十、《導數》變式題（命題人：廣大附中王映）

一導數的概念與運算

1?如果質點A按規律s=2戶運動，則在片3s時的瞬時速度為（）

A.6m/sB.18m/sC.54m/sD.81m/s

解析：??H=6產，???5缶3=54.答案：C

變式：定義在D上的函數/（x）,如果滿足：VxeD,三常數M>°,都有"（x）l

WM成立，則稱是D上的有界函數，其中M稱為函數的上界.

S（r）=~+at

文（1）若已知質點的運動方程為“1，要使在'[°，+8）上的每一

時刻的瞬時速度是以M=1為上界的有界函數，求實數”的取值范圍.

理（2）若己知質點的運動方程為s⑺=,2/+1—孔，要使在teg+oo）上的每

一時刻的瞬時速度是以M=1為上界的有界函數，求實數a的取值范圍.

工+。1

解:.由6,(f)|wi,得W1

令（什1）2,顯然g[t]在[0,+00）上單調遞減,

則當ff+8時，gO)-i.

/?(/)=—J--1

令GIT,顯然〃⑺在［°，+8)上單調遞減，

則當r=0時，)max"(0)=°a>0

；.0WaWl；

故所求。的取值范圍為OW“W1.

S(r)=----a|一~--a\

(2)V21+\.由|S(r)lwi,得121+1W1

g(d=-1

&t+l,V(2r+1]3

令則

當fe[0，+8）時，有g（/）＜。，

g⑺

72t+l在[0,+8)上單調遞減.

-1gV)max=g(0)=1

故當r=0時，有；

g⑺茄

又,當L*+8時,-0

——+1>1

g?G(0,l]TtbflV27+1

,從而有WO,且；.OWaWl；

故所求a的取值范圍為OWaWl.

〃2+4￥）力2）

/(%)=-,則lim

2.已知XAx-?0/x的值是（)

11

A.4B.2C.4D,-2

解:

/(2+Ax)—/(2)_1

lim/1(2)=-X

AXTOAr27選A

得x=2

設八3）=4,則1訕但止組為

遮1：J02h)

A.-1B.-2C.13D.1

解：

/(3-/z)-/(3)=-1/'(3)=-2

-Llim

2h2-力->o—h2

選B.

/(%+3-/(%-3日坐

設在x。可導，則lim于

變式2：Ax

()

A2/(曲)f,M37‘00)"(x)

3.人教版選修1一1第84頁例2,選修2—2第8頁例2：

根據所給的函數圖像比較曲線〃⑺在「。，小附近得變化情況。

變式：函數的圖像如圖所示，下列數值排序正確的是()

A.。<戶(2卜戶丫

C.0</(3)<戶(2)</("3)'-/⑵(2)ri

D.0<〃3)-/(2卜戶⑵寸⑶。1231x

解：設x=2,x=3時曲線上的點為A、B,點A處的切線為AT

點B處的切線為BQ,

."(3土穴2)=3-2

'"(3)=&0,f{2}=kAT,

如圖所示，切線BQ的傾斜角小于

直線AB的傾斜角小于Q

切線AT的傾斜角

謁Q<R的

01234x

所以選B

4.人教版選修1一1第93頁習題A組第4題，選修2—2第18頁習題A組第4題,

求所給函數的導數：

3nxd-1

(文科)y=x+iog2%；y=xe'y=——

sinx

(理科)y=(x+l)99；y=2e~x-,y=2xsin(2x+5)

變式：

設火x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x<0時，尸(x)g(x)+/(x)g'(x)>0

且g(3)=0.則不等式_/(x)g(x)VO的解集是(

)

A.(―3,0)U(3,4-oo)B.(-3,0)U(0,3)

C.（—8,—3）u（3,+oo）D.（—8,—3）u（0,3）

5.人教版選修1一1第93頁A組第6題、選修2?2第18頁A組第6題

已知函數y=xlnx.（1）求這個函數的導數；（2）求這個函數在點犬=1處的切線的

方程.

X

變式1：已知函數y=e.（1）求這個函數在點x=e處的切線的方程；

（2）過原點作曲線y="的切線，求切線的方程.

解：⑴依題意得：切點為儂，〃），=?,

ee

由點斜式得切線方程y-e=e[x-e]（

即y=eex-ee+x+ee.

（2）設切點為）丁"）-=

由點斜式得y-e'"=e"（x-xo）,

,,o

切線過原點，??-0-/°=^'（0-xJ/.'eLO,:.x^l,：.

切點為（Le），k=e,由點斜式，得：y-e=e（x-\）,即：y-ex.

變式2：函數y=ax2+l的圖象與直線y=x相切，貝！|。=（）

\\

A.8B.4c.2D.1

解：設切點為（如為），y'島=2",.?.攵=2/=1,①

又點（/%）在曲線與直線上，

即「。=就+1

1>°=的②

1

a=

由①、②得4,選B

說明：1.在“某點處的切線”與“過某點的切線”意義不同，注意審題，后者一定要先

“設切點的坐標”2.求切線方程的步驟是：（1）明確切點；（2）確定該點處的切線的

斜率（即該點處的導數值）；（3）若切點不明確，則應考慮先設切點.

6.人教版選修1一1第99頁例2選修2-2第25頁例2

判斷下列函數的單調性，并求出單調區間：

變式1：函數的一個單調遞增區間是

A.[-1,0]B.第C.[1.2]D.觴

,、x,1e-x*e(1-xbe"

〃x)=x-e-x=—.f(x)=——2—=-----2—>0,X<\

解："㈤網,選A

或/，(x)=l-e-A+x-e-AX-l)=(l-^)-e-A>0,ve-x>0,：.x<l.(理科要求：復合函

數求導)

y=~x3+x2+ax-5

變式2：(1)己知函數3(1)若函數的單調遞減區間是(-3,1),

則。的值是.(2)若函數在U，+8)上是單調增函數，則a的取值

范圍是_.

解：⑴若函數的單調遞減區間是(-3,1)=(-3,D={x|/'(x)<0},⑵若函數在

”,+8)上是單調增函數O口，+8)=肛:(%)20}

12

解：(1)y=x+2%+a,因為函數的單調遞減區間是(-3,1)

=(-3,1?)<0},

所以-3,1是方程/+2x+a=°的兩個實數根，由韋達定理，(一3卜1=。,二。=一3(草

圖略)

⑵若函數在口，+8)上是單調增函數0口，+8)之亞/口)住，，/

如圖示，分類討論：'/

1當即4-4處0,即位1,*廉條件成立；

bD/i-W////\j/

2當ILI即-3為<1,*沈條件成立；

▼

綜上，42-3,*以條件成立，危-3為所求.

變式3：設厚。，點P(f,0)是函數/(X)=%3+HX與g(%)=6x2+C的圖象

的一個公共點，兩函數的圖象在點P處有相同的切線.

(I)用,表示a,b,c；

(ii)若函數產/O)-gO)在(一1,3)上單調遞減，求，的取值范圍.

解：(D因為函數/(%),gO)的圖象都過點(，，0),所以/0)=。，

即戶+/=0.因為件0,所以。=一產.

又因為/(x),gO)在點(L0)處有相同的切線，所以/

而f(%)=3x2+a,g(光)=2如所以3"+a=2bt.

將a=一-代入上式得b=t.因此c=ab=-P.故a=-t2,h=t,

c=-P.

(n)解法

y=/(x)-g(尤)=*3-/*一tx2+t3,y=3x2-2tx-t2=(3x+t)

當y=(3x+f)(x-f)<0時，函數y=/(x)-g(x)單調遞減.

r>0,貝!J_'vxaf〈o,則tvx<一,

由y<0，若3；若3

由題意，函數V=/(x)-g(x)在(-1,3)上單調遞減，則

t

r>3^6__>3.即f<-9或，>3.

所以3一

所以f的取值范圍為(-0°-9]U[3,+OO).

解法二：y=/O)-g(x)=%3-dx_52+戶,y=3X2-2tx-t2=(3x+t^x-t)

因為函數y=/O)-g(x)在(一1,3)上單調遞減，且y=(3x+r)(x-f)是

(—1,3)

上的鄴物線，

；1蜘位例HWiiii

所以E即解得t<-9或總3.

所以「的取值范圍為(-8,-9]u[3,+8).

7.人教版選修1-1第103頁例4,選修2—2第29頁例4

/（X）=_X3-4X+4

求函數3的極值.

人教版選修1一1第106頁例5,選修2—2第32頁例5

求函數3在1°，3」上的最大值與最小值..

變式1：函數/0）的定義域為開區間①力），導函數f（x）在力）內的圖象如

圖所示，則函數/（%）在開區間（°，〃）內有極小值點（）

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

解：注意審題，題目給出的是導函數的圖像。先由導函數取值的正負確定函數的單調性,

然后列表可判斷函數極小值點的個數。選A

變式2：已知函數/㈤=加+加+5在點無。處取得極大

值5,其導函數丁=/'（龍）的圖象經過點a°）,

圖所示.求：

（I）%的值；

（II）0力"的值.

解:

（I）由圖得

X(0,1)1(1,22

)

00

極極

大小

值值

則玉＞=1;

"(1)=5a+Z?+c=5

</,1(1)=0<3a+2b+c=O

(2)=012a+4b+c=O

依題意得〔即〔

(H)

.?.a=2,b=-9,c=12

蜘3：

4

若函數/(燈="'-"+4,當尤=2時，函數/(光)有極值3,

(1)求函數的解析式；

(2)若函數/(%)=%有3個解，求實數k的取值范

圍?解：f(x)=3ax2-b

(1)由題意：

f[x)=~x3—4x+4

■■所求解析式為3

(2)由(1)可得：/(%)=%2—4=(%—2)(%+2)

令/反)=(),得x=2或x=-2

當x變化時，/(x)、/W的變化情況如下表:

—

單調遞增/單調遞減、單調遞增/

28

因此，當犬=-2時，/W有極大值3

當x=2時，有極小值

f[x}=~xi-4x+4-

函數3

y=k

428

―—<k<.

由圖可知：33

/(x)=x3—hx2—2x+c

變式4：已知函數2，對x?(―1,2),不等式f(x)?c?恒

成立，求c的取值范圍。

解：

f?(x)=3x2-x-2=(3x+2)(X-1),函數/GJ的單調區間如下表:

X1(1,+?)

222

<—?,一3)-3(-3,1)

翼+0一0+

(X

)

f9極大9極小9

)值值

_L222

32

f(x)—x—2x—2x+c,x?(—1,2),當x=—3時，/(x)=27-]-c為極大值,

而/(2)=2+c,則/(2)=2+c為最大值。

要使f(x)?c2(x?[-1,2))恒成立，只需c2V(2)=2+c

解得c?一1或c?2

三、導數的在研究函數中的應用及生活中的優化問題

8.人教版選修1一1第108頁B組習題，選修2—2第34頁B組習題

利用函數的單調性，證明：lnx<x<e',x>0

1一—51n

談L證明：(工+1歸xx+1x>—1

證明：⑴構造函數/3=ln(x+l)-x,

1=~

X+1x+1(X>T),當1=0,/(0)=0,得下表

+0—

單調遞增極大值〃°)=°單調遞減

總有/(x)</(0)=0,ln(x+l)-x<0,.,.ln(x+l)<x.

另解X+1x+\(x>T),當1=0,/(O)=o,

當-IvxvO,/1)>(),單調遞增，?.?-1<%<。,/(九)</(。)=。，……①

當尤>0,/(x)<O,/(x)單調遞減，.”>0,/0)</(0)=0,..........②

當1=0,〃0)=0.........................................③

綜合①②③得:當x>~［時，/(x)w°，-1.ln(x+l)-x<0,ln［i+l)<x.

g(x)=ln(x+l)+--1,18(x)=-=

⑵構造函數X+lX+l(X+l)20+1)2,

當x=0,g(O)=O,當T<x<0,g'3<o,g(x)單調遞減；

當%>O,g(x)>O,g(x)單調遞增;-X—O，gW極小值==k(X)］min=g(O)=。,

ln(x+l)+--1>O,

總有g(x)?g(O)=O，，x+l即：

x+l

<ln［x+l)<x

綜上(1)(2)不等式x+l成立.

變式：(理科)設函數f(x：)=(l+x)2Tn(l+x)2,若關于X的方程f(x)=x?+x+a在［0,2］上恰好有

兩個相異的實根，求實數a的取值范圍.

解：

方程f(x)=x?+x+a,即x—a+1—ln(l+x)2=0,t己g(x)=x—a+1—ln(I+x)2.

，r、12x-1

所以1+xX+l由g'(x)>0,得x<—1或X>1,由g(x)<0

得一

所以g(x)在［0,1］上遞減，在口,2］上遞增,為使f(x)=x2+x+a^［0,2］上恰好有兩

個相異的實根，只須g(x)=o在［°，D和Q，2］上各有一個實根，于是有

9,函數f(x)=X3+3x(XER),若加小2)+〃1一%X)>。恒成立，求實數m的取

值范圍

解：由f(%)=3%2+3>3>0,得xe(-co,+co),單調遞增；

又(-00,4-00),-.re卜oo,+磯/(-x)=(-x］3+3(-x)=-x3-3x=-7(x),

所以/㈤是奇函數.儂2)+川一斕>0,

■/(只在1°°，+8)上單調遞增，：.mx2>mx-\恒成立，即：

mx2-mx+l>Q恒成立，分類：①當，"=00寸/>°恒成立，機=0適合;

②當〃年0,mx2-mx+\>0恒成立｛加>03打解得:0<加<4;

綜上，Ow〃zv4

說明：(1)通過研究函數的性質(單調性與奇偶性)，利用函數的性質解決不等式問題,

是函數思想的重要應用.(2)找尋使mx2>mx-\恒成立的條件實際上依然用的是函數圖

像(數形結合)的函數思想.

變式:設函數/。)=%3+3心€R),若/(加sine)+〃l-M>0(0三但可恒成立,

求實數m的取值范圍.

解：由f(%)=3%2+3>3>0,得A-e(-oo,+co),單調遞增；

又xG(-co,+oo),-xE{-co,+oo),/(-X)=(-X]3+3[-X)=-X3-3X=-7(A:),

所以/(x)是奇函數..二/恤sin盼一用T),

：.msin6>m-l：.m[\-sin6>)<l

恒成立，即【2J恒成立.

6>=-,0<10<0<~,

①當2成立；mER;②當2

o加v--------0

l-sin/9

10.如圖,曲線段OMB是函數/(x)=x2(°4xW6)的圖象,BA_LX軸于點A,曲線段

OMB上一點M9")處的切線PQ交x軸于點P,交線段AB于點Q

(1)若t已知,求切線PQ的方程(2)求AQAP的面積的最大值

?

解：(1)/(x)=2x,所以過點M的切線的斜率為

y)=2，

2

由點斜式得切線PQ方程為y一廠二2/(XV),

2

即y=2tx-t……①

s=_|AP||AQ|=_(6-x)y

△QAPOIII1cPQ

⑵22................②

對①令x=6得的121........③

令y=0得2........④

1t11al

。—(6—_)(12r—/)=一/一6,2+36r

③④代入②得22

SA0AP=~t2-12t+36

A0AP

4,令s=Q解得f=4或e12(舍去)

T(0,4)4(4,6)

S'+0-

S增極大值64減

所以當t=4時Q』3尸有極大值64,

所以當t=4時,AOAP的面積的最大值為64.

11.用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去

一個小正方形，然后把四邊翻折90°角，再焊接而成，問該容器的高為多少時，

容器的容積最大？最大的容積是多少？

解：設容器的高為x,容器的體積為V.

則V=(90-2x)(48-2x)x,(0<x<24)

=42-276N+4320x

2

V=12x-552x+4320x

由V'=0得x=10,x=36