第二章函數§4

二次函數性質的再研究1.能熟練地對一般的二次函數的解析式進行配方，理解在二次函數的圖像中a，b，c(或a，h，k)的作用；2.研究二次函數圖像移動的方法，并能遷移到其他函數；3.掌握二次函數的三種不同表示形式，能正確地運用題設條件求出解析式，并能將函數解析式和圖像進行正確轉換；4.掌握二次函數的性質：定義域、值域、單調性及最值；5.掌握二次函數在閉區間上的最值的求法，初步學會求含有參數的二次函數的值域和最值.問題導學題型探究達標檢測學習目標知識點一二次函數的配方法思考y＝4x2－4x－1如何配方？你能由此求出方程4x2－4x－1＝0的根嗎？答案問題導學

新知探究點點落實令y＝0，即4x2－4x－1＝0，知識點二二次函數的性質函數二次函數y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋

)2＋

(a，b，c是常數，且a≠0)圖像性質開口向上向下對稱軸方程頂點坐標單調性在區間(－∞，

]上是減函數，在區間[

，＋∞)上是增函數在區間(－∞，

]上是增函數，在區間[

，＋∞)上是減函數最值當x＝

時，y有最小值，ymin＝當x＝

時，y有最大值，ymax＝知識點三圖像變換思考y＝x2和y＝2(x＋1)2＋3的圖像之間有什么關系？答案y＝x2的圖像各點縱坐標變為原來的2倍，可得y＝2x2的圖像；再把y＝2x2的圖像向左平移1個單位，再上移3個單位，得y＝2(x＋1)2＋3的圖像.答案返回解析答案反思與感悟題型探究

重點難點個個擊破類型一二次函數的圖像例1

如圖是二次函數y＝ax2＋bx＋c圖像的一部分，圖像過點A(－3,0)，對稱軸為x＝－1.給出下面四個結論：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正確的是(

)A.②④

B.①④

C.②③

D.①③解析因為圖像開口向下且頂點縱坐標大于0，所以b2－4ac>0，①正確；結合圖像，當x＝－1時，y>0，即a－b＋c>0，③錯誤；由對稱軸為x＝－1知，b＝2a，因為5>2，a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正確.答案B反思與感悟反思與感悟處理二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像問題，主要是考慮其圖像特征如開口、頂點、與x軸、y軸交點、對稱軸等與系數a，b，c之間的關系.解析答案跟蹤訓練1

二次函數f(x)＝x2＋bx＋c的圖像向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到二次函數f(x)＝x2－2x＋1的圖像，則b＝______，c＝______.解析f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，其圖像頂點為(1,0).將二次函數f(x)＝x2－2x＋1的圖像向下平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度后的圖像的頂點為(3，－3)，得到的拋物線為y＝(x－3)2－3，即f(x)＝x2＋bx＋c，∴(x－3)2－3＝x2＋bx＋c，即x2－6x＋6＝x2＋bx＋c，∴b＝－6，c＝6.－66解析答案類型二二次函數解析式的求解例2

已知二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像與x軸相交于點A(－3,0)，對稱軸為x＝－1，頂點M到x軸的距離為2，求此函數的解析式.反思與感悟解方法一因為二次函數圖像的對稱軸是x＝－1，又頂點M到x軸的距離為2，所以頂點的坐標為(－1,2)或(－1，－2)，故可得二次函數的解析式為y＝a(x＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2.因為圖像過點A(－3,0)，所以0＝a(－3＋1)2＋2或0＝a(－3＋1)2－2，解析答案反思與感悟方法二因為二次函數圖像的對稱軸為x＝－1，又圖像過點A(－3,0)，所以點A關于對稱軸的對稱點A′(1,0)也在圖像上，所以可得二次函數的解析式為y＝a(x＋3)(x－1).由題意得頂點坐標為(－1,2)或(－1，－2)，反思與感悟反思與感悟求二次函數解析式的常見設法(1)一般式，設為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)頂點式，若已知二次函數圖像的頂點為(h，k)，則函數的解析式可以設為y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)兩根式，若已知二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)對應的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個根x1，x2，則函數的解析式可以設為y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).利用已知條件尋找對應的設法，往往可使函數解析式的求解變得簡單.解析答案跟蹤訓練2

已知f(x)是關于x的二次函數，且滿足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)的解析式.解設二次函數的解析式為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，故二次函數的解析式為f(x)＝x2－x＋1.解析答案類型三二次函數的最值或值域(1)求函數圖像的頂點坐標、對稱軸方程和最值；解析答案(2)若x∈[1,4]，求函數值域.解由于3∈[1,4]，所以函數在區間[1,3]上是減函數，反思與感悟反思與感悟跟蹤訓練3

已知函數f(x)＝ax2＋2ax＋1在區間[－1,2]上有最大值4，求實數a的值.解f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.(1)當a＝0時，函數f(x)在區間[－1,2]上的值不變，恒為常數1，不符合題意，舍去.(2)當a>0時，函數f(x)在區間[－1,2]上是增函數，(3)當a<0時，函數f(x)在區間[－1,2]上是減函數，最大值為f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.解析答案返回123解析答案達標檢測41.二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)與g(x)＝bx2＋ax＋c(b≠0)的圖像可能是下圖中的(

)512345即f(x)，g(x)的圖像的對稱軸位于y軸的同一側，由此排除A，B；由C，D中給出的圖像，可判定f(x)，g(x)的圖像的開口方向相反，即f(x)，g(x)的圖像的對稱軸都位于y軸右側，排除C，選D.答案D解析答案2.設二次函數y＝f(x)滿足f(4＋x)＝f(4－x)，又f(x)在[4，＋∞)上是減函數，且f(a)≥f(0)，則實數a的取值范圍是(

)A.a≥4 B.0≤a≤8C.a<0 D.a<0或a≥8解析

由題意知二次函數f(x)的圖像關于直線x＝4對稱，則有f(0)＝f(8).因為f(x)在[4，＋∞)上是減函數，所以在(－∞，4]上是增函數.當a∈(－∞，4]時，由f(a)≥f(0)，得0≤a≤4；當a∈[4，＋∞)時，由f(a)≥f(0)，即f(a)≥f(8)，得4≤a≤8.綜上可知0≤a≤8.12345B解析答案3.已知f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－1)＝f(3)，則(

)A.f(1)>c>f(－1) B.f(1)<c<f(－1)C.c>f(－1)>f(1) D.c<f(－1)<f(1)解析

因為f(－1)＝f(3)，所以f(x)圖像的對稱軸為x＝1，因此函數在區間(－∞，1]上是減函數，又c＝f(0)，所以f(1)<c<f(－1).12345B解析答案4.已知二次函數f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，a]且f(x)的最小值為f(a)，則a的取值范圍是_____.解析

二次函數f(x)的圖像的對稱軸為x＝3，要使f(x)＝x2－6x＋8在區間[2，a]上的最小值為f(a)，只需函數f(x)在區間[2，a]上是減函數，所以2<a≤3.12345(2,3]解析答案5.已知二次函數y＝

x2＋2x＋1.(1)寫出函數圖像的開口方向、頂點坐標、對稱軸、最值，并指出它可由y＝x2的圖像怎樣變化得到；∴函數圖像的開口向上，頂點坐標是(－2，－1)，對稱軸是直線x＝－2.12345解析答案(2)求函數圖像與y軸、x軸的交點；解令x＝0，則y＝1，12345∴函數圖像與y軸交于(0,1).(