高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省太原市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.等差數(shù)列中，，則的公差（）A.3 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，，故選：A．2.已知函數(shù)，則（）A. B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗，則.故選：C3.等比數(shù)列中，，則的前項(xiàng)和（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，則，由，則，解得，所以.故選：B.4.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．故選：D.5.已知是等差數(shù)列，，，則（）A.6 B.9 C.18 D.27〖答案〗C〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以.故選：C6.已知函數(shù)的圖象如下圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，,,由圖可知，，在和單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故的解集為,所以二次函數(shù)開(kāi)口向下，，且的根為，故，，所以.故選：C7.已知、分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，其前項(xiàng)和分別是和，且，，，則（）A.13 B.3或13 C.9 D.9或18〖答案〗D〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，，，得，解得或．或．故選：D．8.已知函數(shù)在處有極小值，則的極大值為（）A.1 B.1或3 C. D.4或〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，由，即，解得或，?dāng)時(shí)令，解得或，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，在處取得極大值，則；當(dāng)時(shí)令，解得或，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，不符合題意，故舍去；綜上可得；故選：C．二、選擇題（本題共4小題，每小題3分，共12分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得3分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.是遞增數(shù)列 D.是遞增數(shù)列〖答案〗ACD〖解析〗由得，，即，因?yàn)椋?，，故A正確；因?yàn)闉樵鰯?shù)列，且，所以時(shí)最小，所以是遞增數(shù)列，故C正確；因，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，即為公差?的等差數(shù)列，所以是遞增數(shù)列，故D正確，故選：ACD．10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.有兩個(gè)極值點(diǎn) B.的極小值為C.在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)無(wú)零點(diǎn)〖答案〗BD〖解析〗定義域?yàn)?，，令，得或（舍去），?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以是極小值點(diǎn)，極小值為，故B正確，A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤；，即函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，故D正確；故選：BD．11.已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.是遞增數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.是遞增數(shù)列〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于AB，依題意，，，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，而，因此是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，因此數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確.故選：ACD12.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A B.C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，〖答案〗BC〖解析〗設(shè)，由是定義在上的奇函數(shù)知，則時(shí)，為偶函數(shù)，且時(shí)，，故在單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的對(duì)稱性知，在單調(diào)遞增，故，即，故，B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，故，C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，故，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；由B，D選項(xiàng)知，，故，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題（本題共4小題，每小題3分，共12分）13.曲線在處的切線方程為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，，則，所以曲線在處的切線方程為，即，故〖答案〗為：．14.已知數(shù)列中，，則______．〖答案〗〖解析〗由可得，可見(jiàn)數(shù)列的周期為3，因，則.故〖答案〗為：.15.已知遞增等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由為遞增等比數(shù)列，所以，且，由，得，，解得或（舍去），將代入，得，所以，所以，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，故〖答案〗為：．16.函數(shù)的最小值為_(kāi)_____〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，，所以，存在，使得，則，.當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共5小題，共52分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值．解：（1），令得，或，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以的極大值為，極小值為．（2）由（1）得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以在區(qū)間上的最大值為；因?yàn)椋栽趨^(qū)間上的最小值為．18.已知遞增等比數(shù)列滿足，是與的等差中項(xiàng)．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，，所以，即，解得或，因?yàn)闉檫f增等比數(shù)列，所以，所以．（2），．19.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1），因?yàn)?，所以，令，即，解得，令，即，解得，所以遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為和．（2）函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)根，即與有兩個(gè)交點(diǎn)，由，，，，由（1）畫出圖象，由圖象可知，．20.已知數(shù)列中，，，是的前項(xiàng)和，且滿足，等比數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使成立的的最大值．解：（1）當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，，則數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，則，則數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，則，綜上：；（2）由，，解得，則，，則，，兩式相減得，，所以，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以使成立的的最大值為6.21.已知函數(shù)．（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)滿足，證明：．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，令，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上遞增，則，即，于是，由，得；由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍