第05講二次函數的概念及圖像（5大考點）考點考向考點考向1.二次函數的概念解析式形如的函數；它的定義域為一切實數；2.二次函數的圖像與性質對稱軸頂點開口方向變化情況直線時，開口向上，頂點是最低點；時，開口向下，頂點是最高點；當時，拋物線在對稱軸（直線）左側的部分下降，在右側上升；時，在對稱軸左側上升，在對稱軸右側下降.直線直線直線直線考點精講考點精講一．二次函數的定義（共3小題）1．（2021秋?奉賢區校級期中）下列函數是二次函數的是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝+x C．y＝x（2x﹣1） D．y＝（x+4）2﹣x22．（2021秋?奉賢區校級期中）下列y關于x的函數中，一定是二次函數的是（）A．y＝ax2+bx+c B． C．y＝（a2+1）x2 D．y＝ax23．（2019秋?虹口區期末）如果函數y＝（m+1）x+2是二次函數，那么m＝．二．二次函數的圖象（共6小題）4．（2022?上海模擬）已知m是不為0的常數，函數y＝mx和函數y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐標系內的圖象可以是（）A． B． C． D．5．（2020秋?嘉定區期末）二次函數y＝a（x+m）2+k的圖象如圖所示，下列四個選項中，正確的是（）A．m＜0，k＜0 B．m＜0，k＞0 C．m＞0，k＜0 D．m＞0，k＞06．（2020秋?虹口區校級期中）在同一平面直角坐標系中，函數y＝mx+m和函數y＝mx2+2x+2（m是常數，且m≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．7．（2020秋?金山區期末）拋物線y＝﹣2x2沿著x軸正方向看，在y軸的左側部分是．（填“上升”或“下降”）8．（2019秋?奉賢區期末）如果二次函數y＝a（x﹣1）2（a≠0）的圖象在它的對稱軸右側部分是上升的，那么a的取值范圍是．9．（2019秋?廬陽區校級月考）如圖所示，在同一坐標系中，作出①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的圖象，則圖象從里到外的三條拋物線對應的函數依次是（填序號）．三．二次函數圖象與系數的關系（共8小題）10．（2021秋?閔行區校級期中）在同一平面直角坐標系中，函數y＝mx+m和函數y＝﹣mx2+2x+2（m是常數，且m≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．11．（2020秋?金山區期中）拋物線y＝﹣2（x﹣m）2﹣n（m，n是常數）的頂點坐標是（）A．（m，﹣n） B．（﹣m，n） C．（m，n） D．（﹣m，﹣n）12．（2020?寶山區二模）若拋物線y＝（x﹣m）2+（m+1）的頂點在第二象限，則m的取值范圍為．13．（2020秋?楊浦區期末）已知拋物線y＝（1﹣a）x2+1的開口向上，那么a的取值范圍是．14．（2020秋?徐匯區校級期中）已知拋物線y＝a（x+m）2（m為常數）的頂點在y軸的右側，且am＜0，則此圖象的開口方向．15．（2020秋?松江區月考）已知拋物線y＝（1﹣k）x2+3x的開口向下，那么k的取值范圍是．16．（2020?長寧區二模）如果拋物線y＝（a﹣1）x2﹣1（a為常數）不經過第二象限，那么a的取值范圍是．17．（2020秋?浦東新區期末）已知拋物線y＝x2+2x+m﹣3的頂點在第二象限，求m的取值范圍．四．二次函數圖象上點的坐標特征（共6小題）18．（2020秋?長寧區期末）已知拋物線y＝x2﹣2x+c經過點A（﹣1，y1）和B（2，y2），比較y1與y2的大小：y1y2（選擇“＞”或“＜”或“＝”填入空格）．19．（2020秋?崇明區期末）函數y＝2x2+4x﹣5的圖象與y軸的交點的坐標為．20．（2020秋?普陀區期末）如圖，已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（1，0），那么f（﹣1）0．（填“＞”、“＜”或“＝”）21．（2020秋?松江區期末）已知點A（2，y1）、B（3，y2）在拋物線y＝x2﹣2x+c（c為常數）上，則y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．22．（2020秋?奉賢區期末）如果二次函數y＝（x﹣1）2的圖象上有兩點（2，y1）和（4，y2），那么y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．23．（2019秋?嘉定區期末）在平面直角坐標系xOy中，將點P1（a，b﹣a）定義為點P（a，b）的“關聯點”．已知：點A（x，y）在函數y＝x2的圖象上（如圖所示），點A的“關聯點”是點A1．（1）請在如圖的基礎上畫出函數y＝x2﹣2的圖象，簡要說明畫圖方法；（2）如果點A1在函數y＝x2﹣2的圖象上，求點A1的坐標；（3）將點P2（a，b﹣na）稱為點P（a，b）的“待定關聯點”（其中，n≠0）．如果點A（x，y）的“待定關聯點”A2在函數y＝x2﹣n的圖象上，試用含n的代數式表示點A2的坐標．五．二次函數圖象與幾何變換（共9小題）24．（2021秋?奉賢區校級期中）將二次函數y＝3x2的圖象沿y軸方向向上平移1個單位，沿x軸方向向右平移3個單位的函數解析式為．25．（2021秋?虹口區月考）拋物線y＝﹣2x2+3向左移動a（a＞0）個單位后經過點（﹣1，﹣5），則a的值為．26．（2020秋?崇明區期末）如果將拋物線y＝（x﹣1）2先向左平移2個單位，再向上平移1個單位，那么所得的新拋物線的解析式為．27．（2022?徐匯區校級模擬）將拋物線y＝2x2下平移2個單位后的拋物線解析式為y＝．28．（2021秋?奉賢區校級期中）將拋物線y＝3x2﹣2向左平移2個單位，所得拋物線的表達式是．29．（2021秋?普陀區期中）將拋物線y＝2（x+1）2﹣3先向右平移2個單位，再向上平移3個單位，那么平移后所得新拋物線的表達式是．30．（2021?崇明區二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜邊OA在x軸上，且OA＝4，如果拋物線y＝ax2+bx+c向下平移4個單位后恰好能同時經過O、A、B三點，那么a+b+c＝．31．（2020秋?黃浦區期末）將二次函數y＝x2+2x+3的圖象向右平移3個單位，求所得圖象的函數解析式；請結合以上兩個函數圖象，指出當自變量x在什么取值范圍內時，上述兩個函數中恰好其中一個的函數圖象是上升的，而另一個的函數圖象是下降的．32．（2020秋?普陀區校級期中）將拋物線y＝2x2先向下平移3個單位，再向右平移m（m＞0）個單位，所得新拋物線經過點（1，5），求新拋物線的表達式及新拋物線與y軸交點的坐標．鞏固提升鞏固提升一、選擇題1.（長寧金山2020一模1）下列函數中是二次函數的是（）A.y＝；B.y＝（x+3）2﹣x2；C.y＝；D.y＝x（x﹣1）2.（松江2020一模2）如果點A（1，3）、B（m，3）是拋物線上兩個不同的點，那么m的值為（）A.2 B.3 C.4 D.53.（閔行2020期末6）二次函數的圖像如圖所示，現有以下結論：①；②；③；④；其中正確的結論有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個.4.（閔行2020期末3）k為任意實數，拋物線的頂點總在()A.直線上 B.直線上 C.x軸上 D.y軸上5.（長寧金山2020一模3）將拋物線向右平移2個單位后得到的新拋物線的表達式為（）A.；B.；C.；D.6.（奉賢2020一模5）已知拋物線上部分點的橫坐標與縱坐標的對應值如下表：…01345……-5-5-…根據上表，下列判斷正確的是（）A.該拋物線開口向上 B.該拋物線的對稱軸是直線C.該拋物線一定經過點 D.該拋物線在對稱軸左側部分是下降的二、填空題7．（浦東新區2020一模10）如果二次函數y＝x2﹣2x+k﹣3的圖象經過原點，那么k的值是．8.（2019新竹園9月考10）已知拋物線經過點、，那么此拋物線的對稱軸是___________．9.（長寧金山2020一模10）已知拋物線y＝（1+a）x2的開口向上，則a的取值范圍是_____．10.（崇明2020一模12）如果將拋物線先向右平移2個單位，再向上平移3個單位，那么所得的新拋物線的頂點坐標為___________．11.（普陀2020一模11）將二次函數的圖像向下平移個單位后，它的頂點恰好落在軸上，那么的值等于．12.（嘉定2020一模14）已知拋物線經過點和，那么y1y2(從“>”或“<”或“=”選擇）13.（長寧天山2019期中11）拋物線的圖像與軸的交點坐標是______________.14.（奉賢2020一模9）若一條拋物線的頂點在軸上，則這條拋物線的表達式可以是___________（只需寫一個）15．（浦東新區2020一模13）二次函數y＝﹣2（x+1）2的圖象在對稱軸左側的部分是．（填“上升”或“下降”）16.（奉賢2020一模10）如果二次函數的圖像在它的對稱軸右側部分是上升的，那么的取值范圍是__________.17.（奉賢2020一模11）拋物線與軸交于點，如果點和點關于該拋物線的對稱軸對稱，那么的值是_________.18.（靜安2020一模14）某商場四月份的營業額是200萬元，如果該商場第二季度每個月營業額的增長率相同，都為，六月份的營業額為萬元，那么關于的函數解式是______．19．（浦東新區2020一模17）用“描點法”畫二次函數y＝ax2+bx+c的圖象時，列出了如下的表格：x…01234…y＝ax2+bx+c…﹣3010﹣3…那么當x＝5時，該二次函數y的值為．20.（黃浦2020一模14）如圖，在△ABC中，BC=12，BC上的高AH=8，矩形DEFG的邊EF在邊BC上，頂點D、G分別在邊AB、AC上．設DE，矩形DEFG的面積為，那么關于的函數關系式是．（不需寫出x的取值范圍）．三、解答題21.（奉賢2019期中19）拋物線y=x2﹣2x+c經過點（2，1）．（1）求拋物線的頂點坐標；（2）將拋物線y=x2﹣2x+c沿y軸向下平移后，所得新拋物線與x軸交于A、B兩點，如果AB=2，求新拋物線的表達式．22.（長寧天山2019期中19）已知二次函數的圖像經過點.求這個二次函數的解析式，開口方向，對稱軸和頂點坐標.23.（普陀2019期中20）已知二次函數的圖像經過、、三點.（1）求這個二次函數的解析式；（2）求出圖像的頂點坐標.24.（奉賢2020一模19）已知函數.（1）指出這個函數圖像的開口方向、頂點坐標和它的變化情況；（2）選取適當的數據填入下表，并在如圖所示的直角坐標系內描點，畫出該函數的圖像.…………25.（靜安2020一模21）已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線（b為常數）的對稱軸是直線x=1．（1）求該拋物線的表達式；（2）點A（8，m）在該拋物線上，它關于該拋物線對稱軸對稱的點為A'，求點A'的坐標；（3）選取適當的數據填入下表，并在如圖5所示的平面直角坐標系內描點，畫出該拋物線．26.（閔行2020期末19）已知二次函數圖像的最高點是A(1，4)，且經過點B(0，3)，與軸交于C、D兩點(點C在點D的左側).求△BCD的面積.27.（普陀2019期中21）在平面直角坐標系中，拋物線與軸的負半軸交于點、與軸交于點，且.（1）求的值；（2）如果點是拋物線上一點，聯結交軸正半軸于點，，求的坐標.28.（普陀2019期中24）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、，拋物線經過、兩點，且對稱軸為直線.（1）求拋物線的表達式；（2）如果點是這拋物線上位于軸下方的一點，且△的面積是.求點的坐標.29.（黃浦2020一模22）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線，其頂點為A．（1）寫出這條拋物線的開口方向、頂點A的坐標，并說明它的變化情況；（2）直線BC平行于x軸，交這條拋物線于B、C兩點（點B在點C左側），且，求點B坐標．30.（奉賢2019期中22）某工廠生產一種火爆的網紅電子產品，每件產品成本16元，工廠將該產品進行網絡批發，批發單價y（元）與一次性批發量x（件）（x為正整數）之間滿足如圖所示的函數關系．（1）直接寫出y與x之間所滿足的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）若一次性批發量不低于20且不超過60件時，求獲得的利潤w與x的函數關系式，同時當批發量為多少件時，工廠獲利最大？最大利潤是多少？31.（松江2020一模20）已知二次函數.（1）將函數的解析式化為的形式，并指出該函數圖像頂點B坐標；（2）在平面直角坐標系中xOy中，設拋物線與y軸交點為C，拋物線的對稱軸與x軸交點為A.求四邊形OABC的面積.32.（閔行2020期末24）已知：在平面直角坐標系xOy中，對稱軸為直線x=-2的拋物線經過點C(0，2)，與x軸交于A(-3，0)、B兩點(點A在點B的左側).(1)求這條拋物線的表達式.(2)連接BC，求∠BCO的余切值.(3)如果過點C的直線，交x軸于點E，交拋物線于點P，且∠CEO=∠BCO，求點P的坐標.33．（浦東新區2020一模24）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（﹣1，0），B（3，0），與y軸相交于點C．（1）求拋物線的表達式；（2）聯結AC、BC，求∠ACB的正切值；（3）點P在拋物線上，且∠PAB＝∠ACB，求點P的坐標．34.（崇明2020一模24）如圖，拋物線與軸相交于點、點，與軸交于點，點是拋物線上一動點，聯結交線段于點．（1）求這條拋物線解析式，并寫出頂點坐標；（2）求的正切值；（3）當與相似時，求點的坐標．35.（青浦2020一模24）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=2，點A的坐標為（1，0）．（1）求該拋物線的表達式及頂點坐標；（2）點P為拋物線上一點（不與點A重合），聯結PC．當∠PCB=∠ACB時，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿平行于軸的方向向下平移，平移后的拋物線的頂點為點D，點P的對應點為點Q，當OD⊥DQ時，求拋物線平移的距離．第05講二次函數的概念及圖像（5大考點）考點考向考點考向1.二次函數的概念解析式形如的函數；它的定義域為一切實數；2.二次函數的圖像與性質對稱軸頂點開口方向變化情況直線時，開口向上，頂點是最低點；時，開口向下，頂點是最高點；當時，拋物線在對稱軸（直線）左側的部分下降，在右側上升；時，在對稱軸左側上升，在對稱軸右側下降.直線直線直線直線考點精講考點精講一．二次函數的定義（共3小題）1．（2021秋?奉賢區校級期中）下列函數是二次函數的是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝+x C．y＝x（2x﹣1） D．y＝（x+4）2﹣x2【分析】根據二次函數的定義判斷即可．【解答】解：A、當a＝0時，該函數不是二次函數，故本選項不符合題意；B、該函數分母含有字母，不是二次函數，故本選項不符合題意；C、該函數是二次函數，故本選項符合題意；D、該函數化簡后沒有二次項，是一次函數，故本選項不符合題意．故選：C．【點評】此題主要考查了二次函數定義，解題的關鍵是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．2．（2021秋?奉賢區校級期中）下列y關于x的函數中，一定是二次函數的是（）A．y＝ax2+bx+c B． C．y＝（a2+1）x2 D．y＝ax2【分析】利用二次函數定義可得答案．【解答】解：A、當a＝0時，不是二次函數，故此選項不符合題意；B、分母含有自變量，不是二次函數，故此選項不合題意；C、是二次函數，故此選項合題意；D、當a＝0時，不是二次函數，故此選項不合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了二次函數的定義，解題的關鍵是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．3．（2019秋?虹口區期末）如果函數y＝（m+1）x+2是二次函數，那么m＝2．【分析】直接利用二次函數的定義得出m的值．【解答】解：∵函數y＝（m+1）x+2是二次函數，∴m2﹣m＝2，（m﹣2）（m+1）＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵m+1≠0，∴m≠﹣1，故m＝2．故答案為：2．【點評】此題主要考查了二次函數的定義，正確得出m的方程是解題關鍵．二．二次函數的圖象（共6小題）4．（2022?上海模擬）已知m是不為0的常數，函數y＝mx和函數y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐標系內的圖象可以是（）A． B． C． D．【分析】根據正比例函數和二次函數的性質即可判斷．【解答】解：當m＞0時，y＝mx的圖象是經過原點和一三象限的直線，y＝mx2﹣m2開口向上，與y軸交于負半軸，對稱軸是y軸，當m＜0時，y＝mx的圖象是經過原點和二四象限的直線，y＝mx2﹣m2開口向下，與y軸交于負半軸，對稱軸是y軸，故選：D．【點評】主要考查了正比例函數和二次函數的圖象性質以及分析能力和讀圖能力，要掌握它們的性質才能靈活解題．5．（2020秋?嘉定區期末）二次函數y＝a（x+m）2+k的圖象如圖所示，下列四個選項中，正確的是（）A．m＜0，k＜0 B．m＜0，k＞0 C．m＞0，k＜0 D．m＞0，k＞0【分析】根據頂點所處的位置確定m、k的符號．【解答】解：∵二次函數y＝a（x+m）2+k∴頂點為（﹣m，k），∵頂點在第四象限，∴﹣m＞0，k＜0，∴m＜0，k＜0，故選：A．【點評】本題考查的是二次函數圖象與系數的關系，掌握二次函數的性質、靈活運用數形結合思想是解題的關鍵．6．（2020秋?虹口區校級期中）在同一平面直角坐標系中，函數y＝mx+m和函數y＝mx2+2x+2（m是常數，且m≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】關鍵是m的正負的確定，對于二次函數y＝ax2+bx+c，當a＞0時，開口向上；當a＜0時，開口向下．對稱軸為x＝，與y軸的交點坐標為（0，c）．【解答】解：A．由函數y＝mx+m的圖象可知m＜0，即函數y＝mx2+2x+2開口方向朝下，對稱軸為x＝＝＞0，則對稱軸應在y軸右側，與圖象不符，故A選項錯誤；B．由函數y＝mx+m的圖象可知m＜0，即函數y＝mx2+2x+2開口方向朝下，開口方向朝下，與圖象不符，故B選項錯誤；C．由函數y＝mx+m的圖象可知m＞0，即函數y＝mx2+2x+2開口方向朝上，對稱軸為x＝＝＜0，則對稱軸應在y軸左側，與圖象不符，故C選項錯誤；D．由函數y＝mx+m的圖象可知m＜0，即函數y＝mx2+2x+2開口方向朝下，對稱軸為x＝＝＞0，則對稱軸應在y軸右側，與圖象相符，故D選項正確．故選：D．【點評】主要考查了一次函數和二次函數的圖象性質以及分析能力和讀圖能力，要掌握它們的性質才能靈活解題．7．（2020秋?金山區期末）拋物線y＝﹣2x2沿著x軸正方向看，在y軸的左側部分是上升．（填“上升”或“下降”）【分析】根據二次函數的性質解答即可．【解答】解：∵拋物線y＝﹣2x2的開口向下，對稱軸為y軸，∴在對稱軸左側y隨x的增大而增大，∴拋物線y＝﹣2x2在y軸左側的部分是上升的，故答案為：上升．【點評】本題考查二次函數的圖象及性質；熟練掌握二次函數的圖象及性質是解題的關鍵．8．（2019秋?奉賢區期末）如果二次函數y＝a（x﹣1）2（a≠0）的圖象在它的對稱軸右側部分是上升的，那么a的取值范圍是a＞0．【分析】由于二次函數的圖象在對稱軸x＝2的右側部分是上升的，由此可以確定二次函數的二次項系數為正數．【解答】解：∵二次函數的圖象在對稱軸x＝1的右側部分是上升的，∴這個二次函數的二次項系數為正數，∴a＞0，故答案為a＞0．【點評】本題主要考查二次函數的圖象，解題關鍵是要熟練掌握二次函數的性質．9．（2019秋?廬陽區校級月考）如圖所示，在同一坐標系中，作出①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的圖象，則圖象從里到外的三條拋物線對應的函數依次是（填序號）①③②．【分析】拋物線的形狀與|a|有關，根據|a|的大小即可確定拋物線的開口的寬窄．【解答】解：①y＝3x2，②y＝x2，③y＝x2中，二次項系數a分別為3、、1，∵3＞1＞，∴拋物線②y＝x2的開口最寬，拋物線①y＝3x2的開口最窄．故依次填：①③②．【點評】拋物線的開口大小由|a|決定，|a|越大，拋物線的開口越窄；|a|越小，拋物線的開口越寬．三．二次函數圖象與系數的關系（共8小題）10．（2021秋?閔行區校級期中）在同一平面直角坐標系中，函數y＝mx+m和函數y＝﹣mx2+2x+2（m是常數，且m≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】本題主要考查一次函數和二次函數的圖象所經過的象限的問題，關鍵是m的正負的確定，對于二次函數y＝ax2+bx+c，當a＞0時，開口向上；當a＜0時，開口向下．對稱軸為x＝﹣，與y軸的交點坐標為（0，c）．【解答】解：A、由函數y＝mx+m的圖象可知m＜0，即函數y＝﹣mx2+2x+2開口方向朝上，與圖象不符，故A選項錯誤；B、由函數y＝mx+m的圖象可知m＜0，對稱軸為x＝﹣＝﹣＝＜0，則對稱軸應在y軸左側，與圖象不符，故B選項錯誤；C、由函數y＝mx+m的圖象可知m＞0，即函數y＝﹣mx2+2x+2開口方向朝下，與圖象不符，故C選項錯誤；D、由函數y＝mx+m的圖象可知m＜0，即函數y＝﹣mx2+2x+2開口方向朝上，對稱軸為x＝﹣＝﹣＝＜0，則對稱軸應在y軸左側，與圖象相符，故D選項正確；故選：D．【點評】本題主要考查了一次函數和二次函數的圖象性質以及分析能力和讀圖能力，要掌握它們的性質才能靈活解題．11．（2020秋?金山區期中）拋物線y＝﹣2（x﹣m）2﹣n（m，n是常數）的頂點坐標是（）A．（m，﹣n） B．（﹣m，n） C．（m，n） D．（﹣m，﹣n）【分析】已知拋物線的頂點式，可直接寫出頂點坐標．【解答】解：由y＝﹣2（x﹣m）2+n，根據頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為（m，n），故選：C．【點評】考查將解析式化為頂點式y＝a（x﹣h）2+k，頂點坐標是（h，k），對稱軸是直線x＝h．12．（2020?寶山區二模）若拋物線y＝（x﹣m）2+（m+1）的頂點在第二象限，則m的取值范圍為﹣1＜m＜0．【分析】求出函數的頂點坐標為（m，m+1），再由第二象限點的坐標特點的得到：m＜0，m+1＞0即可求解．【解答】解：∵y＝（x﹣m）2+（m+1），∴頂點為（m，m+1），∵頂點在第二象限，∴m＜0，m+1＞0，∴﹣1＜m＜0，故答案為﹣1＜m＜0．【點評】本題考查二次函數的圖象及性質；熟練掌握二次函數頂點坐標的求法，結合平面象限內點的坐標特點求解是關鍵．13．（2020秋?楊浦區期末）已知拋物線y＝（1﹣a）x2+1的開口向上，那么a的取值范圍是a＜1．【分析】根據二次函數的性質可知，當拋物線開口向上時，二次項系數1﹣a＞0．【解答】解：因為拋物線y＝（1﹣a）x2+1的開口向上，所以1﹣a＞0，即a＜1．故答案為：a＜1．【點評】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小．當a＞0時，拋物線開口向上；當a＜0時，拋物線開口向下．14．（2020秋?徐匯區校級期中）已知拋物線y＝a（x+m）2（m為常數）的頂點在y軸的右側，且am＜0，則此圖象的開口方向向上．【分析】先寫出對稱軸為直線x＝﹣m，根據頂點在y軸的右側，且am＜0可得答案．【解答】解：y＝a（x+m）2的對稱軸為直線x＝﹣m，∵頂點在y軸的右側，∴﹣m＞0，m＜0，∵am＜0，∴a＞0，開口方向向上，故答案為向上．【點評】本題考查的是二次函數的圖象與性質，解題的關鍵是對二次函數的圖象與系數的關系的一個清晰的理解．15．（2020秋?松江區月考）已知拋物線y＝（1﹣k）x2+3x的開口向下，那么k的取值范圍是k＞1．【分析】由二次函數圖象與系數的關系可得．【解答】解：∵拋物線y＝（1﹣k）x2+3x的開口向下，∴1﹣k＜0，∴k＞1．故答案為：k＞1．【點評】本題主要考查了二次函數圖象的開口方向和二次項系數a的關系，a＞0，開口向上，a＜0，開口向下．然后解不等式就可．16．（2020?長寧區二模）如果拋物線y＝（a﹣1）x2﹣1（a為常數）不經過第二象限，那么a的取值范圍是a＜1．【分析】根據拋物線y＝（a﹣1）x2﹣1（a為常數）不經過第二象限可以確定不等式的開口方向，從而確定a的取值范圍．【解答】解：∵拋物線y＝（a﹣1）x2﹣1（a為常數）不經過第二象限，且該拋物線與y軸交于負半軸，∴a﹣1＜0，解得：a＜1．故答案為：a＜1．【點評】考查了二次圖象與系數的關系，根據拋物線的開口方向，與y軸的交點，對稱軸判斷拋物線經過的象限．17．（2020秋?浦東新區期末）已知拋物線y＝x2+2x+m﹣3的頂點在第二象限，求m的取值范圍．【分析】先利用配方法得到拋物線的頂點坐標為（﹣1，m﹣4），再利用第二象限點的坐標特征得到m﹣4＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵y＝x2+2x+m﹣3＝（x+1）2+m﹣4，∴拋物線的頂點坐標為（﹣1，m﹣4），∵拋物線y＝x2+2x+m﹣3頂點在第二象限，∴m﹣4＞0，∴m＞4．故m的取值范圍為m＞4．【點評】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（﹣，）．四．二次函數圖象上點的坐標特征（共6小題）18．（2020秋?長寧區期末）已知拋物線y＝x2﹣2x+c經過點A（﹣1，y1）和B（2，y2），比較y1與y2的大小：y1＞y2（選擇“＞”或“＜”或“＝”填入空格）．【分析】把點A、B的坐標分別代入已知拋物線解析式，并分別求得y1與y2的值，然后比較它們的大小．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2x+c經過點A（﹣1，y1）和B（2，y2），∴y1＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）+c＝3+c，y2＝22﹣2×2+c＝c，∵y1﹣y2＝3＞0，∴y1＞y2，故答案是：＞．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征．拋物線上的點關于對稱軸對稱，且都滿足函數函數關系式．19．（2020秋?崇明區期末）函數y＝2x2+4x﹣5的圖象與y軸的交點的坐標為（0，﹣5）．【分析】根據題目中的函數解析式，令x＝0，求出相應的y的值，即可解答本題．【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣5，∴當x＝0時，y＝﹣5，故答案為：（0，﹣5）．【點評】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，知道拋物線與y軸的交點，橫坐標為0．20．（2020秋?普陀區期末）如圖，已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（1，0），那么f（﹣1）＞0．（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】根據圖象可知當x＝﹣1，y＞0．【解答】解：∵二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（1，0），對稱軸在y軸的左側，∴當x＝﹣1，y＞0，∴f（﹣1）＞0，故答案為＞．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，數形結合是解題的關鍵．21．（2020秋?松江區期末）已知點A（2，y1）、B（3，y2）在拋物線y＝x2﹣2x+c（c為常數）上，則y1＜y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【分析】先求得開口方向和對稱軸，再根據二次函數的性質進行判斷即可．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+c，∴拋物線的開口向上，對稱軸是直線x＝﹣＝1，∴在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，∵1＜2＜3，∴y1＜y2，故答案為：＜．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特點和二次函數的性質，能熟練掌握二次函數的性質是解此題的關鍵．22．（2020秋?奉賢區期末）如果二次函數y＝（x﹣1）2的圖象上有兩點（2，y1）和（4，y2），那么y1＜y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【分析】根據二次函數的性質即可判斷y1、y2的大小關系．【解答】解：∵二次函數的解析式為y＝（x﹣1）2，∴拋物線的開口向上，對稱軸為直線x＝1，∴在對稱軸的右側y隨x的增大而增大，∵2＜4，∴y1＜y2．故選：＜．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數的性質上解題的關鍵．23．（2019秋?嘉定區期末）在平面直角坐標系xOy中，將點P1（a，b﹣a）定義為點P（a，b）的“關聯點”．已知：點A（x，y）在函數y＝x2的圖象上（如圖所示），點A的“關聯點”是點A1．（1）請在如圖的基礎上畫出函數y＝x2﹣2的圖象，簡要說明畫圖方法；（2）如果點A1在函數y＝x2﹣2的圖象上，求點A1的坐標；（3）將點P2（a，b﹣na）稱為點P（a，b）的“待定關聯點”（其中，n≠0）．如果點A（x，y）的“待定關聯點”A2在函數y＝x2﹣n的圖象上，試用含n的代數式表示點A2的坐標．【分析】（1）將圖中的拋物線y＝x2向下平移2個單位長，可得拋物線y＝x2﹣2；（2）根據“關聯點”的定義和圖象上點的坐標特征得到A1（x，x2﹣x），然后代入y＝x2﹣2，得到x2﹣x＝x2﹣2，解得x＝2，即可求得點A1的坐標；（3）根據“待定關聯點”的定義和圖象上點的坐標特征得到，然后代入y＝x2﹣n，得到x2﹣nx＝x2﹣n，解得x＝1，即可求得點A2的坐標．【解答】解：（1）將圖中的拋物線y＝x2向下平移2個單位長，可得拋物線y＝x2﹣2，如圖：（2）由題意，得點A（x，y）的“關聯點”為A1（x，y﹣x），由點A（x，y）在拋物線y＝x2上，可得A（x，x2），∴，又∵A1（x，y﹣x）在拋物線y＝x2﹣2上，∴x2﹣x＝x2﹣2，解得x＝2．將x＝2代入，得A1（2，2）；（3）點A（x，y）的“待定關聯點”為，∵在拋物線y＝x2﹣n的圖象上，∴x2﹣nx＝x2﹣n，∴n﹣nx＝0，n（1﹣x）＝0．又∵n≠0，∴x＝1，當x＝1時，x2﹣nx＝1﹣n，故可得A2（1，1﹣n）．【點評】本題考查了二次函數的圖象與性質，二次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是找出關聯點的坐標．五．二次函數圖象與幾何變換（共9小題）24．（2021秋?奉賢區校級期中）將二次函數y＝3x2的圖象沿y軸方向向上平移1個單位，沿x軸方向向右平移3個單位的函數解析式為y＝3（x﹣3）2+1．【分析】根據“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．【解答】解：二次函數y＝3x2的圖象沿y軸向上平移1個單位所得函數解析式為：y＝3x2+1；二次函數y＝3x2+1的圖象沿x軸向右平移3個單位所得函數解析式為：y＝3（x﹣3）2+1．故答案為：y＝3（x﹣3）2+1．【點評】本題考查了二次函數的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的原則是解答此題的關鍵．25．（2021秋?虹口區月考）拋物線y＝﹣2x2+3向左移動a（a＞0）個單位后經過點（﹣1，﹣5），則a的值為3．【分析】直接利用二次函數平移規律得出平移后解析式，再利用函數圖象上點的坐標特征得出a的值．【解答】解：∵拋物線y＝﹣2x2+3向左移動a（a＞0）個單位后經過點（﹣1，﹣5），∴平移后解析式為：y＝﹣2（x+a）2+3，把（﹣1，﹣5）代入得：﹣5＝﹣2（﹣1+a）2+3，解得a＝3或a＝﹣1（舍去），故答案為：3．【點評】此題主要考查了二次函數圖象與幾何變換，二次函數圖象上點的坐標特征，正確掌握平移規律是解題關鍵．26．（2020秋?崇明區期末）如果將拋物線y＝（x﹣1）2先向左平移2個單位，再向上平移1個單位，那么所得的新拋物線的解析式為y＝（x+1）2+1．【分析】直接根據“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．【解答】解：將拋物線y＝（x﹣1）2先向左平移2個單位，再向上平移1個單位，那么所得的新拋物線的解析式為：y＝（x﹣1+2）2+1，即y＝（x+1）2+1．故答案為y＝（x+1）2+1．【點評】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象幾何變換的法則是解答此題的關鍵．27．（2022?徐匯區校級模擬）將拋物線y＝2x2下平移2個單位后的拋物線解析式為y＝2x2﹣2．【分析】直接利用拋物線平移規律：上加下減，左加右減進而得出平移后的解析式，即可得出解析式．【解答】解：∵將拋物線y＝2x2下平移2個單位，∴平移后的拋物線的解析式為：y＝2x2﹣2，故答案是：2x2﹣2．【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，利用頂點坐標的變化確定函數圖象的變化可以使求解更加簡便．28．（2021秋?奉賢區校級期中）將拋物線y＝3x2﹣2向左平移2個單位，所得拋物線的表達式是y＝3（x+2）2﹣2．【分析】直接根據“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．【解答】解：由“左加右減”的原則可知，拋物線y＝3x2﹣2向左平移2個單位所得函數圖象的關系式是：y＝3（x+2）2﹣2．故答案為：y＝3（x+2）2﹣2．【點評】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象平移的法則是解答此題的關鍵．29．（2021秋?普陀區期中）將拋物線y＝2（x+1）2﹣3先向右平移2個單位，再向上平移3個單位，那么平移后所得新拋物線的表達式是y＝2（x﹣1）2．【分析】根據“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可．【解答】解：將拋物線y＝2（x+1）2﹣3向右平移2個單位所得直線解析式為：y＝2（x+1﹣2）2﹣3；再向上平移3個單位為：y＝2（x+1﹣2）2﹣3+3，即y＝2（x﹣1）2．故答案是：y＝2（x﹣1）2．【點評】此題主要考查了二次函數圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減．30．（2021?崇明區二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜邊OA在x軸上，且OA＝4，如果拋物線y＝ax2+bx+c向下平移4個單位后恰好能同時經過O、A、B三點，那么a+b+c＝．【分析】根據等腰直角三角形的性質求得A（4，0），B（2，﹣2），拋物線y＝ax2+bx+c向下平移4個單位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，然后把O、A、B的坐標代入，根據待定系數法即可求得a、b、c的值，進而即可求得a+b+c的值．【解答】解：∵等腰直角三角形OAB的斜邊OA在x軸上，且OA＝4，∴A（4，0），B（2，﹣2），拋物線y＝ax2+bx+c向下平移4個單位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，∵平移后恰好能同時經過O、A、B三點，∴，解得，∴a+b+c＝﹣2+4＝，故答案為．【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質，二次函數的圖象與幾何變換，待定系數法求二次函數的解析式，求得點的坐標是解題的關鍵．31．（2020秋?黃浦區期末）將二次函數y＝x2+2x+3的圖象向右平移3個單位，求所得圖象的函數解析式；請結合以上兩個函數圖象，指出當自變量x在什么取值范圍內時，上述兩個函數中恰好其中一個的函數圖象是上升的，而另一個的函數圖象是下降的．【分析】根據平移的規律得到平移后的解析式，然后根據二次函數的性質即可求得．【解答】解：∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴將二次函數y＝x2+2x+3的圖象向右平移3個單位，得到函數y＝（x+1﹣3）2+2，即y＝（x﹣2）2+2，∵二次函數y＝（x+1）2+2的圖象在x＞﹣1時，y隨x的增大而增大，二次函數y＝（x﹣2）2+2的圖象在x＜2時，y隨x的增大而減小，∴當﹣1＜x＜2時，兩個函數中恰好其中一個的函數圖象是上升的，而另一個的函數圖象是下降的．【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．32．（2020秋?普陀區校級期中）將拋物線y＝2x2先向下平移3個單位，再向右平移m（m＞0）個單位，所得新拋物線經過點（1，5），求新拋物線的表達式及新拋物線與y軸交點的坐標．【分析】（1）根據平移規律和待定系數法確定函數關系式；（2）將x＝0代入到新拋物線中，得到：y＝15，即可得到該拋物線與y軸交點的縱坐標是15．【解答】解：（1）∵平移后，設新拋物線的表達式為y＝2（x﹣m）2﹣3，∴新拋物線經過點（1，5），∴將x＝1，y＝5代入：2（1﹣m）2﹣3＝5，∴（1﹣m）2＝4，∴1﹣m＝±2，∴m1＝﹣1，m2＝3．∵m＞0，∴m＝﹣1（舍去），得到m＝3．∴新拋物線的表達式為y＝2（x﹣3）2﹣3．（2）∵與y軸的交點坐標，∴設交點為（0，y），∴將x＝0代入到新拋物線中，得到：y＝15，∴與y軸的交點坐標為（0，15）．【點評】此題主要考查了待定系數法，平移的性質，掌握平移的性質是解本題的關鍵．鞏固提升鞏固提升一、選擇題1.（長寧金山2020一模1）下列函數中是二次函數的是（）A.y＝；B.y＝（x+3）2﹣x2；C.y＝；D.y＝x（x﹣1）【答案】D；【解析】解：二次函數的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），排除A,C;B.y＝（x+3）2﹣x2=6x+9,化簡后為一次函數；D.y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，為二次函數；故答案選D．2.（松江2020一模2）如果點A（1，3）、B（m，3）是拋物線上兩個不同的點，那么m的值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B；【解析】解：∵點A（1，3）、B（m，3）是拋物線上兩個不同的點，∴這兩個點關于拋物線的對稱軸對稱，∴由頂點式可知對稱軸是，對稱軸位于A點的右側，∴，∴，解之得：，故答案選B.3.（閔行2020期末6）二次函數的圖像如圖所示，現有以下結論：①；②；③；④；其中正確的結論有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個.【答案】B；【解析】解：①根據圖像，開口向下，得出，正確；②根據圖像，對稱軸為，，與y軸的交點為（0,c），，錯誤；③根據圖像，以及對稱軸，，，正確；④根據圖像，頂點坐標均大于0，即，，錯誤；故答案為B.4.（閔行2020期末3）k為任意實數，拋物線的頂點總在()A.直線上 B.直線上 C.x軸上 D.y軸上【答案】B；【解析】解：根據題意，得拋物線的頂點坐標為，∴該點總在直線上，故答案選B.5.（長寧金山2020一模3）將拋物線向右平移2個單位后得到的新拋物線的表達式為（）A.；B.；C.；D.【答案】A；【解析】解：∵將拋物線向右平移2個單位，∴新拋物線的表達式為y＝（x＋1?2）2?3＝（x?1）2?3，故答案選A．6.（奉賢2020一模5）已知拋物線上部分點的橫坐標與縱坐標的對應值如下表：…01345……-5-5-…根據上表，下列判斷正確的是（）A.該拋物線開口向上 B.該拋物線的對稱軸是直線C.該拋物線一定經過點 D.該拋物線在對稱軸左側部分是下降的【答案】C；【解析】解：∵拋物線過點（1，），（3，），∴該拋物線的對稱軸是：直線，故B錯誤；∵由表格可知：當x≤2時，y隨x的增大而增大，∴該拋物線開口向下，該拋物線在對稱軸左側部分是上升的，故A，D錯誤；∵該拋物線的對稱軸是：直線，點（5，）在拋物線上，∴該拋物線一定經過點，故C正確.故選C.二、填空題7．（浦東新區2020一模10）如果二次函數y＝x2﹣2x+k﹣3的圖象經過原點，那么k的值是．【答案】3；【解析】解：∵二次函數y＝x2﹣2x+k﹣3的圖象經過原點，∴k﹣3＝0，解得k＝3.8.（2019新竹園9月考10）已知拋物線經過點、，那么此拋物線的對稱軸是___________．【答案】直線;【解析】解：∵點、的縱坐標都是5相同，∴拋物線的對稱軸為直線．故答案為：直線．9.（長寧金山2020一模10）已知拋物線y＝（1+a）x2的開口向上，則a的取值范圍是_____．【答案】a＞﹣1;【解析】解：∵拋物線y＝（1+a）x2的開口向上，∴1+a＞0，∴a＞﹣1．10.（崇明2020一模12）如果將拋物線先向右平移2個單位，再向上平移3個單位，那么所得的新拋物線的頂點坐標為___________．【答案】;【解析】解:∵＝（x＋1）2?2，∴拋物線y＝x2＋2x?1的頂點坐標為（?1，?2），∴把點（?1，?2）先向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到點的坐標為（1，1），即新拋物線的頂點坐標為（1，1）．11.（普陀2020一模11）將二次函數的圖像向下平移個單位后，它的頂點恰好落在軸上，那么的值等于．【答案】1；【解析】解：因為，其頂點為（1，1），向下平移m個單位后，頂點為（1，1-m）在x軸上，則1-m=0即m=1.12.（嘉定2020一模14）已知拋物線經過點和，那么y1y2(從“>”或“<”或“=”選擇）【答案】；【解析】由題意可知，拋物線的開口向上（a>0)，對稱軸為直線，所以當時，y隨x的增大而減小，即.13.（長寧天山2019期中11）拋物線的圖像與軸的交點坐標是______________.【答案】（0，3）；【解析】解：與y軸的交點坐標的橫坐標為0，將x=0代入拋物線解析式可得y=3，故交點坐標為（0，3）.14.（奉賢2020一模9）若一條拋物線的頂點在軸上，則這條拋物線的表達式可以是___________（只需寫一個）【答案】;【解析】解：∵一條拋物線的頂點在y軸上，∴，即：b=0，∴這條拋物線的表達式可以是：.15．（浦東新區2020一模13）二次函數y＝﹣2（x+1）2的圖象在對稱軸左側的部分是．（填“上升”或“下降”）【答案】上升；【解答】解：∵﹣2＜0，∴二次函數的開口向下，則圖象在對稱軸左側的部分y隨x值的增大而增大，故答案為上升．16.（奉賢2020一模10）如果二次函數的圖像在它的對稱軸右側部分是上升的，那么的取值范圍是__________.【答案】;【解析】解：∵二次函數的圖像在它的對稱軸右側部分是上升的，∴二次函數的圖像開口向上，∴.17.（奉賢2020一模11）拋物線與軸交于點，如果點和點關于該拋物線的對稱軸對稱，那么的值是_________.【答案】-2;【解析】解：∵拋物線與y軸交于點A，∴點A的坐標是：（0，2），∵點和點A關于該拋物線的對稱軸對稱，∴拋物線的對稱軸是：直線x=1，即：，∴，解得：b=-2.18.（靜安2020一模14）某商場四月份的營業額是200萬元，如果該商場第二季度每個月營業額的增長率相同，都為，六月份的營業額為萬元，那么關于的函數解式是______．【答案】(或);【解析】解：設增長率為x，則五月份的營業額為：，六月份的營業額為：；故答案為：或.19．（浦東新區2020一模17）用“描點法”畫二次函數y＝ax2+bx+c的圖象時，列出了如下的表格：x…01234…y＝ax2+bx+c…﹣3010﹣3…那么當x＝5時，該二次函數y的值為．【答案】-8；【解析】解：從表格可知：拋物線的頂點坐標為（2，1），設y＝ax2+bx+c＝a（x﹣2）2+1，從表格可知過點（0，﹣3），代入得：﹣3＝a（0﹣2）2+1，解得：a＝﹣1，即y＝﹣（x﹣2）2+1，當x＝5時，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，故答案為：﹣8．20.（黃浦2020一模14）如圖，在△ABC中，BC=12，BC上的高AH=8，矩形DEFG的邊EF在邊BC上，頂點D、G分別在邊AB、AC上．設DE，矩形DEFG的面積為，那么關于的函數關系式是．（不需寫出x的取值范圍）．【答案】；【解析】解：設AH與DG交于點K，則可知，因為DG//BC，所以，所以即，解得，故.三、解答題21.（奉賢2019期中19）拋物線y=x2﹣2x+c經過點（2，1）．（1）求拋物線的頂點坐標；（2）將拋物線y=x2﹣2x+c沿y軸向下平移后，所得新拋物線與x軸交于A、B兩點，如果AB=2，求新拋物線的表達式．【答案】（1）(1,0)；（2）y=x2﹣2x;【解析】解：（1）把（2，1）代入y=x2﹣2x+c得4﹣4+c=1，解得c=1，所以拋物線解析式為=；∴拋物線的頂點坐標為（1，0）.（2）由（1）知拋物線的對稱軸為直線x=1，而新拋物線與x軸交于A、B兩點，AB=2，所以A（0，0），B（2，0），所以新拋物線的解析式為即．22.（長寧天山2019期中19）已知二次函數的圖像經過點.求這個二次函數的解析式，開口方向，對稱軸和頂點坐標.【答案】；開口向下；對稱軸：直線；頂點坐標【解析】解：將代入二次函數解析式得，解得∴函數解析式為∵，∴拋物線開口向下，對稱軸為，將x=-1代入解析式得y=9，所以頂點坐標為（-1,9）.23.（普陀2019期中20）已知二次函數的圖像經過、、三點.（1）求這個二次函數的解析式；（2）求出圖像的頂點坐標.【答案】（1）；（2）；【解析】解：（1）設一般式y=ax2+bx+c，由題意得，解得，∴；（2）∵，∴頂點坐標.24.（奉賢2020一模19）已知函數.（1）指出這個函數圖像的開口方向、頂點坐標和它的變化情況；（2）選取適當的數據填入下表，并在如圖所示的直角坐標系內描點，畫出該函數的圖像.…………【答案與解析】解：（1）∵a=-1<0，∴函數圖像的開口向下，∵，∴頂點坐標是：，∵拋物線的對稱軸是：直線x=2，∴當，y隨x的增大而增大，當，y隨x的增大而減小；（2）當x=-1，0，1，2，3，4時，y=-8，-3，0，1，0，-3；(如圖所示).25.（靜安2020一模21）已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線（b為常數）的對稱軸是直線x=1．（1）求該拋物線的表達式；（2）點A（8，m）在該拋物線上，它關于該拋物線對稱軸對稱的點為A'，求點A'的坐標；（3）選取適當的數據填入下表，并在如圖5所示的平面直角坐標系內描點，畫出該拋物線．【答案】（1）；（2）（-6，49）；（3）答案見解析.【解析】解：（1）∵對稱軸為，∴．∴；∴拋物線的表達式為．（2）∵點A（8，m）在該拋物線的圖像上，∴當x=8時，．∴點A（8，49）．∴點A（8，49）關于對稱軸對稱的點A'的坐標為（-6，49）．（3）列表，如下：拋物線圖像如下圖：26.（閔行2020期末19）已知二次函數圖像的最高點是A(1，4)，且經過點B(0，3)，與軸交于C、D兩點(點C在點D的左側).求△BCD的面積.【答案】S△BCD=6;【解析】解：設所求的二次函數解析式為，把B(0，3)代入得解得：.令，那么，解得：.∴CD=4.在△BCD中，·CD·OB=.27.（普陀2019期中21）在平面直角坐標系中，拋物線與軸的負半軸交于點、與軸交于點，且.（1）求的值；（2）如果點是拋物線上一點，聯結交軸正半軸于點，，求的坐標.【答案】（1）1（2）（4，12）【解析】解：（1）當x=0時，y=ax2-4=-4，則B（0，-4），所以OB=4，在Rt△OAB中，OA==2，∴A點坐標為（-2，0），把A（-2，0）代入y=ax2-4得4a-4=0，解得a=1;（2∵a=1，∴拋物線解析式為y=x2-4.設P（x，x2-4）∵，∴，作PH⊥x軸于點H，則AH=x+3，PH∥BC,∴,∴，∴x=4,∴y=x2-4=12,∴P（4，12）.28.（普陀2019期中24）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、，拋物線經過、兩點，且對稱軸為直線.（1）求拋物線的表達式；（2）如果點是這拋物線上位于軸下方的一點，且△的面積是.求點的坐標.【答案】（1）;（2）;【解析】解：（1）把x=0代入得，y=5；把y=0代入得，x=5；∴B(0，5)，A(5，0)，將A、B兩點的坐標代入

，得

，解得

,∴拋物線的解析為

;（2）過Q點作QC⊥x軸于點D，并延長交直線

于C，設點Q

，C(m,-m+5)，=

，∵

，，∴

，∴

，

∴Q(1,0)(舍去)，Q（4，-3）.29.（黃浦2020一模22）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線，其頂點為A．（1）寫出這條拋物線的開口方向、頂點A的坐標，并說明它的變化情況；（2）直線BC平行于x軸，交這條拋物線于B、C兩點（點B在點C左側），且，求點B坐標．【答案】(1)開口向下，A；在對稱軸左側上升，在對稱軸右側下降；（2）；【解析】解：（1）拋物線的開口方向向下，頂點A的坐標是，拋物線的變化情況是：在對稱軸直線左側部分是上升的，右側部分是下降的．（2）設直線BC與對稱軸交于點D，則AD⊥BD．設線段AD的長為m，則．∴點B的坐標可表示為．代入，得．解得（舍），．∴點B的坐標為．30.（奉賢2019期中22）某工廠生產一種火爆的網紅電子產品，每件產品成本16元，工廠將該產品進行網絡批發，批發單價y（元）與一次性批發量x（件）（x為正整數）之間滿足如圖所示的函數關系．（1）直接寫出y與x之間所滿足的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）若一次性批發量不低于20且不超過60件時，求獲得的利潤w與x的函數關系式，同時當批發量為多少件時，工廠獲利最大？最大利潤是多少？【答案】（1）當且x為整數時，；當且x為整數時，；當且x為整數時，y=20；（2）一次批發34件時所獲利潤最大，最大利潤是578元【解析】解：（1）當且x為整數時，；當且x為整數時，；當且x為整數時，；（2）當且x為整數時，，∴，∴∴∵∴當x=34時，w最大，最大值為578；答：一次批發34件時所獲利潤最大，最大利潤是578元．31.（松江2020一模20）已知二次函數.（1）將函數的解析式化為的形式，并指出該函數圖像頂點B坐標；（2）在平面直角坐標系中xOy中，設拋物線與y軸交點為C，拋物線的對稱軸與x軸交點為A