第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年湖南省永州市名校聯(lián)盟高二（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設集合A={x|?2≤x<1}，B={?2,0,1,2}，則A∩B=(

)A.{?2,0,1} B.{?2,?1,0} C.{?2,0} D.{2,0,1}2.已知z?=1?z1+i，則復數(shù)A.2+i B.2?i C.1?i D.?1+i3.設a，b均為單位向量，且a?b=14A.3 B.6 C.6 D.4.已知銳角α滿足tan2α=43，則sin2A.?1 B.?25 C.455.已知等比數(shù)列{an}，Sn是其前n項和，S2A.72 B.8 C.7 D.6.通遼是“最美中國文化旅游城市”，境內(nèi)旅游資源豐富，自然景觀優(yōu)美，其中的大青溝，孝莊園文化旅游區(qū)，珠日河草原旅游區(qū)，庫倫三大寺，孟家段國家濕地公園，銀沙灣，可汗山都是風景宜人的旅游勝地，某班4個同學分別從7處風景點中選擇一處進行旅游觀光，則不同的選擇方案是(

)A.C74種 B.A74種 C.477.我國古代《九章算術》將上下兩個平行平面為矩形的六面體稱為“芻童”.如圖，在芻童ABCD?EFGH中，AB=4，AD=2，EF=8，EH=4，平面ABCD與平面EFGH之間的距離為3，則此“芻童”的體積為(

)A.36 B.46 C.56 D.668.若M，N分別是雙曲線C：x2?y23=1的右支和圓D：(x?5)2+(y?1)A.52?3 B.52?2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在(2x?x)A.不存在常數(shù)項 B.二項式系數(shù)和為1

C.第4項和第5項二項式系數(shù)最大 D.所有項的系數(shù)和為12810.已知函數(shù)f(x)=x3?x+1，則A.f′(x)=3x2?1 B.f(x)有兩個極值點

C.點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心 11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，點P在截面BA.三棱錐P?A1BD的體積為16

B.線段PA的長為103

C.點P的軌跡長為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=x2lnx+1x+a13.鎮(zhèn)江西津渡的云臺閣，是一座宋元風格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成為鎮(zhèn)江市的地標建筑之一.如圖，在云臺閣旁水平地面上共線的三點A，B，C處測得其頂點P的仰角分別為30°，60°，45°，且AB=BC=40米，則云臺閣的高度為______米.14.設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點，以F1F2為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點P，且|PF四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

記△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b2+c2?a2=bc，sinA=7sinC．

(1)求bc16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=AD=2AB=2．

(1)證明：平面PCD⊥平面PAD；

(2)求平面PBC與平面PCD的夾角的余弦值．17.(本小題15分)

隨著網(wǎng)絡技術的迅速發(fā)展，各種購物群成為網(wǎng)絡銷售的新渠道.2023年11月某地臍橙開始采摘上市，一臍橙基地隨機抽查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售臍橙的情況如下：臍橙數(shù)量/盒[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)[500,600]購物群數(shù)量/個1218m3218(1)求實數(shù)m的值.并用組中值(每組的中點值)估計這100個購物群銷售臍橙總量的平均數(shù)；

(2)假設所有購物群銷售臍橙的數(shù)量X～N(μ,σ2)，其中μ為(1)中的平均數(shù)，σ2=14400.若該臍橙基地參與銷售的購物群約有1000個，銷售的臍橙在[256,616)(單位：盒)內(nèi)的群為“A級群”，銷售數(shù)量小于256盒的購物群為“B級群”，銷售數(shù)量不小于616盒的購物群為“特級群”，該臍橙基地對每個“特級群”獎勵600元，每個“A級群”獎勵100，對“B級群”不獎勵，則該臍橙基地大約需要準備多少獎金？(群的個數(shù)按四舍五入取整數(shù))

附：若X～N(μ,σ2)18.(本小題17分)

已知橢圓C：x212+y24=1及直線l：x?y+t=0．

(1)若直線l與橢圓沒有公共點，求實數(shù)t的取值范圍；

(2)P為橢圓C上一動點，若點P19.(本小題17分)

設函數(shù)f(x)=ex?alnx．

(1)當a=1，求f(x)在點(1,e)處的切線方程；

(2)證明：當a>0時，f(x)≥2a?alna答案解析1..C

【解析】解：集合A={x|?2≤x<1}，B={?2,0,1,2}，

則A∩B={?2,0}．

故選：C．

2..C

【解析】解：設z=a+bi(a,b∈R)，

則z?=a?bi=1?a+bi1+i=1?(a+bi)(1?i)(1+i)(1?i)=1?(a+b)+(b?a)i2，

所以a=1?a+b23..B

【解析】解：a，b均為單位向量，且a?b=14，

則|a4..D

【解析】解：因為tan2α=43=2tanα1?tan2α且α為銳角，

所以tanα>0，

解得tanα=12，

則sin【解析】解：設等比數(shù)列{an}的公比為q，

因為S2=3a2，可得a1+a2=3a26..D

【解析】解：由題意每位同學都有7種選擇，則4名同學共有74種選擇方案．

故選：D．7..C

【解析】解：根據(jù)題意可得所求幾何體的體積為：

13×(4×2+8×4+8×32)×3=56．8..A

【解析】解：圓D：(x?5)2+(y?1)2=1的圓心D(5,1)，半徑r=1，

雙曲線C：x2?y23=1，則a=1，b=3，c=a2+b2=2，

設左焦點為F1(?2,0)9..AC

【解析】解：因為展開式的通項公式為Tr+1=C7r(2x)7?r(?x)r=27?r?(?1)r?C7r?x2r?7，

對A，由2r?7=0，得r=72(舍去)，所以展開式不存在常數(shù)項，故A正確；

對B，二項式系數(shù)和為2710..ABC

【解析】解：易知f(x)的定義域為R，

可得f′(x)=3x2?1，故選項A正確；

當x<?33時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

當?33<x<33時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當x>33時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f(x)在x=33處取得極小值，在x=?33取得極大值，

此時f(x)極小值=f(3311..ACD

【解析】解：在正方體中，AC1⊥平面B1CD1，平面B1CD1//平面A1BD，

且兩平面間的距離為13|AC1|=33，又△A1BD的面積S△ABD=32，

∴三棱錐P?A1BD的體積VP?ABD=13×32×33=16，A正確；

設△B1CD1的中心為O1，則O1C1=33，AO1=233，

PO1=PC12?12..?1

【解析】解：f(x)=x2lnx+1x+a為奇函數(shù)，

則f(x)+f(?x)=x2lnx+1x+a+x2ln?x+1?x+a=x13..8【解析】解：設云臺閣的高度PO=?，則Rt△PAO中，tan30°=POOA=33，可得OA=3?，

同理，在Rt△PBO、Rt△PCO中，算出OB=33?，OC=?．

因為△AOC中，AB=BC=40米，所以OB是AC邊上的中線，可得OB=12(OA+OC)，

兩邊平方得|OB|2=14(OA+14..102

【解析】解：設以F1F2為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點設為P，

則∠F1PF2=90°，由雙曲線的定義可得|PF1|?|PF2|=2a=2|PF2|，

所以|PF1|=3a，|PF2|=a，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，

即有9a2+a2=4c2，即c2=15..解：(1)因為b2+c2?a2=bc，由余弦定理可得：b2+c2?a2=2bccosA，

所以cosA=12，而A∈(0,π)，

所以A=π3，

又因為sinA=7sinC，可得a=7c，可得角C為銳角，

且sinC=sinA7=2114，

cosC=5714，

所以sinB=sin【解析】(1)由題意及余弦定理可得cosA的值，再由角A的范圍，可得角A的大小；

(2)由題意可得BD=BA+AD=BA+116..(1)證明：因為PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，所以PA⊥CD．

因為底面ABCD是矩形，所以AD⊥CD．

又PA∩AD=A，AD，PA?平面PAD，

所以CD⊥平面PAD．

又因為CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD．

(2)解：以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則D(0,2,0)，P(0,0,2)，A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，

所以PC=(1,2,?2),BC=(0,2,0),CD=(?1,0,0)．

設平面PCD的一個法向量為m=(x2,y2,z2)，則

m?PC=0,m?CD=0?x1+2y1?2z1=0,?x1=0.，取y2=1，則x2=0，z2=1，

可得平面PCD的一個法向量為m=(0,1,1)【解析】(1)由題意可得PA⊥CD，AD⊥CD，可證CD⊥平面PAD，進而可證結論；

(2)以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得平面PBC的一個法向量與平面PCD的一個法向量，利用向量的夾角公式可求得平面PBC與平面PCD的夾角的余弦值．

17..解：(1)由題意得，12+18+m+32+18=100，

解得m=20，

則這100個購物群銷售臍橙總量的平均數(shù)為：1100(150×12+250×18+350×20+450×32+550×18)=376；

(2)由題意，μ=376，σ=120，則256=μ?σ，616=μ+2σ，

故P(256≤X<616)=P(μ?σ≤X<μ+2σ)=12×P(μ?σ≤X<μ+σ)+12×P(μ?2σ≤X<μ+2σ)

≈12×0.683+12×0.954=0.8185，

故“A級群”約有1000×0.8185=818.5≈819個，【解析】(1)利用頻數(shù)之和等于樣本總數(shù)易得m值，利用與頻數(shù)分布表有關的平均數(shù)公式計算即得；

(2)由題意，結合(1)的結果易得μ，σ的值，根據(jù)“A級群”，“特級群”的范圍，利用正態(tài)分布曲線的對稱性，求出對應的概率，再計算出需準備的獎金即可．

18..解：(1)聯(lián)立方程組x?y+t=0x212+y24=1，消去y得：4x2+6tx+3t2?12=0，

因為直線l與橢圓C沒有公共點，

所以Δ=36t2?4×4×(3t2?12)<0，解得t>4或t<?4，

所以實數(shù)t的取值范圍為(?∞,?4)∪(4,+∞)；

(2)由題意，點P到直線l距離的最大值，

等價于與直線l平行且與橢圓C相切的直線與直線l間的距離，

由(1)中，Δ=36t2?4×4×(3t2?12)=0，解得t=4或t=?4，

此時直線l1：x?y?4=0或直線l2：x?y+4=0與橢圓C相切，

當l1與l之間的距離為62時，可得|t+4|【解析】(1)聯(lián)立方程組，根據(jù)題意，利用Δ<0，即可求得實數(shù)t的取值范圍；

(3)根據(jù)題意，把點P到直線l距離的最大值，轉化為直線l平行且與橢圓C相切的直線l1與直線l間的距離，由(1)直線l1：x?y?4=0或直線l2：x?y+4=0與橢圓19..解：(1)當a=1時，f(x)=ex?lnx，

則f′(x)=ex?1x，即f′(1)=e?1，

所以f(x)在點(1,e)處的切線方程為y?