2021-2022學年山西省太原市高一下學期期中數學試題一、單選題1．復數在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先化復數為代數形式，再根據幾何意義確定點所在象限.【詳解】對應點為所以復數在復平面內對應的點位于第三象限，故選：C【點睛】本題考查復數幾何意義，考查基本分析計算能力，屬基礎題.2．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的加法法則求解【詳解】故選：A3．下列平面圖形中，通過圍繞定直線旋轉可得到如圖幾何體的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】逐項分析旋轉圖形可得旋轉體的立體圖，分析即可得答案.【詳解】解：A是上面一個圓錐，下面一個圓臺，不符合；B是上下兩個圓錐，中間一個圓柱，不符合；C是上面一個圓柱，下面一個圓錐，符合上圖；D是兩個圓錐，不符合.故選：C4．下列結論不正確的是（

）A．長方體是平行六面體 B．正方體是平行六面體C．平行六面體是四棱柱 D．直四棱柱是長方體【答案】D【分析】根據平行六面體及直棱柱的概念判斷即可；【詳解】解：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體，故長方體、正方體是平行六面體，平行六面體是四棱柱，側棱垂直底面的棱柱叫直棱柱，當直四棱柱的底面不是矩形時直四棱柱不是長方體，故D錯誤；故選：D5．給出以下結論，其中正確結論的個數是（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由平面向量數量積的定義對結論逐一判斷【詳解】由數量積的定義知，對于①，若，則或，不一定成立，①錯誤對于②，成立，②正確對于③，與共線，與共線，兩向量不一定相等，③錯誤對于④，，④正確故選：B6．已知復數i關于x的方程的一個根，則實數p，q的值分別為（

）A．0，1 B．0，-1 C．1，0 D．，0【答案】A【分析】利用實系數一元二次方程的虛根成對原理、根與系數的關系即可得出.【詳解】復數i關于x的方程的一個根，則復數也是關于的方程的一個根，∴，即；∴．故選：A.7．已知O是△ABC所在平面上的一點，若，則點O是△ABC的（

）A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心【答案】C【分析】作BD∥OC，CD∥OB，連接OD，OD與BC相交于點G,可得，又=-，則有=-，即AG是BC邊上的中線，同理，BO，CO也在△ABC的中線上,即可得出結果.【詳解】作BD∥OC，CD∥OB，連接OD，OD與BC相交于點G，則BG=CG(平行四邊形對角線互相平分)，∴，又，可得=-，∴=-，∴A，O，G在一條直線上，可得AG是BC邊上的中線，同理，BO，CO也在△ABC的中線上.∴點O為三角形ABC的重心.故選：C.8．已知，，，若，則下列結論正確的是(

)A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據向量線性運算的坐標表示即可求解．【詳解】∵，∴，．故選：B．9．已知圓錐的底面半徑為1，其側面展開圖是半圓，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用圓錐的側面展開圖，求出圓錐的母線以及圓柱的高，由圓錐的體積公式求解即可.【詳解】因為圓錐底面半徑為1，其側面展開圖是半圓，所以圓錐的底面周長為，則圓錐的母線長為2，故圓錐的高為，所以圓錐的體積為，故選：A．10．在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦定理與兩角和的正弦公式求解【詳解】，故為銳角，，則，由正弦定理得，故．故選：A11．已知等邊的直觀圖的面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由原圖和直觀圖面積之間的關系即可得結果.【詳解】因為直觀圖的面積為，所以，解得，故選：D.12．在中，點D在BC上，且，過D的直線分別交直線AB，AC于點M，N，記，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據平面向量線性運算法則得到，從而得到，再根據、、三點共線及平面向量共線定理的推論得到方程，解得即可；【詳解】解：依題意，又，即，即，所以，因為、、三點共線，所以，解得；故選：C二、填空題13．已知復數,則_______【答案】5【分析】根據復數模的計算公式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意知，復數，則，故答案為5.【點睛】本題主要考查了復數的模的計算，其中解答中熟記復數的模的計算公式是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于容易題.14．已知球O的表面積是其體積的3倍，則球O的半徑為______．【答案】1【分析】設出球的半徑，根據球的表面積公式與體積的等量關系，列方程即可求得半徑．【詳解】設球的半徑為，球的表面積是其體積的3倍，則，解得，故答案為：1．15．已知，，，則在上的投影向量的坐標為______．【答案】【分析】首先求出，的坐標，即可得到，，再根據求出在上的投影向量；【詳解】解：因為，，，所以，，所以，，所以在上的投影為，所以在上的投影向量為，故答案為：16．如圖甲，透明塑料制成的長方體容器內灌進一些水，固定容器一邊AB于地面上，再將容器慢慢傾斜．給出下面幾個結論：①水面EFGH所在四邊形的面積為定值；②圖乙中四邊形ADHE的面積為定值；③圖丙中為定值；④若，，記、分別是將四邊形ABCD和水平放在地面上時的水面高度，則；其中正確結論的序號是______．【答案】②③④【分析】①②③注意到水的體積和EF保持不變即可判斷；④根據棱柱的體積計算公式即可計算．【詳解】①由題圖可知水面的邊的長保持不變，但鄰邊的長卻隨傾斜程度而改變，可知①錯誤；②當容器傾斜如圖乙所示時，∵水的體積是不變的，∴棱柱的體積為定值，又，高不變，∴也不變，即四邊形ADHE的面積為定值，故②正確；③當容器傾斜如圖丙所示時，∵水的體積是不變的，∴棱柱的體積為定值，又，高不變，∴也不變，即為定值，故③正確；④當將四邊形ABCD水平放在地面上時，即圖甲所示時，設水的體積為V，則，∴；當將四邊形水平放在地面上時，水的體積任然為V，則，∴；∴，故④正確．故答案為：②③④．三、解答題17．已知復數z滿足．(1)求z及；(2)求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由復數及共軛復數的運算求解即可；（2）由復數的運算求解即可.【詳解】(1)解：由題意得：，(2)18．已知，，．(1)當時，求的值；(2)若，求實數的值．【答案】(1)9(2)【分析】（1）利用平面向量的運算法則和數量積運算法則進行計算；（2）由向量垂直得到等量關系，求出實數的值.【詳解】(1)當時，，故，(2)，，因為，所以，解得：.所以實數的值為.19．如圖，在中，，，，點是的中點，記，．(1)用，表示，；(2)求的余弦值．【答案】(1)，.(2)【分析】(1)根據題意，利用向量的加法的線性運算，直接計算即可.(2)根據題意，得，，且，由(1)得，，，所以，可以分別求出，然后，直接利用余弦定理即可求出的余弦值【詳解】(1)因為是的中點，，所以，，..(2)在中，，，，所以，，，且，所以，，，是的中點，所以，.因此，在中，，，，利用余弦定理得，.20．在中，，，，分別以AB，AC，BC所在直線為軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成3個幾何體，其體積分別記為，，．(1)求，，的值；(2)求以BC所在直線為軸旋轉所形成幾何體的內切球的體積．【答案】(1)，，；(2).【分析】（1）根據圓錐的體積公式進行求解即可；（2）根據內切球的性質，結合球的體積公式進行求解即可.【詳解】(1)以AB所在直線為軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成的圖形是圓錐，它的底面半徑為，它的高為，所以；以AC所在直線為軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成的圖形是圓錐，它的底面半徑為，它的高為，所以；以BC所在直線為軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成的圖形是有公共的底面的兩個圓錐，因為，，，所以，邊上的高為，所以有，所以底面半徑為，因此；(2)設以BC所在直線為軸旋轉所形成幾何體的內切球的半徑為，所以有：，所以以BC所在直線為軸旋轉所形成幾何體的內切球的體積為.21．在中，、、分別為內角、、的對邊，且，分別以、、所在直線為軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成個幾何體，其體積分別記為、、．(1)求證：；(2)求以所在直線為軸旋轉所形成幾何體的內切球的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）過點作，計算出，計算出、、，驗證成立即可；（2）取旋轉體的軸截面，利用等面積法可求得內切球的半徑，再利用球體體積公式可求得結果.【詳解】(1)證明：過點作，如下圖所示：由已知可得，由等面積法可得，以為軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體為圓錐，且該圓錐的底面半徑為，高為，所以，，同理，以為軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體為兩個共底面的圓錐拼接而成，且兩個圓錐的底面半徑均為，高分別為、，所以，，所以，.(2)解：以為軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體為兩個共底面的圓錐拼接而成，取該幾何體的軸截面如下圖所示：設內切球球心為點，則在線段上，設球的半徑為，由等面積法可得，即，解得.所以，球的體積為.22．在中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，，，且．(1)求角B的值；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據向量平行的充要條件及正弦定理角化邊，再用余弦定理可求出角B的余弦值及角B的范圍即可求解；（2）根據余弦定理找到邊的范圍，然后代入三角形的面積公式即可求解.【詳解】(1)由，，且，得及正弦定理，得，即.由余弦定理，可得，(2)由（1）知，，由余弦定理，得，，即，當且僅當時，等號成立.當時，取的最大值為..所以面積