2.3.2事件的獨立性eq\a\vs4\al\co1(雙基達標限時15分鐘)1．已知A、B是相互獨立事件，且P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，則P(Aeq\x\to(B))＝________；P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝________.解析P(A)＝eq\f(1,2)，∴P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝eq\f(1,3).∵A、B相互獨立，∴A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互獨立，∴P(Aeq\x\to(B))＝P(A)·P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,6)，∴P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)eq\f(1,6)2．下列事件A、B是相互獨立事件的是________．①一枚硬幣擲兩次，事件A表示“第一次為正面”，事件B表示“第二次為反面”②袋中有2白，2黑的小球，不放回的摸兩球，事件A表示“第一次摸到白球”，事件B表示“第二次摸到白球”③擲一枚骰子，事件A表示“出現的點數為奇數”，事件B表示“出現的點數為偶數”④事件A表示“人能活到20歲”，事件B表示“人能活到50歲”答案①3．將一枚硬幣連續拋擲5次，5次都出現正面朝上的概率是________．解析每一次出現正面朝上的概率為eq\f(1,2)，且它們相互獨立，所以P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5＝eq\f(1,32).答案eq\f(1,32)4．某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為eq\f(16,25)，則該隊員每次罰球的命中率為________．解析設該隊員每次罰球的命中率為p(其中0＜p＜1)，則依題意有1－p2＝eq\f(16,25)，p2＝eq\f(9,25).又0＜p＜1，因此有p＝eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)5．有一道數學難題，在半小時內甲能解決的概率是eq\f(1,2)，乙能解決的概率為eq\f(1,3)，兩人試圖獨立地在半小時解決，則兩人都未解決的概率為________．解析都未解決的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)6．設甲、乙、丙三人每次射擊命中目標的概率分別為0.7、0.6和0.5.三人各向目標射擊一次，求至少有一人命中目標的概率及恰有兩人命中目標的概率．解設Ak表示“第k人命中目標”，k＝1,2,3.這里，A1，A2，A3獨立，且P(A1)＝0.7，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5.從而，至少有一人命中目標的概率為1－P(eq\x\to(A)1·eq\x\to(A)2·eq\x\to(A)3)＝1－P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)2)P(eq\x\to(A)3)＝1－0.3×0.4×0.5＝0.94.恰有兩人命中目標的概率為P(A1·A2·eq\x\to(A)3＋A1·eq\x\to(A)2·A3＋eq\x\to(A)1·A2·A3)＝P(A1·A2·eq\x\to(A)3)＋P(A1·eq\x\to(A)2·A3)＋P(eq\x\to(A)1·A2·A3)＝P(A1)P(A2)P(eq\x\to(A)3)＋P(A1)P(eq\x\to(A)2)P(A3)＋P(eq\x\to(A)1)P(A2)P(A3)＝0.7×0.6×0.5＋0.7×0.4×0.5＋0.3×0.6×0.5＝0.44.∴至少有一人命中目標的概率為0.94，恰有兩人命中目標的概率為0.44.eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時30分鐘)7．在一次數學考試中，第14題和第15題為選做題．規定每位考生必須且只須在其中選做一題．設4名考生選做這兩題的可能性均為eq\f(1,2).則其中甲、乙兩名學生選做同一道題的概率為________．解析設事件A表示“甲選做第14題”，事件B表示“乙選做第14題”，則甲、乙2名學生選做同一道題的事件為“AB＋eq\x\to(A)eq\x\to(B)”，且事件A、B相互獨立∴P(AB＋eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(A)P(B)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,2).∴甲、乙兩名學生選做同一道題的概率為eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)8．甲、乙、丙三人將參加某項測試，他們能達標的概率分別是0.8,0.6,0.5，則三人都達標的概率為________，三人中至少有一人達標的概率為________．解析每個人是否達標是相互獨立的，“三人中至少有一人達標”的對立事件為“三人均未達標”，設三人都達標為事件A，三人中至少有一人達標為事件B，則P(A)＝0.8×0.6×0.5＝0.24，P(B)＝1－0.2×0.4×0.5＝0.96.答案0.240.969．某次知識競賽規則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪．假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于________．解析此選手恰好回答4個問題就晉級下一輪，說明此選手第2個問題回答錯誤，第3、第4個問題均回答正確，第1個問題答對答錯都可以．因為每個問題的回答結果相互獨立，故所求的概率為1×0.2×0.82＝0.128.答案0.12810．從某地區的兒童中挑選體操學員，已知兒童體型合格的概率為eq\f(1,5)，身體關節構造合格的概率為eq\f(1,4)，從中任挑一兒童，這兩項至少有一項合格的概率是________(假定體型與身體關節構造合格與否相互之間沒有影響)．解析兩項都不合格的概率為P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(3,5)，∴至少有一項合格的概率是1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5).答案eq\f(2,5)11．某課程考核分理論與實驗兩部分進行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都是“合格”，則該課程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9,0.8,0.7，在實驗考核中合格的概率分別為0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之間沒有影響．(1)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；(2)求這三個人該課程考核都合格的概率(結果保留三位小數)．解記“甲理論考核合格”為事件A1，“乙理論考核合格”為事件A2，“丙理論考核合格”為事件A3，記事件eq\x\to(A)i為Ai的對立事件，i＝1,2,3.記“甲實驗考核合格”為事件B1，“乙實驗考核合格”為事件B2，“丙實驗考核合格”為事件B3.(1)記“理論考核中至少有兩人合格”為事件C，記eq\x\to(C)為事件C的對立事件，P(C)＝P(A1A2A3＋A1A2eq\x\to(A3)＋A1eq\x\to(A2)A3＋eq\x\to(A1)A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2eq\x\to(A3))＋P(A1eq\x\to(A2)A3)＋P(eq\x\to(A1)＝0.9×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＝0.902.所以，理論考核中至少有兩人合格的概率為0.902.(2)記“三個人該課程考核都合格”為事件D.P(D)＝P[(A1·B1)·(A2·B2)·(A3·B3)]＝P(A1·B1)·P(A2·B2)·P(A3·B3)＝P(A1)·P(B1)·P(A2)·P(B2)·P(A3)·P(B3)＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9≈0.254.所以，這三個人該課程考核都合格的概率為0.254.12．如圖，由M到N的電路中有4個元件，分別標為T1，T2，T3，T4，電流能通過T1，T2，T3的概率都是p，電流能通過T4的概率是0.9.電流能否通過各元件相互獨立．已知T1，T2，T3中至少有一個能通過電流的概率為0.999.(1)求p；(2)求電流能在M與N之間通過的概率．解記Ai表示事件：電流能通過Ti，i＝1,2,3,4.A表示事件：T1，T2，T3中至少有一個能通過電流．B表示事件：電流能在M與N之間通過．(1)eq\x\to(A)＝eq\x\to(A)1·eq\x\to(A)2·eq\x\to(A)3，A1，A2，A3相互獨立，P(eq\x\to(A))＝P(eq\x\to(A)1·eq\x\to(A)2·eq\x\to(A)3)＝P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)2)P(eq\x\to(A)3)＝(1－p)3，又P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，故(1－p)3＝0.001，p＝0.9.(2)B＝A4＋(eq\x\to(A)4·A1·A3)∪(eq\x\to(A)4·eq\x\to(A)1·A2·A3)P(B)＝P(A4)＋P(eq\x\to(A)4·A1·A3＋eq\x\to(A)4·eq\x\to(A)1·A2·A3)，＝P(A4)＋P(eq\x\to(A)4)P(A1)P(A3)＋P(eq\x\to(A)4)P(eq\x\to(A)1)P(A2)P(A3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891.13．(創新拓展)甲、乙兩人破譯一密碼，它們能破譯的概率分別為eq\f(1,3)和eq\f(1,4)，試求：(1)兩人都能破譯的概率；(2)兩人都不能破譯的概率；(3)恰有一人能破譯的概率；(4)至多有一人能破譯的概率；(5)若要使破譯的概率為99%，至少需要多少乙這樣的人？解設事件A為“甲能譯出”，事件B為“乙能譯出”，則A、B相互獨立，從而A與eq\x\to(B)、eq\x\to(A)與B、eq\x\to(A)與eq\x\to(B)均相互獨立．(1)“兩人都能譯出”為事件AB，則P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,12).(2)“兩人都不能譯出”為事件eq\x\to(A)eq\x\to(B)，則P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,2).(3)“恰有一人能譯出”為事件Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B，又Aeq\x\to(B)與eq\x\to(A)B互斥，則P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).(4)“至多一人能譯出”為事件Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B＋eq\x\to(A)eq\x\to(B)，且Aeq\x\to(B)、eq\x\to(A)B、eq\x\to(A)eq\x\to(B)互斥，故P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B＋eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(