第四章一次函數專題4一次函數在圖形中的應用數學八年級上冊BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS

?問題綜述一次函數是初中階段所接觸的第一種初等函數，體現了數

形結合的數學思想，在中考中是重要的考點.在解決問題時，除

了一些基礎的問題，例如點的坐標、字母系數的取值及取值范

圍，還常常涉及面積問題、最值問題等綜合性較強的問題.我們

要掌握常見的解題方法，化繁為簡，達到事半功倍的效果.?要點歸納1.

邊在坐標軸上或邊與坐標軸平行的三角形，叫做坐標三角

形.2.

一般三角形的面積問題

坐標三角形的面積問題.3.

四邊形的面積問題

坐標三角形的面積問題.4.

求坐標系中三角形面積的方法：補、割、移.數學八年級上冊BS版02典例講練

類型一

一次函數與坐標三角形的面積問題

已知一次函數

y1＝

k1

x

－4（

k1≠0）和一次函數

y2＝4

x

＋

b

與坐標軸圍成的三角形的面積都是24，求這兩個一次函數的表

達式.【思路導航】先分別求出一次函數的圖象與坐標軸的交點坐

標，再根據三角形的面積公式求解即可.

【點撥】已知直線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積，求一次

函數的表達式時，先設出一次函數的表達式，再用待定字母表

示出直線與兩坐標軸的交點坐標（這一步要考慮直線與

x

抽、

y

軸相交時的位置的不同情況），然后利用已知三角形的面積求

出待定字母的值，最后代回所設的一次函數的表達式即可.

已知四條直線

y

＝

kx

－3，

y

＝－1，

y

＝3，

x

＝1所圍成的四邊

形的面積是12，求

k

的值.

顯然四邊形

ABCD

是梯形，且梯形的高是4，根據梯形的面積是

12，則梯形的上、下底的和是6.類型二

由面積關系求點的坐標

如圖1，在平面直角坐標系中，已知直線

l1：

y

＝

x

＋1與

x

軸

交于點

A

，直線

l2：

y

＝3

x

－3與

x

軸交于點

B

，與

l1相交于點

C

.

（1）寫出點

A

，

B

，

C

的坐標：

A

，

B

?

，

C

?.（－1，0）

（1，

0）

（2，3）

圖1圖2（2）如圖2，動直線

x

＝

t

分別與直線

l1，

l2交于

P

，

Q

兩點.①若

PQ

＝2，求

t

的值.②是否存在點

Q

，使得

S△

AQC

＝2

S△

ABC

？若存在，請求出此時

點

Q

的坐標；若不存在，請說明理由.【思路導航】（1）根據一次函數與一元一次方程的關系求解；

（2）①先用

t

表示點

P

，

Q

的坐標，再列方程求解；②先分類

討論，再列方程求解.（1）【解析】對于直線

l2：

y

＝3

x

－3，令

y

＝3

x

－3＝0，解得

x

＝1，故點

B

的坐標為（1，0）.對于

l1：

y

＝

x

＋1，同理可

得，點

A

的坐標為（－1，0）.由3

x

－3＝

x

＋1，解得

x

＝2.則

y

＝3

x

－3＝3.故點

C

的坐標為（2，3）.故答案為（－1，0），

（1，0），（2，3）.（2）解：①點

P

在直線

l1上，則設點

P

（

t

，

t

＋1），同理點

Q

（

t

，3

t

－3），則

PQ

＝｜

t

＋1－3

t

＋3｜＝2，解得

t

＝1或

t

＝3.②存在.理由如下：當

t

＜2時，

BQ

＝

BC

，可得點

Q

的坐標為（0，－3）；當

t

＝2時，△

AQC

不存在；當

t

＞2時，

CQ

＝2

BC

，所以點

Q

的縱坐標為9.當

y

＝9時，9＝3

x

－3，解得

x

＝4.所以點

Q

的坐標為（4，9）.綜上所述，存在點

Q

，使得

S△

AQC

＝2

S△

ABC

，點

Q

的坐標為

（0，－3）或（4，9）.【點撥】在涉及面積問題時要結合圖形具體分析，這樣考慮更

全面，解題更簡單.

如圖，在平面直角坐標系中，已知點

O

為坐標原點，直線

AB

分

別與

x

軸、

y

軸交于點

A

（5，0），

B

（0，5），動點

P

的坐標

為（

a

，

a

－1）.（1）求直線

AB

的函數表達式；解：（1）設直線

AB

的函數表達式為

y

＝

kx

＋

b

（

k

≠0）.由題意，得

b

＝5，5

k

＋

b

＝0.所以

k

＝－1.所以直線

AB

的函數表達式為

y

＝－

x

＋5.

答圖（2）連接

AP

，若直線

AP

將△

AOB

的面積分成相等的兩部分，

求此時點

P

的坐標.

類型三

一次函數圖象的平移問題

已知一次函數

y

＝

kx

＋

b

（

k

，

b

為常數，且

k

≠0）的圖象

過點（3，2）和（0，－4），交

x

軸于點

A

，交

y

軸于點

B

.

（1）求一次函數的表達式.（2）規定：橫、縱坐標都為整數的點為整點；該一次函數的圖

象與

y

＝

x

的圖象及

y

軸圍成的區域（不含邊界）稱為區域

W

.

①求區域

W

中整點的個數；②將一次函數

y

＝

kx

＋

b

的圖象至少向上平移多少個單位長度，

才能使得區域

W

中整點的個數為0？【思路導航】（1）根據待定系數法可以求得該函數的表達式；

（2）①求兩直線的交點坐標，分析可得整點的個數；②設出平

移后的直線的表達式，把對應點代入后求得平移的距離.解：（1）根據題意，得

b

＝－4，3

k

＋

b

＝2.所以

k

＝2.所以一次函數的表達式為

y

＝2

x

－4.（2）①令2

x

－4＝

x

，解得

x

＝4.當

x

＝4時，

y

＝4.所以兩直線的交點坐標為（4，4）.畫出函數

y

＝

x

和

y

＝2

x

－4的圖象如圖所示.分析可知區域

W

內的整點有（1，－1），（1，0），（2，1），共3個.故區域

W

內的整點有3個.②當平移后的直線經過點（1，0）時，區域

W

內有0個整點.設平移后的直線的函數表達式為

y

＝2

x

＋

n

.把（1，0）代入，得0＝2＋

n

，解得

n

＝－2.所以－2－（－4）＝2.所以將一次函數

y

＝

kx

＋

b

的圖象至少向上平移2個單位長度，

才能使得區域

W

中整點的個數為0.【點撥】對于此類題目通常需要結合圖象進行解題，所以準確

作出圖象是解題的關鍵.

（2）當

x

≥－4時，對于

x

的每一個值，函數

y

＝

mx

（

m

≠0）

的值都大于一次函數

y

＝

kx

＋

b

的值，求

m

的取值范圍.

類型四

一次函數與圖形的綜合問題

如圖1，已知直線

AB

分別交平面直角坐標系中

x

軸和

y

軸于

A

，

B

兩點，點

A

的坐標為（－3，0），點

B

的坐標為（0，6），點

C

在直線

AB

上，且點

C

的坐標為（－

a

，

a

）.（1）求直線

AB

的函數表達式和點

C

的坐標；（2）點

D

是

x

軸上的一動點，當

S△

AOB

＝

S△

ACD

時，求點

D

的坐標；（3）如圖2，點

E

坐標為（0，－1），連接

CE

，點

P

為直線

AB

上一點，且∠

CEP

＝45°，求點

P

的坐標.圖1圖2備用圖【思路導航】（1）求出直線

AB

的函數表達式，再將點

C

（－

a

，

a

）代入表達式即可求出點

C

的坐標；（2）求出

AD

，即可

求得點

D

的坐標；（3）分兩種情況討論：①當點

P

在射線

CB

上時，②當點

P

在射線

CA

上時分別求出點

P

的坐標.解：（1）設直線

AB

的函數表達式為

y

＝

kx

＋

b

（

k

≠0）.因為

A

（－3，0），

B

（0，6），所以

b

＝6，－3

k

＋

b

＝0.所以

k

＝2.所以直線

AB

的函數表達式為

y

＝2

x

＋6.因為點

C

（－

a

，

a

）在直線

AB

上，所以

a

＝－2

a

＋6，解得

a

＝2.所以點

C

的坐標為（－2，2）.

（3）①如圖1，當點

P

在射線

CB

上時，過點

C

作

CF

⊥

CE

交直

線

EP

于點

F

.

因為∠

CEF

＝45°，所以

CE

＝

CF

.

過點

C

作

x

軸的垂線

l

，分別過點

F

，

E

作

FM

⊥

l

，

EN

⊥

l

，所以∠

FMC

＝∠

CNE

＝90°，∠

MCF

＋∠

MFC

＝90°.因為

CF

⊥

CE

，因為∠

MCF

＋∠

NCE

＝90°.所以∠

MFC

＝∠

NCE

.

所以△

FMC

≌△

CNE

（AAS）.圖1所以

FM

＝

CN

＝3，

CM

＝

EN

＝2，即點

F

的坐標為（1，4）.設直線

EF

的函數表達式為

y

＝

mx

＋

n

（

m

≠0），由題意，得

n

＝－1，

m

＋

n

＝4.所以

m

＝5.所以直線

EF

的函數表達式為

y

＝5

x

－1.

②如圖2，當點

P

在射線

CA

上時，過點

C

作

CH

⊥

PE

交直線

PE

于點

H

，過點

H

作

HK

⊥

y

軸于點

K

，過點

H

作

GH

⊥

x

軸，過點

C

作

CG

⊥

GH

于點

G

.

因為∠

GHK

＝∠

CHE

＝90°，所以∠

CHG

＋∠

CHK

＝∠

CHK

＋∠

EHK

.

所以∠

CHG

＝∠

EHK

.

因為∠

CEP

＝45°，所以

CH

＝

HE

.

所以△

CHG

≌△

EHK

（AAS）.圖2

【點撥】本題是一次函數的綜合題，熟練掌握一次函數的圖象

及性質，三角形全等的判定及性質是解題的關鍵.

如圖，直線

AB

：

y

＝

x

－2與

x

軸交于點

A

，與

y

軸交于點

B

，點

C

是線段

AB

上一點（不與點

A