八年級上冊數學《第十三章軸對稱》13.3等腰三角形13.3.4課題學習最短路徑問題知識點知識點最短路徑問題★★兩點一線型類型問題作法圖例原理兩點一線型點在直線異側在直線l上求一點P,使PA+PB的值最小.連接AB，與直線l的交點即為點P.PA+PB的最小值為線段AB的長.兩點之間，線段最短.點在直線同側(將軍飲馬問題)在直線l上求一點P,使PA+PB的值最小.作點B關于直線l的對稱點B',連接AB',與直線l的交點即為點P.PA+PB的最小值為線段AB'的長.兩點之間，線段最短.★★兩線一點型類型問題作法圖例原理兩線一點型在直線l?,l?上分別求點M,N,使△PMN的周長最小.分別作點P關于直線l?,l?的對稱點P'和P",連接P'P",與l?,l?的交點即為點M,N.PM+MN+PN的最小值為線段P'P"的長.兩點之間，線段最短.★★兩線兩點型類型問題作法圖例原理兩線兩點型在直線l?,l?上分別求點M,N,使四邊形PQMN的周長最小.作點Q關于直線l?,的對稱點Q',作點P關于直線l?的對稱點P',連接Q'P',與l?,l?的交點即為點M,N.MQ+QP+PN+MN的最小值為P'Q'+QP的值.兩點之間，線段最短.★★造橋選址問題類型問題作法圖例原理造橋選址問題已知兩點A,B,直線m∥n,在直線m，n上分別取點M,N,使MN⊥m,且AM+MN+BN的值最小.將點A向下平移至點A',使AA'的長等于直線m,n之間的距離，連接A'B,交直線n于點N,過點N作MN⊥m,交直線m于點M,連接AM.AM+MN+BN的最小值為A'B+MN的值.兩點之間，線段最短.題型一利用軸對稱解決最短路徑問題---兩點一線題型一利用軸對稱解決最短路徑問題---兩點一線【例題1】（2023春?鹽湖區期末）小王準備在紅旗街道旁建一個送奶站，向居民區A，B提供牛奶，要使A，B兩小區到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應該在（）A． B． C． D．【分析】本題利用軸對稱的性質，將折線最短問題轉化為兩點之間，線段最短問題，結合三角形的三邊關系解題即可．【解答】解：如圖：作點A關于街道的對稱點A′，連接A′B交街道所在直線于點C，∴A′C＝AC，∴AC+BC＝A′B，在街道上任取除點C以外的一點C′，連接A′C′，BC′，AC′，∴AC′+BC′＝A′C′+BC′，在△A′C′B中，兩邊之和大于第三邊，∴A′C′+BC′＞A′B，∴AC′+BC′＞AC+BC，∴點C到兩小區送奶站距離之和最小．故選：C．【點評】本題考查軸對稱﹣最短路線的問題，將折線最短問題轉化為兩點之間，線段最短問題．會作對稱點是解此類問題的基礎，要求學生能熟練掌握，并熟練應用．另外本題的解決還應用了三角形的三邊關系：三角形的兩邊之和大于第三邊．本題還會有變式：請你找出點C的位置．【變式1-1】如圖，A、B兩村和一條小河，要在河邊L建一水廠Q向兩村供水，若要使自來水廠到兩村的輸水管用料最省，廠址Q應選在哪個位置？請將上述情況下的自來水廠廠址標出，并保留作圖痕跡．【分析】作出點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B，交直線l于點Q，AQ+QB使自來水廠到兩村的輸水管用料最省，點Q為所求的點．【解答】解：如圖所示：做出點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B，交直線l于點Q，此時AQ+QB最短，則Q為所求的點．【點評】此題考查了軸對稱﹣最短線路問題，作圖﹣應用與設計作圖，熟練掌握對稱的性質是解本題的關鍵．【變式1-2】（2023春?阜新期中）如圖，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點P是直線m上的一動點．若AB＝5，AC＝4，BC＝6，則△APC周長的最小值是（）A．9 B．10 C．10.5 D．11【分析】根據垂直平分線的性質得BP＝PC，所以△APC周長＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP≥AC+AB＝9．【解答】解：∵直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，∴BP＝PC∴△APC周長＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP∵兩點之間線段最短∴AP+BP≥AB∴△APC的周長＝AC+AP+BP≥AC+AB∵AC＝4，AB＝5∴△APC周長最小為AC+AB＝9故選：A．【點評】本題主要考查線段垂直平分線的性質定理，以及兩點之間線段最短．做本題的關鍵是能得出AP+BP≥AB，做此類題的關鍵在于能根據題設中的已知條件，聯系相關定理得出結論，再根據結論進行推論．【變式1-3】（2022秋?德州期末）如圖：等腰△ABC的底邊BC長為6，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F點．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（）A．6 B．8 C．9 D．10【分析】連接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據三角形的面積公式求出AD的長，再根據EF是線段AC的垂直平分線可知，點A關于直線EF的對稱點為點C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結論．【解答】解：連接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC?AD=12×∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點A關于直線EF的對稱點為點C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短＝（CM+MD）+CD＝AD+12BC＝6故選：C．【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵．【變式1-4】（2023春?鹽田區期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D，E分別是BC，AC邊的中點，連接AD，點P是AD上一動點，若AD＝8，則PC+PE的最小值是（）A．2 B．4 C．8 D．16【分析】連接PB，BE，由等邊三角形的對稱性可知PB＝PC，有將軍飲馬模型知PC+PE的最小值為BE的長，由等邊三角形的性質知BE＝AD，從而得出PC+PE的最小值．【解答】解：連接PB，BE，∵△ABC是等邊三角形，D是BC邊的中點，∴AD所在直線是△ABC的對稱軸，∴PB＝PC，∴PC+PE＝PB+PE≥BE，∴PC+PE的最小值為BE的長，∵D，E分別是等邊三角形ABC的BC，AC邊的中點，∴BE＝AD＝8，∴PC+PE的最小值是8，故選：C．【點評】本題考查軸對稱﹣最短路線問題，等邊三角形的性質，用一條線段表示出兩線段的和是解題的關鍵．【變式1-5】（2022秋?宜春期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB邊的垂直平分線DE交AB于點D，若AE＝3，（1）求BC的長；（2）若點P是直線DE上的動點，直接寫出PA+PC的最小值為．【分析】（1）根據垂直平分線的性質可證△ABE為等腰三角形，由角度可證△ACE為30°直角三角形，再由線段之間的關系即可求出BC的長；（2）根據將軍飲馬原理即可得出PA+PC的最小值為BC的長度．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B=∠C=1∵AB邊的垂直平分線交AB于點D，∴BE＝AE＝3，∴∠BAE＝∠B＝30°，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CAE中，∠C＝30°，∴CE＝2AE＝6，∴BC＝BE+CE＝3+6＝9；（2）如圖，取點A關于直線DE的對稱點，即點B，∵PA＝PB，∴PA+PC＝PB+PC，根據兩點之間線段最短，則BC即為PA+PC的最小值，最小值為9．【點評】本題考查了圖形的軸對稱，相關知識點有：垂直平分線的性質、將軍飲馬等，軸對稱性質的充分利用是解題關鍵．【變式1-6】（2022秋?路北區校級期末）如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交AC于點M，連接MB．（1）若∠ABC＝65°，則∠NMA的度數是度；（2）若AB＝9cm，△MBC的周長是16cm，①求BC的長度；②若點P為直線MN上一點，請你直接寫出△PBC周長的最小值．【分析】（1）根據垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等得AM＝BM，再根據等腰三角形的性質即可求解；（2）①根據垂直平分線的性質得AM＝BM，△MBC的周長是18cm．AC＝AB＝9cm，即可求BC的長度；②依據PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，即可得到當P與M重合時，PA+PC＝AC，此時PB+PC最小，進而得出△PBC的周長最小值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C∵∠ABC＝65°，∴∠C＝65°，∴∠A＝50°，∵MN是AB的垂直平分線，∴AM＝BM，∴∠A＝∠ABM＝50°，∴∠MBC＝∠ABC﹣∠ABM＝15°，∴∠AMB＝∠MBC+∠C＝80°，∴∠NMA=1故答案為：40°；（2）①∵AB＝AC＝9cm，△MBC的周長是16cm，即BM+MC+BC＝16cm，∵AM＝BM，∴AM+MC+BC＝16cm，∴AC+BC＝16cm，∴BC＝7cm．∴BC的長度為7cm．②當P與M重合時，△PBC的周長最?。碛桑骸逷B+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，∴當P與M重合時，PA+PC＝AC，此時PB+PC最小值等于AC的長，∴△PBC的周長最小值＝AC+BC＝9+7＝16（cm）．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，解決本題的關鍵是掌握線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質．題型二利用軸對稱解決最短路徑問題---兩線一點題型二利用軸對稱解決最短路徑問題---兩線一點【例題2】為了保證春節期間的安全出行，某交警執勤小隊需要在如圖所示的OM和ON兩條公路設卡檢查，計劃是先從A地到公路OM上設卡檢查，然后再去公路ON上設卡檢查，最后回到A地，請你為執勤小隊規劃路線，使得所走路程最短．【分析】作點A關于OM，ON的對稱點A′，A″，連接A′A″交OM于點E，交ON于點F，連接AE，AF，線路A→E→F→A最短．【解答】解：如圖，最短的線路為A→E→F→A．【點評】本題考查軸對稱最短問題，解題的關鍵是理解題意，學會利用軸對稱解決最短問題．【變式2-1】如圖所示，P為△BOA內任一點，在OB上找一點M，在OA上找一點N，使得△PMN的周長最短．【分析】作點P關于OA、OB的對稱點P''、P'，連接P'P''，分別交OA、OB于點N、M，即M、N為所求．此時△PMN的周長最短．【解答】解：如圖．作點P關于OA、OB的對稱點P''、P'，連接P'P''，分別交OA、OB于點N、M，即M、N為所求．此時△PMN的周長為PM+PN+MN＝P''N+MN+P'M≥P'P''，即最小值為P'P''的長度．【點評】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握兩點間線段最短是解題的關鍵．【變式2-2】（2022秋?大連期末）如圖，∠AOB＝30°，點D是它內部一點，OD＝m．點E，F分別是OA，OB上的兩個動點，則△DEF周長的最小值為（）A．0.5m B．m C．1.5m D．2m【分析】作D點關于AO的對稱點G，作D點關于OC的對稱點H，連接GH交AO于點E，交OC于點F，連接GO，OH，此時△DEF的周長最小，最小值為GH，證明△GOH是等邊三角形，即可求解．【解答】解：作D點關于AO的對稱點G，作D點關于OC的對稱點H，連接GH交AO于點E，交OC于點F，連接GO，OH，由對稱性可知，GE＝ED，DF＝FH，OG＝OD＝OH，∴ED+DF+EF＝GE+EF+FH＝GH，此時△DEF的周長最小，最小值為GH，∵∠GOA＝∠AOD，∠DOC＝∠COH，∴∠GOH＝2∠AOC，∵∠AOC＝30°，∴∠GOH＝60°，∴△GOH是等邊三角形，∴GH＝OD，∵DO＝m，∴△DEF周長的最小值為m，故選：B．【點評】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，軸對稱的性質，等邊三角形的性質是解題的關鍵．【變式2-3】如圖．已知△ABC．∠ACB＝30°，CP為∠ACB的平分線，且CP＝6，點M、N分別是邊AC和BC上的動點，則△PMN周長的最小值為（）A．4 B．6 C．63 D．10【分析】作點P關于AC的對稱點E，點P關于BC的對稱點F，連接EF交AC于M，交BC于N，連接CE、CF．此時△PMN的周長最?。窘獯稹拷猓鹤鼽cP關于AC的對稱點E，點P關于BC的對稱點F，連接EF交AC于M，交BC于N，連接CE、CF．此時△PMN的周長最?。蓪ΨQ的性質可知，∠ACP＝∠ACE，∠PCB＝∠BCF，CP＝CE＝CF＝6，∵∠ACB＝30°，∴∠ECF＝60°，∴△CEF是等邊三角形，∴EF＝CE＝6，∴△PMN的周長的最小值＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF＝6，故選：B．【點評】本題考查軸對稱﹣最短問題、等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．【變式2-4】（2022秋?烏魯木齊期末）如圖，在銳角△ABC中，∠C＝40°；點P是邊AB上的一個定點，點M、N分別是AC和BC邊上的動點，當△PMN的周長最小時，∠MPN的度數是（）A．90° B．100° C．110° D．80°【分析】分別作P關于BC，AC的對稱點E，D，連接DE，交AC于M，交BC于N，此時△MNP的周長最小，由條件求出∠DPE的度數，由軸對稱的性質，等腰三角形的性質得到∠MPD+∠NPE＝∠D+∠E＝40°，從而求出∠MPN的度數．【解答】解：分別作P關于BC，AC的對稱點E，D，連接DE，交AC于M，交BC于N，此時△MNP的周長最小，∵∠PHM＝∠PGN＝90°，∠C＝40°，∴∠DPE＝360°﹣∠PHM﹣∠PGN﹣∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠D+∠E＝180°﹣∠DPE＝180°﹣140°＝40°，∵PM＝DM，NP＝NE，∴∠MPD＝∠D，∠NPE＝∠E，∴∠MPD+∠NPE＝∠D+∠E＝40°，∴∠MPN＝∠DPE﹣（∠MPD+∠NPE）＝140°﹣40°＝100°．故選：B．【點評】本題考查軸對稱的性質，關鍵是分別作P關于BC，AC的對稱點E，D，連接DE，交AC于M，交BC于N，找到周長最小的△PMN．【變式2-5】（2023春?敘州區期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，當△AMN周長最小時，則∠MAN的度數為（）A．12a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a【分析】延長AB到A′使得BA′＝AB，延長AD到A″使得DA″＝AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點M、N，此時△AMN周長最小，推出∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），進而得出∠MAN的度數．【解答】解：延長AB到A′使得BA′＝AB，延長AD到A″使得DA″＝AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′關于BC對稱，A、A″關于CD對稱，此時△AMN的周長最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝a，∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，故選：B．【點評】本題考查對稱的性質、線段垂直平分線的性質、三角形內角和定理等知識，利用對稱作輔助線是解決最短的關鍵．題型三利用軸對稱解決最短路徑問題---兩線兩點題型三利用軸對稱解決最短路徑問題---兩線兩點【例題3】（2022秋?臨洮縣期中）如圖，AB是∠MON內部的一條線段，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點C，D組成四邊形ABDC，如何取點才能使該四邊形的周長最??？【分析】作A關于OM的對稱點E，再作B關于ON的對稱點F，連接EF交OM于C，交ON于D，連接AC，CD，BD，根據兩點之間線段最短即可得到四邊形ABCD即為所求．【解答】解：作A關于OM的對稱點E，再作B關于ON的對稱點F，連接EF交OM于C，交ON于D，連接AC，CD，BD，則四邊形ABCD即為所求．【點評】此題考查了軸對稱﹣﹣﹣最短路徑問題，兩點之間的距離，線段最短．作出A關于OM、ON的對稱點，根據軸對稱的性質將四邊形周長最小值問題轉化為線段長度問題是解題的關鍵．【變式3-1】如圖，為了做好2013年沈陽全運會起降的交通安全工作，某交警執勤小隊從A處出發，先到公路l1上設卡檢查，再到公路l2上設卡檢查，最后再到B地執行任務，他們應如何走才能使總路程最短？【分析】根據軸對稱確定最短路線問題，作A關于公路l1的對稱點A′，作B關于公路l2的對稱點B′，連接A′B′與公路l1、l2分別相交于點C、D，然后沿A→C→D→B走才能使總路程最短．【解答】解：如圖所示，交警小隊沿A→C→D→B走才能使總路程最短．【點評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，應用與設計作圖，此類問題的求解方法比較單一，需熟記．【變式3-2】城北中學八（2）班舉行文藝晚會，桌子擺成兩直條（如圖中的AO，BO），AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學生小明先到AO桌面上拿桔子，再到OB桌面上拿糖果，然后回到D處座位上，請你幫助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短．【分析】作點C關于直線AO的對稱點C′，點D關于直線OB的對稱點D′，連接C′D′交AO于M，交OB于N，則路線CM→MN→ND即為所求．【解答】解：如圖所示，小明所走的行走路線為：CM→MN→ND，所走的總路程最短．【點評】本題考查了軸對稱-最短路線問題，作圖-應用與設計作圖，首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結合對應幾何圖形的性質和基本作圖的方法作圖．解題的關鍵是利用了軸對稱的性質，兩點之間線段最短的性質求解．題型四利用平移解決最短路徑問題題型四利用平移解決最短路徑問題【例題4】如圖，平行河岸兩側各有一城鎮P，Q，根據發展規劃，要修建一條公路連接P，Q兩鎮．已知相同長度造橋總價遠大于陸上公路造價，為了盡量減少總造價，應該選擇方案（）A． B． C． D．【分析】雖然P，Q兩點在河兩側，但連接P，Q的線段不垂直于河岸．關鍵在于使PM+NQ最短，但PM與QN未連起來，要用線段公理就要想辦法使M與N重合起來，利用平行四邊形的特征可以實現這一目的．【解答】解：如圖，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河寬，連接QP′，與河岸L相交于N，作NM⊥L，則MN∥PP′且MN＝PP′，于是四邊形PMNP′為平行四邊形，故PM＝NP′．根據“兩點之間線段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．觀察選項，選項C符合題意．故選：C．【點評】考查了軸對稱﹣最短路徑問題，要利用“兩點之間線段最短”，但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉化，即用與它相等的線段替代，從而轉化成兩點之間線段最短的問題．目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關知識進行轉化，以后還會學習一些線段轉化的方法．【變式4-1】（2022秋?潛江期末）如圖，直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2．現要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊P經橋過河到村莊Q的路程最短，應該選擇路線（）A．路線：PF→FQ B．路線：PE→EQ C．路線：PE→EF→FQ D．路線：PE→EF→FQ【分析】根據兩點間直線距離最短，使FEPP′為平行四邊形即可，即PP′垂直河岸且等于河寬，接連P′Q即可．【解答】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河寬，連接QP′，與另一條河岸相交于F，作FE⊥直線l1于點E，則EF∥PP′且EF＝PP′，于是四邊形FEPP′為平行四邊形，故P′F＝PE，根據“兩點之間線段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短．故C選項符合題意，故選：C．【點評】此題考查了軸對稱﹣最短路徑問題，要利用“兩點之間線段最短”，但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉化，即用與它相等的線段替代，從而轉化成兩點之間線段最短的問題．目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關知識進行轉化．【變式4-2】如圖直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2，現要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），橋建在何處才能使從村莊A經過河到村莊B的路線最短？畫出示意圖，并說明理由．【分析】先確定AA′與河等寬，且AA′⊥河岸，連接BA′，與河岸的交點就是點C，過點C作CD垂直河岸，交另一河岸于點D，即可得出答案．【解答】解：如圖，先確定AA′與河等寬，且AA′⊥河岸，連接BA′，與河岸的交點就是點C，過點C作CD垂直河岸，交另一河岸于點D，CD就是所求的橋的位置．理由：由作圖過程可知，四邊形ADCA′為平行四邊形，AD平移至A′C即可得到線段A′B，兩點之間，線段最短，由于河寬不變，CD即為橋．【點評】本題考查的是作圖﹣平移變換以及利用軸對稱解決最短路徑問題，熟知圖形平移不變性的性質是解答此題的關鍵．題型五利用軸對稱與垂線段的有關知識解決最值問題題型五利用軸對稱與垂線段的有關知識解決最值問題【例題5】（2023?明水縣模擬）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分線交BC于點D，M，N分別是AD和AB上的動點，當BM+MN取得最小值時，AN＝（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】作B點關于AD的對稱點E，過E點作EN⊥AB交AB于點N，交AD于CM于點M，連結BM，此時BM+MN的值最小，在Rt△ABE中，求出AN即可．【解答】解：作B點關于AD的對稱點E，過E點作EN⊥AB交AB于點N，交AD于CM于點M，連結BM，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴E點在AC上，∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此時BM+MN的值最小，由對稱性可知，AE＝AB，∵AB＝4，∴AE＝4，在Rt△ABE中，∠EAN＝60°，∴∠AEN＝30°，∴AN＝2，故選：A．【點評】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法是解題的關鍵．【變式5-1】（2022秋?無為市期末）如圖，等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，且AD＝4，E，P分別是AC，AD上的動點，則CP+EP的最小值等于（）A．4 B．6 C．8 D．9【分析】過點B作BM⊥AC于M，根據等腰三角形三線合一性質推出BP＝CP，根據垂線段最短得，CP+EP＝BP+EP＝BE≥BM，再通過等面積法即可求解．【解答】解：如圖，過點B作BM⊥AC于M，∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線，∴點B、C關于AD對稱，∴BP＝CP，根據垂線段最短得，CP+EP＝BP+EP＝BE≥BM，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∵S△ABC=∴BM＝AD＝4，即CP+EP的最小值等于4，故選：A．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，正確作出輔助線，將CP+EP的最小值轉化為求BM的長是解題的關鍵．【變式5-2】（2023春?市中區期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（）A．2.4 B．4.8 C．4 D．5【分析】過點C作CM⊥AB交AB于點M，交AD于點P，過點P作PQ⊥AC于點Q，由AD是∠BAC的平分線．得出PQ＝PM，這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，運用勾股定理求出AB，再運用S△ABC=12AB?CM=12AC?BC，得出CM的值，即【解答】解：如圖，過點C作CM⊥AB交AB于點M，交AD于點P，過點P作PQ⊥AC于點Q，∵AD是∠BAC的平分線．∴PQ＝PM，這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，∵S△ABC=12AB?CM=12∴CM=AC?BC即PC+PQ的最小值為245故選：B．【點評】本題主要考查了軸對稱問題，解題的關鍵是找出滿足PC+PQ有最小值時點P和Q的位置．【變式5-3】（2023春?和平區期末）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，點E、F分別是AD、AB上的動點，若∠BAC＝50°，當BE+EF的值最小時，∠AEB的度數為（）A．105° B．115° C．120° D．130°【分析】過點B作BB′⊥AD于點G，交AC于點B′，過點B′作B′F′⊥AB于點F′，與AD交于點E′，連接BE′，可證得△ABG≌△AB′G（ASA），所以∠E′B′G＝∠E′BG，由“直角三角形兩銳角互余”可得∠AB′F′＝40°＝∠ABE，所以∠BE′F′＝50°，由此可得結論．【解答】解：過點B作BB′⊥AD于點G，交AC于點B′，過點B′作B′F′⊥AB于點F′，與AD交于點E′，連接BE′，如圖，此時BE+EF最小．∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∴∠AE′F′＝65°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，∵AG＝AG，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，∴∠E′B′G＝∠E′BG，∵∠BAC＝50°，∴∠AB′F′＝40°，∴∠ABE＝40°，∴∠BE′F′＝50°，∴∠AE′B＝115°．故選：B．【點評】本題主要考查全等三角形的性質與判定，軸對稱最值問題，直角三角形的性質等知識，根據軸對稱最值問題作出輔助線是解題關鍵．【變式5-4】（2023?城廂區校級開學）如圖，點M在等邊△ABC的邊BC上，BM＝8，射線CD⊥BC垂足為點C，點P是射線CD上一動點，點N是線段AB上一動點，當MP+NP的值最小時，BN＝9，則AC的長為（）A．13 B．15 C．16 D．17【分析】作點M關于直線CD的對稱點G，過點G作GN⊥AB于點N，GN交CD于點P，由垂線段最短可知MP+NP的最小值為GP+NP＝NG，再根據含30°角的直角三角形性質求解即可．【解答】解：如圖，作點M關于直線CD的對稱點G，過點G作GN⊥AB于點N，GN交CD于點P，∴MP＝GP，∵GN⊥AB，∴MP+NP＝GP+NP，由垂線段最短可知，MP+NP的最小值為NG，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，∵GN⊥AB，∴∠BNC＝90°，∴∠G＝30°，∵BN＝9，∴BG＝2BN＝18，∴MG＝BG﹣BM＝10，∴MC=12∴BC＝BM+MC＝13＝AC．故選：A．【點評】本題主要考查軸對稱﹣最短路線問題、等邊三角形的性質、含30°角的直角三角形性質，解題關鍵是作出其中一點關于直線l的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線l的交點就是所要找的點．題型六與最短路徑有關的綜合問題題型六與最短路徑有關的綜合問題【例題6】（2022秋?安順期末）如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC邊上的中線，點E是AB邊上一動點，點P是AD上的一個動點．（1）若∠BAD＝37°，求∠ACB的度數；（2）若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB時，求CE的長；（3）在（2）的條件下，請直接寫出BP+EP的最小值．【分析】（1）利用等腰三角形的性質以及三角形內角和定理即可解決問題．（2）利用面積法即可解決問題．（3）連接PC，把問題轉化為兩點之間線段最短．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵AD是BC邊上的中線，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝37°，∴∠ABC＝53°，∴∠ACB＝53°．（2）∵CE⊥AB，∴12?BC?AD=12?AB∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，∴CE=24（3）連接PC．∵AD垂直平分線段BC，∴PB＝PC．∴PB+PE＝PE+PC≥CE，∴PE+PB的最小值為245【點評】本題考查軸對稱﹣最短問題，等腰三角形的性質，點到直線的距離垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題．【變式6-1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，EF垂直平分AC，交AC于點E，交AB于點F，M是直線EF上的動點．（1）當MD⊥BC時．①若ME＝1，則點M到AB的距離為；②若∠CMD＝30°，CD＝3，求△BCM的周長；（2）若BC＝8，且△ABC的面積為40，則△CDM的周長的最小值為．【分析】（1）①由題意可知A、M、D共線，則AD是△ABC的對稱軸，由對稱性即可求解；②由題意可知MB＝MC，MD平分∠BMC，可判斷△BCM是等邊三角形，再求解即可；（2）連接AD交EF于點M，此時△CMD的值最小，最小值為AD+CD．【解答】解：（1）①∵MD⊥BC，AB＝AC，D是BC的中點，∴A、M、D共線，∴AD是△ABC的對稱軸，∵ME＝1，∴點M到AB的距離為1，故答案為：1；②∵D是BC的中點，MD⊥BC，∴MB＝MC，∴MD平分∠BMC，∴∠BMC＝2∠CMD＝60°，∴△BCM是等邊三角形，∴BC＝BM＝MC，∵D是BC的中點，∴BC＝2CD＝6，∴BM＝MC＝BC＝6，∴△BCM的周長為BC+BM+MC＝18；（2）連接AD交EF于點M，∵EF是AC的垂直平分線，∴AM＝CM，∴CM+MD＝AM+MD＝AD，此時△CMD的值最小，最小值為AD+CD，∵BC＝8，△ABC的面積為40，∴AD＝10，∵D是BC的中點，∴CD＝4，∴AD+CD＝14，∴△CMD的周長最小值為14，故答案為：14．【點評】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．【變式6-2】如圖，∠MON＝60°，點A、B分別是射線OM、射線ON上的動點，連接AB，∠MAB的角平分線與∠NBA的角平分線交于點P．（1）當OA＝OB時，求證：AP∥OB；（2）在點A、B運動的過程中，∠P的大小是否發生改變？若不改變，請求出∠P的度數；若改變請說明理由；（3）連接OP，C是線段OP上的動點，D是線段OA上的動點，當S△OAB＝12，OB＝6時，求AC+CD的最小值．【分析】（1）首先證明△ABO是等邊三角形，再證明∠PAB＝∠ABO＝60°，可得結論．（2）如圖2中，∠P的大小不變，∠P＝60°．求出∠PAB+∠PBA的大小，可得結論．（3）如圖3中，過點A作AH⊥OB于H，過點P作PJ⊥AB于J，PK⊥OM于K，PI⊥ON于I．首先證明OP平分∠MON，作點D關于OP的對稱點D′，連接CD′，則有AC+CD＝AC+CD′≥AH，求出AH，可得結論．【解答】（1）證明：如圖1中，∵∠O＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等邊三角形，∴∠OAB＝∠ABO＝60°，∴∠BAM＝180°﹣60°＝120°，∵PA平分∠BAM，∴∠PAB=12∠∴∠PAB＝∠ABO＝60°，∴AP∥OB．（2）解：如圖2中，∠P的大小不變，∠P＝60°．理由如下：∵∠MAB＝∠O+∠OBA，∠ABN＝∠O+∠OAB，∴∠MAB+∠ABN＝∠O+∠ABO+∠OAB+∠O＝180°+60°＝240°，∵PA，PB分別平分∠MAB，ABN，∴∠PAB+∠PBA=12（∠MAB+∠∴∠P＝180°﹣120°＝60°．（3）解：如圖3中，過點A作AH⊥OB于H，過點P作PJ⊥AB于J，PK⊥OM于K，PI⊥ON于I．∵PA平分∠MAB，PK⊥OM，PJ⊥AB，∴PK＝PJ，∵PB平分∠ABN，PJ⊥AB，PI⊥ON，∴PJ＝PI，∴PK＝PI，∴OP平分∠MON，作點D關于OP的對稱點D′，連接CD′，∵S△AOB=12?OB?∴12=12×∴AH＝4，∵CD＝CD′，∴AC+CD＝AC+CD′≥AH，∴AC+CD≥4，∴AC+CD的最小值為4．【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質，角平分線的性質定理，三角形的面積，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會利用垂線段最短解決最值問題．【變式6-3】（2022秋?興寧區校級月考）如圖，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．（1）求證：∠ACB＝∠ACD；（2）過點E作ME∥AB，交AC的延長線于點M，過點M作MP⊥DC，交DC的延長線于點P．①求∠BEA的度數；②連接PE，交AM于點N，證明AM垂直平分PE；（3）點O是直線AE上的動點，當MO+PO的值最小時，證明點O與點E重合．【分析】（1）證明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）即可；（2）①證明△NEC≌△NPC（SAS）即可；②延長PD、ME交于Q點，結合①推導出∠EPD＝∠DQE＝30°，則PE＝EQ，則ME+PE＝QE+ME≥MQ，此時ME+PE的值最小，再由點O是直線AE上的動點，可得當MO+PO的值最小時，E點與O點重合．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，AC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠ACB＝∠ACD；（2）①解∵Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠BAC＝∠CAD，∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∵∠EBA＝90°，∴∠BEA＝∠BAC＝∠CAE＝30°；②證明：∵PD⊥AE，MP⊥PD，∴AE∥MP，∴∠PMC＝∠MAE＝30°，∵ME∥AB，∴∠MEB＝∠ABE＝90°，∴∠MEA＝90°+30°＝120°，∵∠MAE＝30°，∴∠EMA＝30°，∵CP⊥MP，CE⊥ME，∠MCP＝∠MCE＝60°，∴△NEC≌△NPC（SAS），∴EN＝PN，∴N是EP的中點，NC⊥PE，∴AM垂直平分PE；（3）證明：延長PD、ME交于Q點，由①知，∠BEA＝30°，∠MEB＝90°，∴∠MEA＝120°，∴∠DEQ＝60°，∵PD⊥AE，∴∠EDQ＝90°，∴∠EQD＝30°，∵∠CPN＝30°，∴∠EPD＝∠DQE，∴PE＝EQ，∴ME+PE＝QE+ME≥MQ，此時ME+PE的值最小，∵點O是直線AE上的動點，∴當MO+PO的值最小時，E點與O點重合．【點評】本題考查三角形全等的判定與性質，軸對稱﹣最短路徑問題，熟練掌握平行線的性質，直角三角形的性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定及性質，軸對稱求最短距離是解題的關鍵．【變式6-4】（2022秋?松原期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，CD平分∠ACB，交邊AB于點D，點E是邊AB的中點．點P為邊CB上的一個動點．（1）AE＝，∠ACD＝度；（2）當四邊形ACPD為軸對稱圖形時，求CP的長；（3）若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度數；（4）若點M在線段CD上，連接MP、ME，直接寫出MP+ME的值最小時CP的長度．【分析】（1）根據題意可得∠B＝30°，則AB＝2AC＝2AE，即可求出AE的長，再根據角平分線的性質即可求出∠ACD的度數．（2）根據軸對稱圖形的性質即可解答．（3）根據題意可得∠PCD＝45°，分三種情況：當PC＝PD時；當DP＝DC時；當CP＝CD時．再依次根據三角形內角和定理即可求解．（4）過點M作MP⊥BC，作點P關于CD的對稱點P′，根據題意可得∠PCM＝∠P′CM，CM＝CM，∠MPC＝∠MP′C＝90°，根據AAS可證明△PCM≌△P′CM，則PM＝P′M，CP＝CP′，因此MP+ME＝MP′+ME≥EP′，以此得出當點E、M、P′三點共線時，MP+ME的值最小，此時EP′∥BC，最后根據解含30度角的直角三角形即可得到結果．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝30°，∴AB＝2AC＝8，∵點E是邊AB的中點，∴AE=1∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=1故答案為：4，45．（2）∵四邊形ACPD為軸對稱圖形，CD平分∠ACB，∴對稱軸為直線CD，∴CP＝CA＝4；（3）∵CD平分∠ACB，∴∠PCD＝45°，當PC＝PD時，∠PDC＝∠PCD＝45°，∴∠CPD＝1