【創(chuàng)新設(shè)計】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2-5從力做的功到向量的數(shù)量積活頁訓(xùn)練北師大版必修4雙基達(dá)標(biāo)限時20分鐘1．對于向量a、b、c和實數(shù)λ，下列命題中真命題是()．A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0B．若λa＝0，則λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，則b＝c解析A中若a⊥b，則有a·b＝0，不一定有a＝0，b＝0.C中當(dāng)|a|＝|b|時，a2＝b2，此時不一定有a＝b或a＝－b.D中當(dāng)a＝0時，a·b＝a·c，不一定有b＝c.答案B2．若向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a與b的夾角為60°，則a·a＋a·b＝()．A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,2)C．1＋eq\f(\r(3),2)D．2解析a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|·cos60°＝1＋1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).答案B3．設(shè)e1，e2是兩個平行的單位向量，則下面的結(jié)果正確的是()．A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1C．|e1·e2|＝1 D．|e1·e2|<1解析∵e1，e2平行，∴e1與e2的夾角θ＝0°或θ＝180°，若θ＝0°，則e1·e2＝|e1||e2|cosθ＝1×1×cos0°＝1；若θ＝180°，則e1·e2＝|e1||e2|cosθ＝1×1×cos180°＝－1；綜上得|e1·e2|＝1.答案C4．已知|a|＝5，|b|＝6，若a∥b，則a·b＝________.解析由a∥b，可知a與b的夾角為0或π，故a·b＝±30.答案±305．已知a⊥b，(3a＋2b)⊥(ka－b)，若|a|＝2，|b|＝3，則實數(shù)k解析由已知a·b＝0，a2＝4，b2＝9，(3a＋2b)·(ka－b)＝0?3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.∴12k－18＝0，∴k＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)6．已知a、b都是非零向量，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與解∵a＋3b與7a－5b垂直，∴(a＋3b)·(7a－5∵a－4b與7a－2b垂直，∴(a－4b)·(7a－2于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a2＋16a·b－15b2＝0，①,7a2－30a·b＋8b2＝0.②))①－②得2a·b＝b2.將③代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|.∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(|b|2,2|b|2)＝eq\f(1,2).∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝60°.綜合提高限時25分鐘7．如圖所示，在Rt△ABC中，A＝90°，AB＝1，則eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))的值是()．A．1B．－1C．1或－1D．不確定，與B的大小，BC的長度有關(guān)解析法一根據(jù)數(shù)量積的定義，得eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝－eq\o(BA,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝－|eq\o(BA,\s\up12(→))||eq\o(BC,\s\up12(→))|cosB．又cosB＝eq\f(|\o(BA,\s\up12(→))|,\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(BC,\s\up12(→))|)))，故eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝－|eq\o(BA,\s\up12(→))|2＝－1，故選B.法二從投影的角度來考慮，事實上，由于A＝90°，eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝－eq\o(BA,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝－|eq\o(BA,\s\up12(→))||eq\o(BC,\s\up12(→))|cosB，而|eq\o(BC,\s\up12(→))|cosB＝|eq\o(BA,\s\up12(→))|，所以eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝－|eq\o(BA,\s\up12(→))|2＝－1.故選B.答案B8．已知|a|＝3，|b|＝2，a，b＝60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，則m()．A.eq\f(32,23)B.eq\f(23,43)C.eq\f(29,42)D.eq\f(21,16)解析由已知可得(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0?3m·32＋(5m－3)·3×2·cos60°－5×22＝0，解之得m＝eq\f(29,42)答案C9．若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值為()．A.eq\r(2)－1B．1C.eq\r(2)D．2解析由已知條件向量a，b，c均為單位向量可知，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0及(a－c)·(b－c)≤0可知，(a＋b)·c≥1，因為|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)＝3－2c·(a＋b)≤1，故|a＋b答案B10．已知e1，e2是夾角為eq\f(2π,3)的兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，則實數(shù)k的值為________．解析由題意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即keeq\o\al(2,1)＋e1·e2－2ke1·e2－2eeq\o\al(2,2)＝0，即k＋coseq\f(2π,3)－2kcoseq\f(2π,3)－2＝0，化簡可求得k＝eq\f(5,4).答案eq\f(5,4)答案－211．對于兩個非零向量a，b，求使|a＋tb|最小時的t的值，并求此時b與a＋tb的夾角．解|a＋tb|2＝a2＋2(a·b)t＋t2b2＝|a|2＋2(a·b)t＋t2|b|2＝|b|2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(a·b,|b|2)))2＋|a|2－eq\f(a·b2,|b|2).當(dāng)t＝－eq\f(a·b,|b|2)時，|a＋tb|2取得最小值，即|a＋tb|取得最小值．此時，b·(a＋tb)＝b·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a·b,|b|2)b))＝a·b－eq\f(a·b,|b|2)b2＝a·b－a·b＝0.又∵b≠0，(a＋tb)≠0，∴b⊥(a＋tb)．∴b與a＋tb的夾角為90°.12．(創(chuàng)新拓展)已知|a|＝eq\r(2)，|b|＝3，a與b夾角為45°，是否存在實數(shù)λ，使a＋λb與λa＋b所成的角為銳角？若存在，請求出λ所滿足的條件；若不存在，請說明理由．解設(shè)a＋λb與λa＋b的夾角為θ.(a＋λb)·(λa＋b)＝λa2＋λb2＋(λ2＋1)a·b＝λ|a|2＋λ|b|2＋(λ2＋1)|a||b|cos45°＝2λ＋9λ＋(λ2＋1)×3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝3λ2＋11λ＋3.若θ為銳角，則cosθ＞0.∵cosθ＝eq\f(a＋λb·λa＋b,|a＋λb||λa＋b|)，|a＋λb||λa＋b|＞0，∴若θ為銳角，則(a＋λb)·(λa＋b)＞0，即3λ2＋11λ＋3＞0.令3λ2＋11λ＋3＝0，得λ＝eq\f(－11±\r(85),6).由于拋物線y＝3λ2＋11λ＋3開口向上，與橫軸交點的橫坐標(biāo)為eq\f(－11＋\r(85),6)和eq\f(－11－\r(85),6)，所以使3λ2＋11λ＋3＞0的λ的取值范圍為λ＜eq\f(－11－\r(85),6)，或λ＞eq\f(－11＋\r(85),6).當(dāng)a＋λb與λa＋b共線時，(a＋λb)·(λa＋b)＝|a＋λb||λa＋b