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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省太原市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試題一、選擇題(本題共8小題,每小題3分,共24分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.等差數(shù)列中,,則的公差()A.3 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗由得,,故選:A.2.已知函數(shù),則()A. B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗,則.故選:C3.等比數(shù)列中,,則的前項和()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為,由,則,由,則,解得,所以.故選:B.4.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗,由,得,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選:D.5.已知是等差數(shù)列,,,則()A.6 B.9 C.18 D.27〖答案〗C〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為,由,,得,解得,所以.故選:C6.已知函數(shù)的圖象如下圖所示,則下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗,,,由圖可知,,在和單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,故的解集為,所以二次函數(shù)開口向下,,且的根為,故,,所以.故選:C7.已知、分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列,其前項和分別是和,且,,,則()A.13 B.3或13 C.9 D.9或18〖答案〗D〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,由,,,得,解得或.或.故選:D.8.已知函數(shù)在處有極小值,則的極大值為()A.1 B.1或3 C. D.4或〖答案〗C〖解析〗因為,所以,由,即,解得或,當(dāng)時令,解得或,所以當(dāng)或時,當(dāng)時,所以在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以在處取得極小值,在處取得極大值,則;當(dāng)時令,解得或,所以當(dāng)或時,當(dāng)時,所以在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以在處取得極大值,在處取得極小值,不符合題意,故舍去;綜上可得;故選:C.二、選擇題(本題共4小題,每小題3分,共12分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得3分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)9.已知等差數(shù)列的前項和為,且,則下列結(jié)論正確的是()A. B.C.是遞增數(shù)列 D.是遞增數(shù)列〖答案〗ACD〖解析〗由得,,即,因為,所以,,故A正確;因為為增數(shù)列,且,所以時最小,所以是遞增數(shù)列,故C正確;因,故B錯誤;因為,所以,即為公差為1的等差數(shù)列,所以是遞增數(shù)列,故D正確,故選:ACD.10.已知函數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.有兩個極值點 B.的極小值為C.在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)無零點〖答案〗BD〖解析〗定義域為,,令,得或(舍去),當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,所以是極小值點,極小值為,故B正確,A錯誤,C錯誤;,即函數(shù)無零點,故D正確;故選:BD.11.已知數(shù)列滿足,則下列結(jié)論正確的是()A. B.是遞增數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.是遞增數(shù)列〖答案〗ACD〖解析〗對于AB,依題意,,,A正確,B錯誤;對于C,,而,因此是以為首項,為公比的等比數(shù)列,C正確;對于D,由選項C知,,顯然數(shù)列是遞增數(shù)列,因此數(shù)列是遞增數(shù)列,D正確.故選:ACD12.已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,,且,則下列結(jié)論正確的是()A B.C.當(dāng)時, D.當(dāng)時,〖答案〗BC〖解析〗設(shè),由是定義在上的奇函數(shù)知,則時,為偶函數(shù),且時,,故在單調(diào)遞減,由偶函數(shù)的對稱性知,在單調(diào)遞增,故,即,故,B選項正確;當(dāng)時,,故,C選項正確;當(dāng)時,,故,D選項錯誤;由B,D選項知,,故,A選項錯誤.故選:BC三、填空題(本題共4小題,每小題3分,共12分)13.曲線在處的切線方程為______.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時,,,則,所以曲線在處的切線方程為,即,故〖答案〗為:.14.已知數(shù)列中,,則______.〖答案〗〖解析〗由可得,可見數(shù)列的周期為3,因,則.故〖答案〗為:.15.已知遞增等比數(shù)列的前項和為,且,,,則數(shù)列的前項和為______.〖答案〗〖解析〗由為遞增等比數(shù)列,所以,且,由,得,,解得或(舍去),將代入,得,所以,所以,,設(shè)數(shù)列的前項和為,故〖答案〗為:.16.函數(shù)的最小值為______〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域為,且,令,則,函數(shù)在上單調(diào)遞增.,,所以,存在,使得,則,.當(dāng)時,,則,此時函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時,,則,此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以,函數(shù)在處取得極小值,亦即最小值,即.故〖答案〗為:.四、解答題(本題共5小題,共52分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值;(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值.解:(1),令得,或,當(dāng)時,,在單調(diào)遞增,當(dāng)時,,在單調(diào)遞減,當(dāng)時,,在單調(diào)遞增,所以的極大值為,極小值為.(2)由(1)得,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,因為,所以在區(qū)間上的最大值為;因為,所以在區(qū)間上的最小值為.18.已知遞增等比數(shù)列滿足,是與的等差中項.(1)求的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前項和.解:(1)因為是與的等差中項,,所以,即,解得或,因為為遞增等比數(shù)列,所以,所以.(2),.19.已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)恰有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.解:(1),因為,所以,令,即,解得,令,即,解得,所以遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為和.(2)函數(shù)恰有兩個零點,則有兩個根,即與有兩個交點,由,,,,由(1)畫出圖象,由圖象可知,.20.已知數(shù)列中,,,是的前項和,且滿足,等比數(shù)列中,,.(1)求的通項公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項和為,求使成立的的最大值.解:(1)當(dāng)時,由,得,兩式相減得,因為,所以,當(dāng)時,,則數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項,以4為公差的等差數(shù)列,則,則數(shù)列的偶數(shù)項是以為首項,以4為公差的等差數(shù)列,則,綜上:;(2)由,,解得,則,,則,,兩式相減得,,所以,由,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以使成立的的最大值為6.21.已知函數(shù).(1)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(2)設(shè)滿足,證明:.解:(1)函數(shù)的定義域為,求導(dǎo)得,令,求導(dǎo)得,即函數(shù)在上遞增,則,即,于是,由,得;由,得,因此函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,解得,所以實數(shù)的取值范圍
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