關(guān)于行列式的性質(zhì)行列式展開一、行列式的性質(zhì)2、性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.1、記第2頁,共61頁，星期六，2024年，5月例如：對(duì)這個(gè)行列式進(jìn)行轉(zhuǎn)置第3頁,共61頁，星期六，2024年，5月3、性質(zhì)2

互換行列式的兩行(列),行列式變號(hào).互換行列式的二、三行例4、推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有第4頁,共61頁，星期六，2024年，5月5、性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.即行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．第5頁,共61頁，星期六，2024年，5月6、性質(zhì)4

行列式中如果有兩行(列)元素成比例，則此行列式為零．證明第6頁,共61頁，星期六，2024年，5月7、性質(zhì)5

若行列式的某一列(行)的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個(gè)行列式之和：例如第7頁,共61頁，星期六，2024年，5月8、性質(zhì)6

把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數(shù)后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如第8頁,共61頁，星期六，2024年，5月例2.1二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為三角形行列式，從而算得行列式的值．

方法二：三角形法第9頁,共61頁，星期六，2024年，5月解第10頁,共61頁，星期六，2024年，5月第11頁,共61頁，星期六，2024年，5月第12頁,共61頁，星期六，2024年，5月第13頁,共61頁，星期六，2024年，5月第14頁,共61頁，星期六，2024年，5月例2.2

計(jì)算n階行列式解:將第都加到第一列得技巧1：行和相同，全部加到某一列第15頁,共61頁，星期六，2024年，5月技巧2:相同元素很多，化0（或者化為三角形）.第16頁,共61頁，星期六，2024年，5月例2.3計(jì)算第17頁,共61頁，星期六，2024年，5月解第18頁,共61頁，星期六，2024年，5月提取第一列的公因子，得第19頁,共61頁，星期六，2024年，5月第20頁,共61頁，星期六，2024年，5月

評(píng)注本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式．化零時(shí)一般盡量選含有１的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有１，則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到化為三角形行列式之目的．第21頁,共61頁，星期六，2024年，5月(行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立).

計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．三、小結(jié)行列式的6個(gè)性質(zhì)第22頁,共61頁，星期六，2024年，5月§1.4行列式按行(列)展開一、余子式與代數(shù)余子式二、行列式按行(列)展開法則三、關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)四、行列式的計(jì)算方法小結(jié)五、思考與練習(xí)題第23頁,共61頁，星期六，2024年，5月例如一、余子式與代數(shù)余子式第24頁,共61頁，星期六，2024年，5月在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如第25頁,共61頁，星期六，2024年，5月第26頁,共61頁，星期六，2024年，5月引理一個(gè)階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如第27頁,共61頁，星期六，2024年，5月性質(zhì)３行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即證二、行列式按行（列）展開法則第28頁,共61頁，星期六，2024年，5月第29頁,共61頁，星期六，2024年，5月例3.1方法三：用降階法第30頁,共61頁，星期六，2024年，5月第31頁,共61頁，星期六，2024年，5月例3.2計(jì)算解第32頁,共61頁，星期六，2024年，5月第33頁,共61頁，星期六，2024年，5月第34頁,共61頁，星期六，2024年，5月第35頁,共61頁，星期六，2024年，5月

評(píng)注本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個(gè)非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低1階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接計(jì)算出來為止（一般展開成二階行列式）．這種方法對(duì)階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用．第36頁,共61頁，星期六，2024年，5月方法四:用數(shù)學(xué)歸納法例4.1證明第37頁,共61頁，星期六，2024年，5月證對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法第38頁,共61頁，星期六，2024年，5月第39頁,共61頁，星期六，2024年，5月評(píng)注第40頁,共61頁，星期六，2024年，5月

證用數(shù)學(xué)歸納法例4.2證明范德蒙(Vandermonde)行列式數(shù)學(xué)歸納法第41頁,共61頁，星期六，2024年，5月第42頁,共61頁，星期六，2024年，5月n-1階范德蒙行列式第43頁,共61頁，星期六，2024年，5月推論

行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即第44頁,共61頁，星期六，2024年，5月三、關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)第45頁,共61頁，星期六，2024年，5月方法五:利用范德蒙行列式計(jì)算例5計(jì)算利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。第46頁,共61頁，星期六，2024年，5月解第47頁,共61頁，星期六，2024年，5月上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知第48頁,共61頁，星期六，2024年，5月

評(píng)注本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式．第49頁,共61頁，星期六，2024年，5月例6

計(jì)算

階行列式解：先將

添上一行一列，變成下面的

階行列式方法六：加邊法第50頁,共61頁，星期六，2024年，5月顯然,將的第一行乘以

后加到其余各行，得注意：此為爪形行列式，記住解此行列式的方法。因,將第列的倍加到第一列,得第51頁,共61頁，星期六，2024年，5月注：此題也可不加邊，直接利用倍加及爪形行列式方法第52頁,共61頁，星期六，2024年，5月例7證明:第53頁,共61頁，星期六，2024年，5月證明:第54頁,共61頁，星期六，2024年，5月第55頁,共61頁，星期六，2024年，5月

四、行列式的計(jì)算方法小結(jié)(3)降階法(參見例3.1，例3.2)(最常用)(2)三角形法(參見例2.1，例2.2)

利用行列式的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算把行列式化為上（下）三角形行列式，從而算得行列式的值．(4)數(shù)學(xué)歸納法(參見例4.1,例4.2)(5)利用范德蒙行列式(參見例5)(6)加邊法(參見例6)(7)遞推法(參見課本例1.17)(1)用行列式的逆序數(shù)定義計(jì)算（證明）第56頁,共61頁，星期六，2024年，5月計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用．在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在