3.幾何性質【考點梳理】考點一：橢圓的簡單幾何性質焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a頂點A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長短軸長＝2b，長軸長＝2a焦點(±eq\r(a2－b2)，0)(0，±eq\r(a2－b2))焦距|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)對稱性對稱軸：x軸、y軸對稱中心：原點離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)考點二：直線與橢圓的位置關系直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關系的判斷方法：聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y得到一個關于x的一元二次方程．直線與橢圓的位置關系、對應一元二次方程解的個數及Δ的取值的關系如表所示．直線與橢圓解的個數Δ的取值兩個不同的公共點兩解Δ>0一個公共點一解Δ＝0沒有公共點無解Δ<0重難點技巧：弦長的兩種方法(1)求出直線與橢圓的兩交點坐標，用兩點間距離公式求弦長．(2)聯立直線與橢圓的方程，消元得到關于一個未知數的一元二次方程，利用弦長公式：|P1P2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或|P1P2|＝\r(1＋\f(1,k2))\r(y1＋y22－4y1y2)))，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的兩根，由根與系數的關系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長．【題型歸納】題型一：橢圓的焦點、焦距.頂點，長短軸1．（2023秋·高二）橢圓與橢圓的關系為（

）A．有相同的長軸長與短軸長 B．有相同的焦距C．有相同的焦點 D．有相同的離心率【答案】B【分析】利用橢圓的方程分別求出兩個方程的a，b，c的值以及焦點所在位置，即可判斷每個選項的正誤.【詳解】對于橢圓，則，且焦點在x軸上，所以長軸長為10，短軸長為6，焦距為8，焦點為，離心率為，對于橢圓，因為，則，可得，且焦點在y軸上，所以長軸長為，短軸長為，焦距為8，焦點為，離心率為，所以A、C、D錯誤，B正確.故選：B.2．（2022秋·江蘇南京·高二校考期末）曲線與曲線有共同的（

）A．長軸長 B．短軸長 C．離心率 D．焦距【答案】D【分析】根據橢圓和雙曲線的簡單性質，分別求出曲線與曲線的長軸長、短軸長、實軸長、虛軸長、離心率和焦距，由此能求出結果.【詳解】中：長軸長，短軸長，離心率，焦距.曲線中：實軸長，虛軸長，離心率，焦距.曲線與曲線有共同的焦距.故選：.3．（2023秋·江蘇·高二校聯考階段練習）設P為橢圓上的點，分別是橢圓C的左，右焦點，，則的面積為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】先根據橢圓的方程求得，進而求得，設出，利用余弦定理可求得的值，最后利用三角形面積公式求解．【詳解】由橢圓方程有，則.設，由橢圓的定義有：.設，由，得，由余弦定理得：解得：，．所以的面積為．故選：D題型二：橢圓的橢圓的范圍問題4．（2022秋·江蘇淮安·高二江蘇省鄭梁梅高級中學校聯考期中）設分別為橢圓的上、下頂點，若在橢圓上存在點，滿足，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出點的坐標，設點，利用余弦定理建立關系，結合橢圓范圍求解作答.【詳解】依題意，，設點，，，，中，由余弦定理得：，整理得，則，化簡得：，即，于是得，即，而，解得，所以實數的取值范圍為.故選：A5．（2023·高二課時練習）已知點是橢圓+=1上的動點（點不在坐標軸上），為橢圓的左，右焦點，為坐標原點；若是的角平分線上的一點，且丄，則丨丨的取值范圍為（

）A．（0，） B．（0，2）C．（l，2） D．（，2）【答案】A【分析】延長、相交于點，連接，利用橢圓的定義分析得出，設點，求出的取值范圍，利用橢圓的方程計算得出，由此可得出結果.【詳解】如下圖，延長、相交于點，連接，因為，因為為的角平分線，所以，，則點為的中點，因為為的中點，所以，，設點，由已知可得，，，則且，且有，，故，所以，.故選：A.6．（2023·高二課時練習）已知點是橢圓上的任意一點，過點作圓：的切線，設其中一個切點為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，得到，利用橢圓的范圍求解.【詳解】解：設，則，，，因為，所以，即，故選：B題型三：橢圓的離心率問題7．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學校）已知是橢圓的左焦點，若過的直線與圓相切，且的傾斜角為，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據直線與圓相切的位置關系可構造的齊次方程，結合橢圓關系可求得離心率.【詳解】由題意知：，則直線，即，與圓相切，，即，，，橢圓的離心率.故選：A.8．（2023·江蘇·高二專題練習）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點P在橢圓C上，且，過P作的垂線交x軸于點A，若，記橢圓的離心率為e，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，從而可求得，根據勾股定理求出，根據橢圓的定義及離心率公式即可求解.【詳解】因為，,所以,可得.在中，.由橢圓的定義可得，故，所以，所以.故選:A.9．（2023春·江蘇鹽城·高二校考期中）直線經過橢圓的左焦點，交橢圓于，兩點，交軸于點，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直線與坐標軸的交點，得到，，則，由，得點坐標，點A又在橢圓上，由定義求得，可求橢圓的離心率.【詳解】對直線，令，解得，令，解得，故，，則，設，則，而，則，解得，則，點A又在橢圓上，左焦點，右焦點，由，則，橢圓的離心率.故選：C題型四：橢圓的中點弦問題10．（2022秋·江蘇南京·高二校考階段練習）橢圓內有一點，設某條弦過點P且以P為中點，那么這條弦所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用點差法得到直線斜率和中點之間的關系，即可得解.【詳解】設滿足題意的直線與橢圓交于兩點，則，，兩式相減得，即.又直線過，由此可得所求的直線方程為，所以弦所在直線的方程為，故選：B.11．（2023秋·高二課時練習）已知橢圓（）的一條弦所在的直線方程是，弦的中點坐標是，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】橢圓的中點弦問題，利用點差法構造弦中點坐標與的關系，計算離心率即可.【詳解】設直線與橢圓相交于，兩點，弦的中點坐標是，則，，直線的斜率.由，得，，，故橢圓的離心率.故選：B.12．（2022秋·江蘇徐州·高二校考期中）已知橢圓的右焦點為，過作直線交橢圓于A、B陃點，若弦中點坐標為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設的中點坐標為，代入橢圓方程相減，利用，，求出直線的斜率，得出等量關系，再由關系，即可求解.【詳解】設，過點的直線交橢圓于，兩點，若的中點坐標為，所以直線斜率，代入橢圓方程得，兩式相減得即，也即，所以，又，所以，所求的橢圓方程為.故選：A.題型五：直線與橢圓的弦長問題13．（2022秋·江蘇淮安·高二金湖中學校聯考階段練習）過橢圓的左焦點作斜率為1的弦，則弦的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出橢圓左焦點，然后寫出直線方程為，再聯立橢圓解出兩交點坐標，最后依據兩點之間距離公式得到弦長.【詳解】由,得橢圓方程,左焦點為,過左焦點的直線為,代入橢圓方程得，解得或，，故選：D.14．（2023秋·江蘇南通·高二校考階段練習）設是雙曲線的兩個焦點，為坐標原點，點在上且，則的面積為（

）A． B．3 C． D．2【答案】B【分析】由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯立即可得到，代入中計算即可.【詳解】由已知，不妨設，則，因為，所以點在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故選：B【點晴】本題考查雙曲線中焦點三角形面積的計算問題，涉及到雙曲線的定義，考查學生的數學運算能力，是一道中檔題.15．（2023·江蘇·高二專題練習）已知離心率為的橢圓的左、右頂點分別為、，點為該橢圓上位于軸上方一點，直線與直線交于點，直線與直線交于點，若，則直線的斜率為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】由離心率可求出，可得出，設，則，可得出、的方程，即可得到、的坐標，再根據求出.【詳解】由，得，則、，設，則，設，則，直線的方程為，則的坐標為，直線的方程為，則的坐標為，所以，解得或．故選：C.題型六：橢圓中的向量問題16．（2022·江蘇·高二專題練習）已知橢圓C：的左右焦點分別為，，過點作傾斜角為的直線與橢圓相交與A，B兩點，若，則橢圓C的離心率e為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設,過點的直線方程為,聯立,根據，得到，再結合韋達定理，由求解.【詳解】設,過點的直線方程為,由,得,由韋達定理得:,,因為，所以，則，即，解得，因為，所以，故選：A17．（2023春·江蘇常州·高二華羅庚中學校考階段練習）設橢圓的右頂點為A，上頂點為B．已知橢圓的離心率為，．(1)求橢圓的方程；(2)設直線l：與橢圓交于P，Q兩點，l與直線AB交于點M，且點P，M均在第四象限．若，求k的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題意結合幾何關系可求得，.則橢圓的方程為；（2）設點P的坐標為，點M的坐標為，由題意可得.易知直線的方程為，由方程組可得.由方程組可得.結合，可得，解出，或.經檢驗的值為.【詳解】（1）設橢圓的焦距為2c，由已知得，又由，可得．又，所以，，所以，橢圓的方程為．（2）設點P的坐標為，點M的坐標為，由題意，，點的坐標為．因為，所以有，，，所以，即．易知直線的方程為，由方程組消去y，可得．由方程組消去，可得．由，可得，兩邊平方，整理得，解得，或．當時，由可得，，不合題意，舍去；當時，由可得，，.所以，.18．（2023·江蘇·高二專題練習）設動點到定點的距離和它到定直線的距離之比為，記動點的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)點，在曲線上且，點滿足且，求直線的方程．【答案】(1)(2)答案見詳解【分析】（1）根據已知條件可得，整理化簡即可得到的方程；（2）先判斷直線，聯立直線于橢圓的方程，由韋達定理得到坐標的關系，根據，得到.再根據，得到之間的關系，消掉，即可得到的值，從而得到直線方程.【詳解】（1）設點，由已知可得，整理可得，即為的方程．（2）當斜率不存在時，可設，，∵，，，∴，可設，∴，∴，∴，則，此時點不在橢圓上，∴不符合，舍去．當斜率存在時，設為，設、，中點，聯立，可得，∴，且，，又，∴，，整理可得.，∴，所以，∴，設與軸交點，∴，又，所以.解得，∴，∴，滿足，∴，，所以直線的方程為或或或．題型七：橢圓的定點、定值、最值問題19．（2023·江蘇·高二專題練習）已知橢圓經過點，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)若經過點，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據離心率以及的幾何性質即可求解，（2）聯立直線與橢圓的方程，得到韋達定理，根據兩點斜率公式，代入化簡即可求解.【詳解】（1）由題意可知：，又，解得，所以橢圓方程為（2）證明：由題意可知直線有斜率，由于與點的連線的斜率為，且的橫縱坐標恰好與相反，因此直線有斜率滿足且，直線的方程為：，聯立直線與橢圓方程：，設，則，，將代入可得故直線AP與AQ的斜率之和為1，即為定值，得證.20．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學校考期末）已知橢圓的左頂點為.橢圓的離心率為并且與直線相切.(1)求橢圓的方程；(2)斜率存在且不為0的直線交橢圓于，兩點（異于點），且.則直線是否恒過定點，如果過定點求出該定點坐標，若不過定點請說明理由.【答案】(1)(2)直線恒過定點.【分析】（1）由離心率的值可得的關系，將直線與橢圓聯立，由判別式為可得的值，進而求出橢圓的方程；（2）設直線的方程與橢圓聯立，可得兩根之和及兩根之積，由向量模的關系，可得，即，求出數量積的表達式，將兩根之和及兩根之積代入，可得直線恒過的定點.【詳解】（1）由題意可得，可得，所以橢圓的方程為：，即，聯立，整理可得：，由題意可得，解得，，所以橢圓的方程為：；（2）因為，可得，即，由（1）可得，由題意設直線的方程為：，，，，聯立，整理可得：，，即，且，，所以，整理可得：，解得或（舍），即時，不論為何值都符合，所以直線的方程為，則直線恒過定點.21．（2022秋·江蘇南京·高二統考期中）已知圓A：，T是圓A上一動點，BT的中垂線與AT交于點Q，記點Q的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過點（0，2）的直線l交曲線C于M，N兩點，記點P（0，）.問：是否存在直線l，滿足PM=PN？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，y=±x+2.【分析】（1）由橢圓定義確定軌跡是橢圓，然后求出得橢圓方程；（2）假設存在滿足題意的直線，設出直線方程，代入橢圓方程后，由直線與橢圓相交得參數范圍，設，應用韋達定理得，求出線段的垂直平分線的方程，由點在這個垂直平分線上求得參數值．【詳解】（1）由條件得，所以的軌跡是橢圓，且，所以，所以的方程為.（2）假設存在滿足題意的直線，顯然的斜率存在且不為0，設，由得，則，得，設，則，又，所以的中點坐標為，因此，的中垂線方程為，要使，則點應在的中垂線上，所以，解得，故，因此，存在滿足題意的直線l，其方程為y=±x+2.【雙基達標】一、單選題22．（2023·全國·高二專題練習）已知直線：與橢圓：有公共點，則的取值范圍是（

）A． B．C．D．【答案】B【分析】聯立直線與橢圓的方程，令判別式大于0求解即可.【詳解】將直線的方程與橢圓的方程聯立，得，消去得①，因為直線與橢圓有公共點，所以方程①有實數根，則，得.故選：B．23．（2023秋·吉林長春·高二長春市第二實驗中學校考階段練習）在橢圓上求一點，使點到直線的距離最大時，點的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用判別式法，求出與橢圓相切的直線方程，然后即可求得本題答案.【詳解】設直線與橢圓相切，聯立方程，得①，因為直線與橢圓相切，所以，得，當時，與的距離最大，最大距離為，把代入①得，，得，代入，得，所以點的坐標為，故選：A24．（2023·江蘇·高二專題練習）設、分別是橢圓的左、右焦點，若是該橢圓上的一個動點，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】設點，則，且，利用平面向量數量積的坐標運算結合二次函數的基本性質可求得的最小值.【詳解】在橢圓中，，，，則，，設點，則，且，則，所以，，，所以，，所以當時，取最小值，故選：D25．（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓方程為，其右焦點為F（4，0），過點F的直線交橢圓與A，B兩點．若AB的中點坐標為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設，利用點差法求解即可．【詳解】設，代入橢圓的方程可得，．兩式相減可得：．由，，代入上式可得：＝0，化為．又，，聯立解得．∴橢圓的方程為：．故選：C．26．（2023秋·江蘇徐州·高二統考階段練習）已知橢圓C的中心在原點，對稱軸為坐標軸，且過點和(1)求橢圓C的標準方程；(2)求直線和橢圓C的公共點的坐標．【答案】(1)(2)【分析】（1）設橢圓C的方程為且，列出關于的方程求解即可；（2）聯立直線和橢圓C的方程求解即可．【詳解】（1）設橢圓C的方程為且，橢圓C過兩點和，則且，解得，故橢圓C的標準方程為．（2）由消元得，解得或，當時，；當時，，∴直線和橢圓C的公共點的坐標為．27．（2023秋·陜西西安·高二陜西師大附中校考階段練習）已知橢圓的一個焦點為，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)不過原點的直線與橢圓C交于兩點，求面積的最大值及此時直線的方程.【答案】(1)(2)，【分析】（1）由焦點和離心率即可求出，從而可得橢圓方程；（2）設出直線的方程，聯立橢圓方程，由點直線的距離公式，結合韋達定理，把面積表示為的函數，再利用基本不等式即可求出結果.【詳解】（1）由已知得，又離心率，得到，，所以橢圓的方程為.（2）設，聯立，消得，，得到，由韋達定理得，，又因為，又原點到直線的距離為，所以，當且僅當，即，滿足，所以，面積的最大值為，此時直線的方程為.【高分突破】一、單選題28．（2023秋·江蘇南京·高二南京外國語學校校）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在上，且，直線與交于另一點，與軸交于點，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據幾何性質表示焦半徑，再結合余弦定理求焦半徑的長度，即可求解.【詳解】如圖，因為，所以點是的中點，連接，由，得，設，則，，．由余弦定理得，即，整理得，則，故．故選：D29．（2023·江蘇·高二專題練習）已知A，B，C是橢圓上的三個點，直線AB經過原點O，直線AC經過橢圓的右焦點F，若，且，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設橢圓左焦點為，設，根據橢圓對稱性表示相關線段長，以及推出，利用勾股定理推出，在中，再利用勾股定理即可得的關系，即可求得答案.【詳解】設橢圓左焦點為，連接，設，結合橢圓對稱性得，由橢圓定義得，則.因為，則四邊形為平行四邊形，則，而，故，則，即，整理得，在中，，即，即，故，故選：C30．（2023春·陜西西安·高二校考階段練習）已知為橢圓的兩個焦點，為橢圓上關于坐標原點對稱的兩點，且，若四邊形的面積為8，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】A【分析】首先判斷四邊形為矩形，再結合矩形的性質和橢圓的定義，聯立求得四邊形的面積，即可求解的值.【詳解】因為，且分別被點平分，所以四邊形為矩形，對角線長為，即，且所以,即，而四邊形的面積為，得.故選：A31．（2023秋·吉林長春·高二長春市第二實驗中學校考階段練習）已知，分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓在第一象限內的一點，若，則（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】由橢圓的方程可得，的值，進而求出的值，由橢圓的定義及勾股定理可得，的值，再求出的正切值．【詳解】由橢圓的方程可得，，所以，設，則，由在第一象限可得，即，因為，所以，整理可得，解得或2（舍，即，，所以在中，，故選：A．32．（2023秋·陜西西安·高二陜西師大附中校考階段練習）已知兩定點和，動點在直線上移動，橢圓C以A，B為焦點且經過點P，則橢圓C的離心率的最大值為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意知，要使橢圓C的離心率取最大值，則a取最小值．即取最小值．利用點的對稱性求出的最小值即可解答．【詳解】由題意得，，，當a取最小值時，橢圓C的離心率有最大值．設點關于直線的對稱點為，則，解得，，則，當時，橢圓有最大離心率，此時，．故選：B．33．（2023·全國·高二專題練習）設點、分別是橢圓的左、右焦點，點、在上（位于第一象限）且點、關于原點對稱，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知，四邊形為矩形，設，則，利用橢圓定義可得出與的等量關系，利用勾股定理可得出與的等量關系，由此可得出橢圓的離心率的值.【詳解】如下圖所示：由題意可知，為、的中點，則四邊形為平行四邊形，則，又因為，則四邊形為矩形，設，則，所以，，由勾股定理可得，所以，該橢圓的離心率為.故選：B.二、多選題34．（2023秋·江西上饒·高二江西省廣豐中學校考階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓C上的一點，且在第一象限，點為的內心，下列說法正確的是（）A． B．C． D．的最大值為【答案】BCD【分析】對A，根據橢圓基本量的關系與三角形面積公式可表達的面積，再化簡判斷即可；對B，設的內切圓Q與的分別切于點A，B，D，再根據內切圓的性質化簡分析即可；對C，由B結合橢圓定義可得，再根據點到點的距離公式與橢圓的方程化簡可得即可判斷；對D，設，再根據三角恒等變換結合三角函數最值判斷即可.【詳解】對A，已知橢圓的實半軸長，虛半軸長，半焦距長，的面積，所以，所以，故選項A錯誤;對B，設的內切圓Q與的分別切于點A，B，D，則．故選項B正確：對C，∵，聯立，可得，又∵，∴，∴，故選項C正確：對D，設，則，∴當時取得最大值，故選項D正確．故選：BCD．35．（2023秋·江西上饒·高二校考階段練習）設，為橢圓：的兩個焦點，為上一點且在第一象限，為的內心，且內切圓半徑為1，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】如下圖所示，設切點為，，，由橢圓的定義結合內心的性質可判斷A；由等面積法求出代入橢圓的方程可判斷B；求出可判斷C；由兩點的斜率公式可判斷D.【詳解】如下圖所示，設切點為，，，對于A，由橢圓的方程知：，由橢圓的定義可得：，易知，所以，所以，故A正確；對于BCD，，又因為，解得：，又因為為上一點且在第一象限，所以，解得：，故B正確；從而，所以，所以，而，所以，故C錯誤；從而，故D正確.故選:ABD．36．（2023秋·江蘇徐州·高二統考階段練習）平面內到兩個定點的距離之積為常數的點的軌跡稱為卡西尼卵形線（Cassinioval）．在平面直角坐標系中，，動點滿足，其軌跡為曲線，則（

）A．曲線的方程為 B．曲線關于原點對稱C．面積的最大值為2 D．的取值范圍為【答案】ABD【分析】設，根據化簡得到A正確，根據對稱性得到B正確，計算，得到面積的最大值為，錯誤，確定，，D正確，得到答案.【詳解】對選項A：設，則，即，整理得到，即，正確；對選項B：當點在曲線，即，則也在曲線，正確；對選項C：設，，則，故，面積的最大值為，錯誤；對選項D：，解得，，故，正確；故選：ABD.37．（2023秋·山東青島·高二青島二中校考階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，點在上，且的最大值為3，最小值為1，則（

）A．橢圓的離心率為 B．的周長為4C．若，則的面積為3 D．若，則【答案】AD【分析】對A，根據題意可得，即可求解；對B，根據橢圓的定義判斷即可；對C，根據余弦定理結合橢圓的定義判斷即可；對D，根據余弦定理與橢圓的定義求解即可．【詳解】對A，由題意，，故，，故A正確；對B，的周長為，故B錯誤；對C，，，當且僅當時，等號成立，因為在上遞減，所以此時最大，又，，所以的最大值為，，不成立，故C錯誤；對D，由余弦定理，即，解得，故，故D正確；故選：AD三、填空題38．（2023秋·江西南昌·高二南昌縣蓮塘第二中學校考階段練習）已知橢圓的焦點在軸上，若橢圓的焦距為4，則的值為．【答案】【分析】首先將橢圓方程化為標準式，即可得到、，根據焦距求出.【詳解】橢圓即，焦點在軸上，所以，所以，又橢圓的焦距為4，所以，解得．故答案為：39．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考階段練習）焦點在軸上且中心為原點的橢圓與橢圓：離心率相同，且，在第一象限內公共點的橫坐標為1，則的方程【答案】【分析】先求出橢圓的離心率，，在第一象限內公共點的坐標，從而利用待定系數法求出的方程.【詳解】橢圓中，，故橢圓的離心率為，中，令得，故，在第一象限內公共點的坐標為，設，將代入可得，又，解得，，故答案為：.40．（2023·江蘇·高二專題練習）已知橢圓，過點的直線交橢圓于、兩點，若為的中點，則直線的方程為【答案】【分析】設點、，利用點差法可求得直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程.【詳解】設點、，由中點坐標公式可得，所以，因為，兩式作差得，即，即，所以，，因此，直線的方程為，即.故答案為：.【點睛】方法點睛：解決中點弦的問題的兩種方法：（1）韋達定理法：聯立直線與曲線的方程，消去一個未知數，利用一元二次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決；（2）點差法：設出交點坐標，利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標代入曲線方程，然后作差，構造出中點坐標和斜率關系求解.41．（2023秋·河南焦作·高二博愛縣第一中學校考階段練習）在以O為中心，、為焦點的橢圓上存在一點M，滿足，則該橢圓的離心率為.【答案】/【分析】根據題意結合橢圓定義可得，進而利用余弦定理列式求解.【詳解】因為，所以，因為與互補，且，由余弦定理可得，可得，所以.故選：C．四、解答題42．（2023秋·吉林長春·高二長春市第二實驗中學校考階段練習）已知橢圓，左右焦點分別為，，直線與橢圓交于A，兩點，弦被點平分．(1)求直線的方程；(2)求