第06講等式性質與不等式性質1．理解不等式的概念，能在具體問題中建立不等式關系；2．掌握不等式的基本性質，能用不等式的基本性質解決一些簡單問題。一、等式的基本性質性質文字表述性質內容注意1對稱性可逆2傳遞性同向3可加、減性可逆4可乘性同向5可除性同向二、不等式的性質性質別名性質內容注意1對稱性a>b?b<a可逆2傳遞性a>b，b>c?a>c同向3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?ac<bcc的符號5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6正數同向可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7正數乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正三、比較兩個實數（或代數式）大小1、作差法、作商法是比較兩個實數（或代數式）大小的基本方法．①作差法的步驟：作差、變形、判斷差的符號、得出結論．②作商法的步驟：作商、變形、判斷商與1的大小、得出結論．2、介值比較法也是比較大小的常用方法，其實質是不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a與c之間的值，此種方法的關鍵是通過恰當的放縮，找出一個比較合適的中介值．【注意】（1）比較代數式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此時一定要保證代數式大于零；（2）作差時應該對差式進行恒等變形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明顯看出其正負號為止；（3）作商法適合于冪式、積式、分式間的大小比較，作商后應變形為能與“1”比較大小的式子，要注意營養函數的有關性質。考點一：利用不等式的性質判斷命題的真假例1．設、、為實數，且，則下列不等式正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為、、為實數，且，所以，，，，故A錯誤，D正確；當時，故B錯誤，因為，所以，故C錯誤；故選：D【變式訓練】已知，則下列結論不正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d，故A正確；∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴ac＞bd，故B正確；取，則，此時，故C錯誤；∵c＞d＞0，則，又a＞b＞0，則，故D正確．故選：C．考點二：比較兩個數（式）的大小例2．已知c＞1，且x＝－，y＝－，則x，y之間的大小關系是（）A．x＞yB．x＝yC．x＜yD．x，y的關系隨c而定【答案】C【解析】由題設，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故選：C.【變式訓練】比較大小：（1）和；（2）和，其中．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以；（2）因為，所以，所以.考點三：求代數式的取值范圍例3．已知，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,，又，，故選：C【變式訓練】已知，，則的取值范圍是______．【答案】【解析】設，所以，解得，因為，，則，，因此，.故答案為：.考點四：不等式的證明例4．用綜合法證明:如果，那么【答案】證明見解析【解析】證明:，即顯然，即.【變式訓練】（1）已知，且，證明：．（2）證明：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】證明：（1）由，且，所以，且所以，所以，即；所以，即．（2）要證，只需證，即證；即證，即證；即證，顯然成立；所以．1．下列命題為真命題的是（）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，則【答案】D【解析】對于A：當時，，A錯誤；對于B：當時，，B錯誤；對于C：取滿足，，而，此時，C誤；對于D：當時，則，所以，即，又，所以，D正確.故選：D.2．已知，，設，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意可知，當且僅當時，等號成立；即.故選：A3．已知，，則的范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設，得，解得：，所以，因為，，所以，，所有的范圍是.故選：C4．（多選）已知，則下列結論正確的為（）A．若，則B．若，，則C．若，則D．若，則【答案】CD【解析】對于A：當，，則，若，，，，顯然滿足，，但是、，此時，故選項A錯誤；對于B：因為若，所以，又，則，故選項B錯誤；對于C：因為，所以，即，所以，故選項C正確；對于D：若，則，又因為，所以根據不等式的同向可加性，得，故選項D正確；故選：CD5．（多選）對于實數，下列說法正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，【答案】BC【解析】對于A，因為，所以，所以，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，，所以，故B正確；對于C，因為，所以，，所以，故C正確；對于D，取，滿足，而，故D錯誤.故選：BC.6．（多選）若，，則下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】對于A，由，則，故A正確；對于B，，由，所以，故B錯誤；對于C，由，可得，所以，所以，故C錯誤；對于D，，由，則，即，故D正確.故選：AD.7．（多選）已知，，則（）A．的取值范圍為B．的取值范圍為C．ab的取值范圍為D．的取值范圍為【答案】AC【解析】因為，，所以，，，所以，的取值范圍為，的取值范圍為，故A選項正確，B選項錯誤；因為，，所以，，，，所以，ab的取值范圍為，的取值范圍為故C選項正確，D選項錯誤.故選：AC8．已知，試比較與的大小.【答案】【解析】，，.兩數作商，.9．（1）已知，求證：.（2）已知，求代數式和的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2），【解析】（1）（當且僅當等號成立）（2），∴．由，得①．由，得②．10．（1）已知，，求證：．（2）比較與的大小．【答案】（1）答案見解析；（2）【解析】（1）∵，∴又∵，∴．（2）∵∴．1．下列說法中，錯誤的是（）A．若，則一定有B．若，則C．若，則D．若，則【答案】A【解析】對于A，若，則，故A錯誤.對于B，由，可知，所以，所以.故B正確.對于C，，因為，所以，所以.故C正確.對于D，因為，所以.又，所以.故D正確.故選：A.2．已知，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對于A，因為，所以，即，故錯誤；對于B，取，則，故錯誤；對于C，由，得，所以，故錯誤；對于D，由，得，所以，故正確.故選：D.3．下列命題中，正確的是（）A．若，，則B．若，則C．若，，則D．若，則【答案】A【解析】對于A：由不等式的性質得，當，，則，故A正確；對于B：當時，故B錯誤；對于C：當，滿足；當，滿足，但，故C錯誤；對于D：當，滿足，但是，故D錯誤；故選：A4．（多選）下列命題為真命題的是（）A．若則B．若則C．若則D．若則【答案】AD【解析】對于，因為所以成立，故選項正確；對于，因為若，，則，故選項錯誤；對于，因為若，則，故選項錯誤；對于，因為，所以，因為，則，故選項正確，故選：.5．（多選）已知，，則下列正確的有（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】由，可得，又，所以，故A正確；由，可得，又，所以，故B錯誤；由，可得，又，所以，故C正確；因為，又，所以，故D錯誤.故選：AC.6．對于實數a、b、c，有下列命題：①若a＞b，則；②若a＞b，則；③若a＜b＜0，則；④若a＜b＜0，則；⑤若a＜b＜0，則；⑥若，則ac＜bd.其中，假命題的序號為______.（寫出所有滿足要求的命題序號）【答案】①②④⑤⑥【解析】對于①，當時，，故①錯誤；對于②，當時，不等式無意義，當時，由，可得，故②錯誤；對于③，由，則，，即，故③正確；對于④，由，根據不等式的倒數性質，則，故④錯誤；對于⑤，，由，則，即，，所以，故⑤誤；對于⑥，由，根據不等式的性質，可得，故⑥錯誤.故答案為：①②④⑤⑥.7．若，則與的大小關系為______．【答案】【解析】，故.故答案為：.8．已知，，試比較與的大小；【答案】（當且僅當時取等號）【解析】方法一：由題意，因為，，所以，，，所以，當且僅當時等號成立，所以（當且僅當時取等號）.方法二：由，當且僅當時等號成立，所以（當且僅當時取等號）.9．實數、滿足，.（1）求實數、的取值范圍；（