2.2超幾何分布eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)15分鐘)1．某學(xué)校從4名男生和2名女生中任選3人作為參加上海世博會(huì)的志愿者，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，則P(X≥1)＝________.解析P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＋eq\f(C\o\al(1,4)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5)答案eq\f(4,5)2．從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取3臺(tái)，其中兩種品牌的彩電齊全的概率是________．解析P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＋eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(9,10).答案eq\f(9,10)3．在一次口試中，要從10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行回答，答對(duì)其中兩道或兩道以上的題可獲得及格．某考生會(huì)回答10道題中的6道題，那么他(她)獲得及格的概率是________．解析N＝10，M＝6，n＝3，P＝P(X＝3)＋P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(0,4),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(0,4)＋C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)4．下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是________．(填序號(hào))①將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)記為X；②從7男3女共10個(gè)學(xué)生干部中選出5個(gè)優(yōu)秀學(xué)生干部，女生的人數(shù)記為X；③某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為X；④盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，X是第一次摸出黑球的次數(shù)．解析由超幾何分布的定義可判斷，只有②是超幾何分布．答案②5．在15個(gè)村莊中，有7個(gè)村莊交通不太方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示10個(gè)村莊中交通不太方便的村莊數(shù)，P(X＝4)＝________(用式子表示)．解析X服從超幾何分布，∴P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15)).答案eq\f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15))6．袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)黑球，從袋中隨機(jī)地抽取4個(gè)球，設(shè)取到1個(gè)紅球得2分，取到1個(gè)黑球得1分．(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6的概率．解(1)設(shè)抽到紅球的個(gè)數(shù)為Y，則由題意知X服從超幾何分布，且P(X＝5)＝P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝6)＝P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝7)＝P(Y＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝8)＝P(Y＝4)＝eq\f(C\o\al(4,4)C\o\al(0,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,35).所以X的分布列為X5678Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)(2)P(X＞6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝eq\f(12,35)＋eq\f(1,35)＝eq\f(13,35).eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)30分鐘)7．袋中有5個(gè)黑球和3個(gè)白球，從中任取2個(gè)球，則其中至少有1個(gè)黑球的概率是________．解析記黑球個(gè)數(shù)為X，P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,3),C\o\al(2,8))＋eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(0,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,3)＋C\o\al(2,5)C\o\al(0,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(25,28).答案eq\f(25,28)8．一個(gè)人有n把鑰匙，其中只有一把可以打開房門，他隨意地進(jìn)行試開，若試開過(guò)的鑰匙放在一邊，試開次數(shù)X為隨機(jī)變量，則P(X＝k)＝________.答案eq\f(1,n)9．一個(gè)盒子里裝有相同大小的黑球10個(gè)，紅球12個(gè)，白球4個(gè)．從中任取兩個(gè)，其中白球的個(gè)數(shù)記為X，則eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,22),C\o\al(2,26))等于________(用概率的式子表示)．解析本題屬于超幾何分布．隨機(jī)變量X的概率分布為X012Peq\f(C\o\al(2,22),C\o\al(2,26))eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,4),C\o\al(2,26))eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,26))而P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,22),C\o\al(2,26)).答案P(X≤1)10．為了慶祝六一兒童節(jié)，某食品廠制作了3種不同的精美卡片，每袋食品隨機(jī)裝入一張卡片，集齊3種卡片可獲獎(jiǎng)，現(xiàn)購(gòu)買該種食品5袋，能獲獎(jiǎng)的概率為________．解析能獲獎(jiǎng)有以下兩種情況：①5袋食品中三種卡片數(shù)分別為1,1,3，此時(shí)共有eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,4),A\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,3)＝60(種)不同的方法，其概率為P1＝eq\f(60,35)＝eq\f(20,81)；②5袋食品中三種卡片數(shù)分別為2,2,1，共有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,3)＝90(種)不同的裝法，其概率為P2＝eq\f(90,35)＝eq\f(30,81)，所以所求概率P＝P1＋P2＝eq\f(50,81).答案eq\f(50,81)11．某校組織一次冬令營(yíng)活動(dòng)，有8名同學(xué)參加，其中有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)，為了活動(dòng)的需要，要從這8名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)去執(zhí)行一項(xiàng)特殊任務(wù)，記其中有X名男同學(xué)．(1)求X的分布列；(2)求去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率．解(1)X的可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(1,56)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)·C\o\al(2,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,56)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(1,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,28)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(5,28).即X的分布列為X0123Peq\f(1,56)eq\f(15,56)eq\f(15,28)eq\f(5,28)(2)去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率為P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(15,56)＋eq\f(15,28)＝eq\f(45,56).12．從5名男生和3名女生中任選3人參加奧運(yùn)會(huì)火炬接力活動(dòng)．若隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，求X的分布表及P(X＜2)．解由題意分析可知，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，其中N＝8，M＝3，n＝3.所以P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(0,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(5,28)；P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,28)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,56)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(0,5)C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(1,56).從而隨機(jī)變量X的分布表為X0123Peq\f(5,28)eq\f(15,28)eq\f(15,56)eq\f(1,56)所以P(X＜2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(5,28)＋eq\f(15,28)＝eq\f(5,7).13．(創(chuàng)新拓展)從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件A“取出的2件產(chǎn)品都是二等品”的概率P(A)＝0.04(1)求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率；(2)若該批產(chǎn)品共10件，從中任意抽取2件；X表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求X的分布列．解(1)設(shè)任取一件產(chǎn)品是二等品的概率為p，依題意有P(A)＝p2＝0.04，解得p1＝0.2，p2＝－0.2(舍去)．故從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率為0.2.(2)若該批產(chǎn)品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2件，故X的可能取值為0,1,2.P(X＝0)＝e