【創新設計】-學年高中數學2.2.2雙曲線的簡單幾何性質活頁訓練湘教版選修1-1eq\a\vs4\al\co1(基礎達標（限時20分鐘）)1．設雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)的漸近線方程為3x±2y＝0，則a的值為 ()．A．4 B．3C．2 D．1解析雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1的漸近線方程為3x±ay＝0，又a>0，∴a＝2.答案C2．0<k<a2，雙曲線eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1與eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有 ()．A．相同的虛軸 B．相同的實軸C．相同的漸近線 D．相同的焦點解析a2－k>0，b2＋k>0，所以a2－k＋b2＋k＝a2＋b2＝c2.所以兩雙曲線有相同的焦點．答案D3．雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的eq\r(2)倍，且一個頂點的坐標為(0，2)，則雙曲線的標準方程為 ()．A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1C.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1 D.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1解析2a＋2b＝2eq\r(2)c，即a＋b＝eq\r(2)c，又a＝2，且a2＋b2＝c2，∴a＝2，b答案B4．橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a2)＝1與雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1焦點相同，則a＝________.解析雙曲線焦點在x軸上，則4－a2＝a2＋1，得a2＝eq\f(3,2)，∴a＝±eq\f(\r(6),2).答案±eq\f(\r(6),2)5．雙曲線的漸近線方程是3x±4y＝0，則雙曲線的離心率e＝________.解析若焦點在x軸上，則eq\f(b,a)＝eq\f(3,4)，e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\f(5,4)；若焦點在y軸上，則eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\f(5,3).答案eq\f(5,4)或eq\f(5,3)6．根據下列條件，求雙曲線的標準方程．(1)經過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)，3))，且一條漸近線為4x＋3y＝0；(2)P(0，6)與兩個焦點連線互相垂直，與兩個頂點連線的夾角為eq\f(π,3).解(1)因直線x＝eq\f(15,4)與漸近線4x＋3y＝0的交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)，－5))，而3<|－5|，故雙曲線的焦點在x軸上，設其方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)))\s\up12(2),a2)－\f(32,b2)＝1，,\f(b2,a2)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))\s\up12(2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝16.))故所求的雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.(2)設F1、F2為雙曲線的兩個焦點．依題意，它的焦點在x軸上．因為PF1⊥PF2，且|OP|＝6，所以2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，所以又P與兩頂點連線夾角為eq\f(π,3)，所以a＝|OP|·taneq\f(π,6)＝2eq\r(3)，所以b2＝c2－a2＝24.故所求的雙曲線方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,24)＝1.eq\a\vs4\al\co1(綜合提高（限時25分鐘）)7．若雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,m)＝1的漸近線的方程為y＝±eq\f(\r(5),3)x，則雙曲線焦點F到漸近線的距離為 ()．A.eq\r(5) B.eq\r(14)C．2 D．2eq\r(5)解析由漸近線方程y＝±eq\f(\r(5),3)x，得m＝5.則焦點F(eq\r(14)，0)到y＝eq\f(\r(5),3)x的距離d＝eq\r(5).答案A8．若雙曲線C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)的頂點到漸近線的距離為eq\f(\r(2),2)，則雙曲線的離心率e＝ ()．A．2 B.eq\r(2)C．3 D.eq\r(3)解析頂點為(1，0)，漸近線為y＝±bx，則d＝eq\f(b,\r(1＋b2))＝eq\f(\r(2),2)，∴b＝1，∴e＝eq\r(2).答案B9．與雙曲線x2－eq\f(y2,4)＝1有共同的漸近線，且過點(2，2)的雙曲線的標準方程是________．解析依題意，設雙曲線的方程x2－eq\f(y2,4)＝λ(λ≠0)，將點(2，2)代入求，得λ＝3，所以所求雙曲線的標準方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝1.答案eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝110．已知F是雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦點，A(1，4)，P是雙曲線右支上的動點，則|PF|＋|PA|的最小值為________．解析設雙曲線的右焦點為F1，則由雙曲線的定義可知，|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，所以當滿足|PF1|＋|PA|最小時就滿足|PF|＋|PA|取最小值．由雙曲線的圖象可知當點A，P，F1共線時，滿足|PF1|＋|PA|最小．而|AF1|即為|PF1|＋|PA|的最小值，|AF1|＝5，答案911．如圖，已知F1、F2為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦點，過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，且∠PF1F2＝30°.求雙曲線的漸近線方程．解法一設F2(c，0)(c＞0)，P(c，y0)，則eq\f(c2,a2)－eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，解得y0＝±eq\f(b2,a).∴|PF2|＝eq\f(b2,a).在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|，即2c＝eq\r(3)·eq\f(b2,a)，將c2＝a2＋b2代入，解得b2＝2a2，故eq\f(b,a)＝eq\r(2).∴雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(2)x.法二設F2(c，0)(c＞0)，P(c，y0)，則eq\f(c2,a2)－eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，解得y0＝±eq\f(b2,a).∴|PF2|＝eq\f(b2,a).在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|PF1|＝2|PF2|，由雙曲線的定義可知|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2∵|PF2|＝eq\f(b2,a)，∴2a＝eq\f(b2,a)，即b2＝2a2.∴eq\f(b,a)＝eq\r(2).∴雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(2)x.12．(創新拓展)已知雙曲線x2－y2＝4，直線l：y＝k(x－1)，試討論實數k的取值范圍．(1)直線l與雙曲線有兩個公共點；(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點；(3)直線l與雙曲線沒有公共點．解由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝4，,y＝k（x－1），))消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0(*)(1)當1－k2＝0，即k＝±1，直線l與雙曲線漸近線平行，方程化為2x＝5，故此方程(*)只有一個實數解，即直線與雙曲線相交，且只有一個公共點．(2)當1－k2≠0，即k≠±1時，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2>0，,1－k2≠0，))即－eq\f(2\r(3),3)<k<eq\f(2\r(3),3)，且k≠±1時，方程(*)有兩個不同的實數解，即直線與雙曲線有兩個公共點．②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2＝0，,1－k2≠0，))即k＝±eq\f(2\r(3),3)時，方程(*)有兩個相同的實數解，即直線與雙曲線有一個公共點．③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2<0，,1－k2≠0，))即k<－eq\f(2\r(3),3)或k>eq