)”在答題卡上填寫清晰，將“條形碼”精確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).請(qǐng)依據(jù)題號(hào)依次在答題卡各題目的區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無(wú)效；在草稿紙上、試題紙上答案無(wú)效.選擇題必需運(yùn)用2B鉛筆填涂；非選擇題必需運(yùn)用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰.保持卡面整齊，不要折疊、不要弄臟、弄皺，不準(zhǔn)運(yùn)用涂改液、刮紙刀.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，則（）A．B．C．D．2.設(shè)（為虛數(shù)單位），（）A．B．C．D．3.是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知，則（）A．B．C.D．5.若,則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C.D．6.如圖,在梯形中,,點(diǎn)在線段上,且,則（）A．B．C.D．7.已知正數(shù)滿意,則的最小值為（）A．B．C.D．8.的全部正約數(shù)之和可按如下方法得到:因?yàn)?所以的全部正約數(shù)之和為.參照上述方法,可得的全部正約數(shù)之和為（）A．B．C.D．9.已知是奇函數(shù),且實(shí)數(shù)滿意,則的取值范圍是（）A．B．C.D．10.已知數(shù)列滿意,且,則當(dāng)取得最大值時(shí),（）A．B．C.D．11.在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且三邊互不相等,若,則的面積是（）A．B．C.D．12.已知定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),且滿意.若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C.D．二.填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn),若點(diǎn)在直線上,其中,則的最大值為．14.若實(shí)數(shù)滿意約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為．15.已知三棱錐中,,且,則三棱錐的體積與三棱錐的外接球的體積之比的最大值為．16.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和為,則．三.解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù));以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系﹐直線的極坐標(biāo)方程為求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程;設(shè)直線和曲線交于兩點(diǎn),直線的斜率分別為,求證：18.在等差數(shù)列中,其前項(xiàng)和為,且求數(shù)列的通項(xiàng)公式;設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和19.如圖,在四棱錐中,,且求證:若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.20.已知在四邊形中,.求的長(zhǎng)及四邊形的面積;點(diǎn)為四邊形所在平面上一點(diǎn),若,求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的位置.21.在數(shù)列中,.求證:數(shù)列是等比數(shù)列﹔若數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且對(duì)隨意正整數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.已知函數(shù).探討的單調(diào)區(qū)間;當(dāng)時(shí),證明:通榆一中高三第四次質(zhì)量檢測(cè)試題·數(shù)學(xué)(理科)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1.因?yàn)椋怨蔬x2.因?yàn)樗怨蔬x3.記“”的解集為集合,則所以是的充分不必要條件故選4.故選5.當(dāng)時(shí),,故選項(xiàng)不正確;當(dāng)時(shí),,故選項(xiàng)不正確;因?yàn)?依據(jù)不等式性質(zhì)知,故選項(xiàng)正確;當(dāng)時(shí),,故選項(xiàng)不正確.故選6.因?yàn)椋?.由題意，得，法一：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最小值為，故選法二：由得則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)的最小值，故選8.類比的全部正約數(shù)之和的方法,有的全部正約數(shù)之和可按如下方法得到:因?yàn)?所以的全部正約數(shù)之和為.可求得的全部正約數(shù)之和為故選9.因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù),所以,可得,此時(shí)易知在上為減函數(shù)又因?yàn)樗运怨蔬x10.因?yàn)樗运詳?shù)列是等差數(shù)列，又聽以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以所以所以當(dāng)時(shí)，取最大值故選11.因?yàn)樗曰?jiǎn)得又即兩式聯(lián)立消去得,因?yàn)槿吇ゲ幌嗟?解得（舍）或.又所以故選12.函數(shù)的定義域?yàn)橛桑盟院瘮?shù)關(guān)于對(duì)稱，，依據(jù)曲線關(guān)于直線和對(duì)稱以及在區(qū)間上為減函數(shù)可畫出圖象的示意圖,如圖所示;考查函數(shù)可化為如圖所示，當(dāng)時(shí)，曲線與無(wú)公共點(diǎn)當(dāng)時(shí)，曲線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，曲線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，曲線與曲線無(wú)公共點(diǎn)綜上，當(dāng)時(shí)，曲線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn).故選13.函數(shù)時(shí),函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)在直線上,即.依據(jù)基本不等式,得,即.當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào),故的最大值為14.畫出可行域(如圖陰影部分),利用圖形可得,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),取最小值,最小值為；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),取最大值,最大值為l5.設(shè),則.所以取的中點(diǎn)連接由于,所以、故點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心,外接球的半徑為.所以當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),三棱錐的體積與三棱錐的外接球的體積之比最大.當(dāng)平面時(shí),三棱錐的體積最大,此時(shí),所以三棱錐16.令，則且所以原函數(shù)變?yōu)樵O(shè)則所以，所以因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù),所以所以所以17.解:由,得則直線的直角坐標(biāo)方程為曲線的直角坐標(biāo)方程為證明:將代入,得由直線和曲線交于兩點(diǎn)且,得設(shè)方程的兩根分別為,則;而以表示曲線上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,所以，所以又直線的斜率為,所以18.解:設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題意,得解得所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是由知?jiǎng)t式兩邊同乘以,得，得所以19.證明:如圖,取的中點(diǎn),連接因?yàn)榍覟榈闹悬c(diǎn).所以因?yàn)椋郧?又因?yàn)樗郧沂堑冗吶切?又為的中點(diǎn),所以又平面,所以平面又因?yàn)槠矫?所以解:由知,又因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面平面所以上平面,又平面,所以又由知所以以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以的方向?yàn)檩S、軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:則因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗运詣t設(shè)平面的一個(gè)法向量為則取，得設(shè)直線與平面所成角為,則20.解:設(shè),在中,由余弦定理,得.同理在中,因?yàn)?所以所以,又,所以，所以.要使四邊形的面積最大,則點(diǎn)和點(diǎn)應(yīng)在的兩側(cè),且使得的面積最大.在中,，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí),.又，所以，所以四邊形面積的最大值為,此時(shí)為等邊三角形，即且點(diǎn)與點(diǎn)分居于的兩側(cè).21.證明:由,得則所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.解:由得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí),適合.所以所以法一:因?yàn)槭顷P(guān)于的遞增數(shù)列,且，所以也關(guān)于單調(diào)遞增﹐從而的最小值為，法二:因?yàn)樗砸碴P(guān)于單調(diào)遞增﹐從而的最小值為，因?yàn)楹愠闪?所以,解得.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.22.解:的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí),則的增區(qū)間為無(wú)減區(qū)間.當(dāng)時(shí),由得.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),，所以的減區(qū)間為,增區(qū)間.證明;法一:要證明.由于當(dāng)時(shí),,只要證.設(shè),則.所以在上是增函數(shù).又，所以存在，使得即所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),，因此在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).所以有微小值,且微小值因此,即.綜上,當(dāng)時(shí)，.法二:要證明只要證設(shè),則.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以是的微小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn),且.令,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),，所以在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)，所以是的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),且，所以當(dāng)時(shí)，