第7章平面圖形的認(rèn)識（二）（基礎(chǔ)、典型、易錯、壓軸）

分類專項訓(xùn)練

【基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2023春?江蘇?七年級專題練習(xí)）如圖所示，直線”，匕被直線c所截，則N1與N2是（）

A.同位角B.內(nèi)錯角C.同旁內(nèi)角D.對頂角

【答案】C

【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角的定義可判斷.

【詳解】和N2都在直線c的下側(cè)，且N1和N2在直線〃之內(nèi)

，N1和N2是同旁內(nèi)角的關(guān)系

故選：C.

【點睛】本題考查同旁內(nèi)角的理解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)定義來判斷.

2.（2022春?江蘇常州?七年級校考期中）2022年2月4日，第二十四屆冬季奧林匹克運動會在北京隆重開

幕.此次冬奧會的吉祥物“冰墩墩”是熊貓形象與冰晶外殼相結(jié)合，體現(xiàn)了追求卓越、引領(lǐng)時代以及面向未來

的無限可能、在下面的四個冰墩墩圖片中，能由如圖經(jīng)過平移得到的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合圖形，對選項進(jìn)行一一分析，選出正確答案.

【詳解】根據(jù)平移的性質(zhì)，平移后不改變圖形的形狀和大小，也不改變圖形的方向（角度），符合條件的只

有c.

故選c.

【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2022春?江蘇常州?七年級校考期中）將下列長度的木棒首尾依次相接，不能構(gòu)成三角形的是（）

A.5,6,10B.3,4,5C.11,6,5D.5,5,5

【答案】C

【分析】根據(jù)構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊逐項驗證即可

得到答案.

【詳解】解：A、由于5+6=11>10,10-5=5<6,確定該選項所給長度的木棒首尾依次相接，能構(gòu)成三角

形，不符合題意；

B、由于3+4=7>5,5-3=2<4,確定該選項所給長度的木棒首尾依次相接，能構(gòu)成三角形，不符合題意；

C、由于5+6=11,確定該選項所給長度的木棒首尾依次相接，不能構(gòu)成三角形，符合題意：

D、由于三條相等邊組成了等邊三角形，確定該選項所給長度的木棒首尾依次相接，能構(gòu)成三角形，不符合

題意；

故選：C.

【點睛】本題考查構(gòu)成三角形三邊條件，熟練掌握構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任

意兩邊之差小于第三邊是解決問題的關(guān)鍵.

4.（2022春.江蘇常州.七年級常州市清潭中學(xué)校考期中）N1與N2是同旁內(nèi)角，4=40。，下列說法正確的

是（）

A./2=40°B.N2=140°

C./2=40。或/2=140。D./2的大小不確定

【答案】D

【分析】兩直線平行時同旁內(nèi)角互補，不平行時無法確定同旁內(nèi)角的大小關(guān)系.

【詳解】解：同旁內(nèi)角只是一種位置關(guān)系，并沒有一定的大小關(guān)系，只有兩直線平行時，同旁內(nèi)角才互補.

二N2的大小不確定，

故選：D.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，特別注意，同旁內(nèi)角互補的條件是兩直線平行.

5.（2023春?江蘇?七年級專題練習(xí)）下列四個圖形中，N1與N2互為內(nèi)錯角的是（）

【分析】根據(jù)內(nèi)錯角的定義逐一判斷即可.

【詳解】解：A.N1與N2不是內(nèi)錯角，不符合題意，選項錯誤；

B.N1與N2不是內(nèi)錯角，不符合題意，選項錯誤；

C.N1與N2是內(nèi)錯角，符合題意，選項正確；

D.N1與N2不是內(nèi)錯角，不符合題意，選項錯誤，

故選C.

【點睛】本題考查了內(nèi)錯角，能根據(jù)內(nèi)錯角的定義正確判斷是解題關(guān)鍵.

6.（2023春?江蘇?七年級專題練習(xí)）一個九邊形的內(nèi)角和為（）

A.900°B.1080°C.1260°D.1440°

【答案】C

【分析】先由多邊形的內(nèi)角和公式（n-2p。，計算即可.

【詳解】解：（9—2）x180。

=7x1800

=1260°

故選：C.

【點睛】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和公式，熟練掌握內(nèi)角和公式是解決問題的關(guān)鍵.

7.（2023春?江蘇?七年級專題練習(xí)）已知三條線段長分別為女m、4cm、?cm,若這三條線段首尾順次聯(lián)

結(jié)能圍成一個三角形，那么。的取值范圍是（）

A.1cm<a<5cmB.2cm<a<6cmC.4cm<a<7cmD.1cm<a<7cm

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：?.?三條線段長分別為3cm、4cm、“cm,若這三條線段首尾順次聯(lián)結(jié)能圍成一個三角形，

...4-3<a<4+3,即a的取值范圍是：lcm<a<7cm.

故選：D.

【點睛】本題考查J'三角形的三邊關(guān)系.掌握“用兩條較短的線段相加，如果不大于最長那條線段就不能夠

組成三角形”是解本題的關(guān)鍵.

二、填空題

8.（2021春?江蘇蘇州?七年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校校考期中）如圖，將周長為20個單位的..43C沿邊8c

向右平移3個單位得到_DEF，則四邊形ABFD的周長為.

【答案】26

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：由平移的性質(zhì)可知">=CF=3,AC=DF,

JWC的周長為20,

,AB+AC+BC=30,

：.J）EF的周長=AD+AB++OF=池+AB+3C+CF+OF=26,

故答案為：26.

【點睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，熟知平移只改變位置不改變形狀和大小是解題的關(guān)鍵.

9.（2023春?江蘇?七年級專題練習(xí)）如圖，是ABC的外角，且N4CD=65。，ZA=35°,則NB=

【答案】30

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角與外角之間的關(guān)系解答即可.

【詳解】解：：ZA8=65。，ZA=35。，

ZB=ZACD-ZA=65°-35°=30°.

故答案為：30.

【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系，掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角

和是解題關(guān)鍵.

10.（2023春?七年級單元測試）如圖所示，圖中用數(shù)字標(biāo)出的角中，N2的內(nèi)錯角是

【答案】Z6

【分析】兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）

的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角，由此即可判斷.

【詳解】解：圖中用數(shù)字標(biāo)出的角中，/2的內(nèi)錯角是N6.

故答案為：Z6.

【點睛】本題考查內(nèi)錯角的概念，關(guān)鍵是掌握內(nèi)錯角的定義.

三、解答題

11.（2023春?七年級單元測試）根據(jù)如圖，寫出相應(yīng)的幾何語言:

（1）判定方法1：

，AB//CD.

（2）判定方法2：

二AB//CD.

(3)判定方法3：

+=180°,

:.AB//CD.

【答案】(1)N1;Z2

(2)Z2；Z3

(3)Z2；Z4

【分析】根據(jù)平行線的判定方法求解即可.

【詳解】(1)判定方法1：

,?*Z1=Z2,

二AB//CD,

故答案為：N1:N2；

(2)判定方法2：

?.N2=/3,

:.AB//CD,

故答案為：Z2；Z3；

(3)判定方法3：

Z2+Z4=180°,

,AB//CD,

故答案為：N2；N4.

【點睛】本題考查平行線的判定，熟知平行線的判定方法是解答的關(guān)鍵.

12.(2021春?江蘇南京?七年級南京第五初中校考階段練習(xí))寫出下列命題的求證，并完成證明過程.

命題：三角形三個內(nèi)角的和等于180。.

己知：如圖,ABC.

求證：.

證明：

【答案】ZBAC+ZB+ZC^QP,證明過程見解析

【分析】先寫出求證，然后證明.過點A作防〃BC,利用EF〃BC,可得N2=/C,由平角

的定義可得/l+/2+NB4C=180。，利用等量代換可證NB4C+/3+/C=180。.

【詳解】解：求證：/8AC+/8+，C=180。,

證明：過點A作針〃8C,

EF//BC,

：.Z\=ZB,N2=/C,

N1+N2+ZR4c=180。，

,ZBAC+ZB+ZC^180°.

即知三角形三個內(nèi)角的和等于180。.

【點睛】本題考查證明三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是做平行線，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.

13.(2022春.江蘇宿遷.七年級校考期中)畫圖并填空：如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都為1.在方

格紙內(nèi)將4ABC經(jīng)過一次平移后得到△A'B'C,圖中標(biāo)出了點D的對應(yīng)點D'.

(1)根據(jù)要求畫出平移后的^A'B'C；

⑵畫出3c邊上的高AE,垂足為E；

⑶連接4V、CC,那么4r與CC的關(guān)系是

(4)A的面積為.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)平行且相等

(4)3

【分析】（1）平移是將圖形按照某個方向、距離移動，圖形上所有點的移動方向、距離保持一致，由此即

可畫出平移圖形；

（2）過一點作己知直線的垂線，根據(jù)尺規(guī)作圖方法即可完成:

（3）根據(jù)平移的性質(zhì)即可求出答案；

（4）用“割補法”即可求出答案.

（1）

解：平移后的△A7TC如圖所示，

(3)

解：連接CC如圖所示,

根據(jù)平移的性質(zhì)可知，A4'〃CC',=CC.

故答案是：平行且相等.

(4)

解：如圖所示,

=8-2-1-2=3,

故答案是：3.

【點睛】本題主要考查圖像的變換，根據(jù)平移的定義和性質(zhì)，三角形的性質(zhì)即可求出答案，掌握平移，三

角形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

14.（2022春?江蘇南通?七年級校考階段練習(xí)）請補全證明過程及推理依據(jù).

已知：如圖，BCED,8力平分N4BC,EF平分N4ED.求證：BDEF.

證明：:BO平分NABC,EF平分/4EC,

：.Z\=^ZAED,N2=g/A8C()

,：BCED,

：.ZAED=().

AyZAED=yZABC()

/.Z1-Z2()

：.BDEF()

【答案】角平分線的定義；ZABC；兩直線平行，同位角相等；等量代換；等量代換；同位角相等，兩直線

平行.

【分析】根據(jù)角平分線的定義得出/2=：/ABC,根據(jù)平行線的性質(zhì)定理得出

22

ZABC,求出N1=N2,再根據(jù)平行線的判定定理推出即可.

【詳解】證明：：8。平分/ABC,EF平分/AEZ）,

.??Z1=^ZA￡D,N2=：NA8C（角平分線的定義），

22

?；BCED,

...NAEO=NABC（兩直線平行，同位角相等），

二1ZAED=；ZABC（等量代換），

.-.Z1=Z2（等量代換），

，EF（同位角相等，兩直線平行），

故答案為：角平分線的定義；ZABC；兩直線平行，同位角相等；等量代換；等量代換；同位角相等，兩直

線平行.

【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)定理和判定定理等知識點，能熟記平行線的性質(zhì)定理

和判定定理是解此題的關(guān)鍵.

15.(2022春?江蘇泰州?七年級校考階段練習(xí))己知AABC的三邊長分別為3、5、小化簡|。-2|-|a-l|+|a-8|

【答案】1-a

【分析】直接利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)而得出。的取值范圍，進(jìn)而利用絕對值的性質(zhì)化簡得出答案.

【詳解】解：:△ABC的三邊長分別為3、5、a,

A5-3<a<3+5,

解得：2<a<8,

t^\a-2|-|a-l|+|a-8|.

—a-2-(a-1)+8-a

=7-a.

【點睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系、絕對值的性質(zhì)、整式的加減，正確得出a的取值范圍是解題關(guān)

鍵.

16.(2022春?江蘇無錫?七年級校聯(lián)考期中)如圖，在ABC中，CDLAB于點、D,EF-LCD干點、G,

ZADE=NEFC.

(1)請說明DE//BC-,

(2)若NA=60。，ZACB=72°,求/CDE的度數(shù).

【答案】(1)說明見解析；

(2)ZCDE=42°

【分析】(1)由題意易證A8〃W,則有從而得NEFC=NDEF,從而得證；

(2)結(jié)合已知條件與(1)的結(jié)論，可得DE//BC,由三角形的內(nèi)角和定理可求得NB的度數(shù)，再結(jié)合CDLAB,

從而可得NBCQ的度數(shù)，利用。E〃BC求解即可.

(1)

解：CD1.AB,EFLCD,

；.NBDC=NFGC=90°,

：.AB//EF,

:.NADE=NDEF,

又?；NADE=NEFC,

/.ZDEF=ZEFC,

.'.DE//BC-.

(2)

NA+NACB+NB=180。且NA=60。，ZACB=12°,

：.ZB=4S°,

,：ZBDC=90°,

88=90。，

ZBCD=42°,

YDE//BC,

ZCDE=ZBCD=42°.

【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，平行線的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角與角

之間的關(guān)系.

17.(2022春.江蘇揚州?七年級校聯(lián)考期中)如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中有,ABC,請按下列要求畫圖

并解答問題.

(1)畫出.4BC先向右平移4格，再向下平移1格所得的,A'ffC'；

(2)若點〃是AC的中點，請在圖中標(biāo)出點M在中對應(yīng)點AT；

(3)線段A4,與線段MM'的關(guān)系是：.

(4)連接B'M',則MBM'的面積是.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)平行且相等

(4)3.5

【分析】(1)將三個頂點分別向右平移4格，再向下平移1格得到其對應(yīng)點，繼而首尾順次連接即可;

(2)根據(jù)中點的概念作圖即可；

(3)根據(jù)平移變換的性質(zhì)可得答案；

(4)用矩形的面積減去四周三個三角形的面積.

(1)

如圖，△A5C為所作；

(2)

如圖，點”為所作;

(3)

線段A4'與線段的關(guān)系是平行且相等，

故答案為：平行且相等；

(4)

△AAA/’的面積是：3x3-^xlx2-^-x2x3--xlx3=3.5

222

故答案為：3.5.

【點睛】本題主要考查作圖一平移變換，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換的定義與性質(zhì).

18.(2022春?江蘇淮安?七年級統(tǒng)考期末)如圖，ABCD,BCDE.求證：/8+NCCE=180。.

A「B/E

CD---------

【答案】證明見解析

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N8=NC,ZC+ZCDE=180°,再根據(jù)等量代換即可得證.

【詳解】證明：AB//CD,

ZB=ZC,

BC//DE,

.-.ZC+ZCDE=180°,

/.ZB4-ZCD￡=180°.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

19.（2022春?江蘇徐州?七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖.己知垂足為點O,EFJLBC,垂足為點R

Nl+N2=180°.請?zhí)顚慛CGD=NC4B的理由.

ABLBC,EF1BC

ZADC=90°,ZEFC=90°()

:.ZADC=/EFC

:.AD//EF()

.-.Z3+Z2=180°()

Z1+Z2=18O°(己知)

???Z=Z()

:.DG//()

/.ZCGD=ZCAB.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行得出AQ〃EF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N3+N2=180。，求出Nl=/3,

根據(jù)平行線的判定得出DG//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NCG&/C48即可.

【詳解】解：ADLBC,EF^BC

ZADC=90°,Z￡FC=90°（垂直的定義）

:.ZADC^ZEFC

:.AD//EF（同位角相等，兩直線平行）

.?.Z3+N2=18O。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）

Zl+Z2=180°（已知）

,NI=N3（同角的補角相等）

；.DG〃AB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

:.NCGD=NCAB.

故答案為：垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補：

Z3；同角的補角相等；AB-,內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，垂直定義，補角定義的應(yīng)用，能綜合運用定理進(jìn)行推理是解此

題的關(guān)鍵，注意平行線的性質(zhì)有：①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內(nèi)錯角相等；③兩直線平

行，同旁內(nèi)角互補；反之亦然.

20.（2023春?七年級單元測試）已知一個多邊形的各內(nèi)角相等，并且一個外角等于一個內(nèi)角的;，求這個多

邊形的邊數(shù)？

【答案】這個多邊形的邊數(shù)為5

22

【分析】設(shè)多邊形的一個內(nèi)角為x度，則一個外角為度，多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系可得x+jx=180。，

解出即可求解.

【詳解】解：設(shè)多邊形的一個內(nèi)角為x度，則一個外角為度，依題意得：

x+-x=180°,

3

-x=180°,

3

解得：x=108°,

360OH-（1X108°|=5.

答：這個多邊形的邊數(shù)為5.

【點睛】本題主要考查了本題考查多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系、多邊形的外角和，解題的關(guān)鍵是記住多邊

形一個內(nèi)角與外角互補和外角和的特征，利用方程的思想解答問題.

21.（2022春?江蘇無錫?七年級校考階段練習(xí)）如果一個多邊形的內(nèi)角和與外角和之比是13：2,求這個多

邊形的邊數(shù).

【答案】15.

【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為〃，依據(jù)多邊形的內(nèi)角和與外角和之比是13:2,即可得到”的值.

【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為“，依題意得：

（n-2）.180°=—x360°,

2

解得“=I5,

，這個多邊形的邊數(shù)為15.

【點睛】考查了多邊形內(nèi)角與外角，根據(jù)外角和的大小與多邊形的邊數(shù)無關(guān)，多邊形的外角和等于360度.

【典型】

一、單選題

1.（2020春?江蘇鹽城?七年級統(tǒng)考期中）如圖①，一張四邊形紙片A8CO,ZB=11O\Z￡>=150\若將

其按照圖②所示方式折疊后，恰好MA'〃8C,NAIIDC,則/C的度數(shù)為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到4"W=ZB=UO。，N4'N4=NC+=15O。，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360。

得到乙4=50。，然后在四邊形ABCD內(nèi)應(yīng)用四邊形內(nèi)角和求解NC即可.

【詳解】NAIIDC

：.ZAMN=ZB=\\QP,ZA,W4=ZC+=150°

Y圖②由①翻折而來

ZA+ZA'+ZAMN'+ZANA=3,6CP

：.ZA=50°

ZA+ZB+ZC+ZD=360°

ZC=50°

故選B.

【點睛】本題考查了翻折變換，平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補,

熟記四邊形內(nèi)角和為360。是本題的關(guān)鍵.

2.（2022春.江蘇揚州.七年級校考階段練習(xí)）如圖所示，下列條件能判斷“〃b的是（）

A.Z1=Z2B.Z3=Z4C.Z2+Z3=180°D.Zl+Z3=180°

【答案】B

【分析】利用平行線判定定理即可解答.

【詳解】解：當(dāng)N3=/4時，

可根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行判斷a//b,

故選B.

【點睛】本題考查平行線判定定理，熟悉掌握是解題關(guān)鍵.

二、填空題

3.（2022秋?江蘇泰州?七年級統(tǒng)考期末）下面每組里面3條線段可以圍成三角形的是：①8、4、5；②5、4、

9；③4、4、8；④5、12、13.（填序號）

【答案】①④##④①

【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊對各組進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：①4+5>8,可以圍成三角形；②5+4=9,不可以圍成三角形；③4+4=8,不可以圍成三

角形；④5+12>13,可以圍成三角形；

故答案為：①④.

【點睛】此題考查了三角形三邊關(guān)系的問題，解題的關(guān)鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊.

4.（2020春?江蘇泰州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知DE//FG,貝UN1+N2-NA=

【答案】180

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到N2=Z4"/,根據(jù)平角的性質(zhì)得到NA"F+NA"C=18O。，

Z1+ZAC/7=18（）°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】VDE//FG

/.Z2=ZAHF

'：ZAHF+ZAHC=180°,Z1+ZACH=180°

又,?ZAHC+ZACH+ZA=180°

A18O°-Z2+18O°-Z1+ZA=18O°

，Nl+N2-ZA=180°

故答案為180.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)一兩直線平行同位角相等，三角形的內(nèi)角和，解題過程中注意等量代換

是本題的關(guān)鍵.

5.（2020春?江蘇鹽城?七年級統(tǒng)考期中）如圖，用四個螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲

大小，其中相鄰兩個螺絲的距離依序為3、4、6、8,且相鄰兩木條的夾角均可以調(diào)整，若調(diào)整木條的夾角時不

破壞此木框，則任兩螺絲的距離的最大值是.

【答案】10

【分析】若兩個螺絲的距離最大，則此時這個木框的形狀為三角形，可根據(jù)三條木棍的長來判斷有兒種三

角形的組合，然后分別找出這些三角形的最長邊即可.

【詳解】已知4條木棍的四邊長為3、4、6、8；

選3+4、6、8作為三角形，則三邊長為7、6、8；8-7<6<7+8,能構(gòu)成三角形，此時兩個螺絲間的最長距

離為8；

選4+6、8、3作為三角形，則三邊長為10、8、2；8-3<10<3+8,能構(gòu)成三角形，此時兩個螺絲間的最長

距離為10；

選6+8、3、4作為三角形，則三邊長為14、3,4：3+4<14,不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立：

選3+8、4、6作為三角形，則三邊長為11、4、6；4+6V11,不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；

綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為10；

故答案為10.

【點睛】本題實際考查的是三角形的三邊關(guān)系定理，能夠正確的判斷出調(diào)整角度后三角形木框的組合方法

是解答的關(guān)鍵.

6.(2022春?江蘇無錫?七年級校考階段練習(xí))如圖，將一個長方形紙條折成如圖的形狀，若已知/I=13()。,

則/2=°.

【答案】65

【分析】如下圖，利用N1的大小和平行，先求解出N3的大小，再利用N3和N2以及N2折疊部分的大小

總共為平角來求解N2的大小.

【詳解】如下圖

VZ1=130°,

Z3=50°

???圖形是折疊而來,

,Z2=Z4

VZ3+Z2+Z4=180°

.,.Z2+Z4=130°

Z2=65°

故答案為：65.

【點睛】本題考查了折疊問題及平行線的性質(zhì)，折疊部分是完全相同的，即折疊部分的角度是相等的，這

是一個隱含條件，解題過程中不可遺漏.

7.（2021春?江蘇蘇州?七年級校考階段練習(xí)）如圖，h//l2,71=120°,N2=100°,則N3=度.

【答案】40.

【分析】過點A作。的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：過點A作則//〃AB〃/2.

...Nl+NC4B=180。，

：.ZBAC=\S00-120°=60°.

ZDAB=Z2-ZBAC=100°-60°=40°.

\'AB//l2,

.,./3=N￡MB=40。.

故答案為：40.

【點睛】本題考查直線平行的性質(zhì)，關(guān)鍵在于過點A作平行線，將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，常考題型.

三、解答題

8.（2021春?江蘇?七年級專題練習(xí)）已知一個〃邊形，它的內(nèi)角和等于1800°,求這個〃邊形的邊數(shù).

【答案】十二邊形.

【分析】這個多邊形的邊數(shù)為"，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可列方程求解.

【詳解】解：這個多邊形是〃邊形，根據(jù)題意得：5-2）x180°=18（X）°,

解得：“=12.

故這個多邊形是十二邊形.

【點睛】解題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和：180。（〃-2）,正確列方程求解.

9.（2020春?江蘇鹽城?七年級統(tǒng)考期中）完成推理填空，已知：如圖，AB"CD,AE平分/BAD,與8相

交于點尸，交8c的延長線于點區(qū)=試說明A0//3C.

解：因為鉆//CD（已知）

所以/1=NCFE（）

又因為AE平分/84。（已知）

所以N1=N2（）

因為NCFE=NE（）

所以NE=N（等量代換）

所以AD//BC（）

【答案】兩直線平行，同位角相等；角平分線定義；已知；2；內(nèi)錯角相等，兩直線平行

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N1=NCFE,求出N2=/E,根據(jù)平行線的判定得出即可.

【詳解】解：因為（已知），

所以4=NCEE（兩直線平行，同位角相等）.

又因為AE平分/B4D（已知），

所以Nl=/2（角平分線定義），

所以NCFE=N2（等量代換）.

因為NCFE=NE.（已知），

所以NE=N2（等量代換），

所以4）〃8c（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

故答案為兩直線平行，同位角相等；角平分線定義：已知；2；內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的性

質(zhì)是：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，反之亦

然.

【易錯】

選擇題（共2小題）

1.（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，△ABC的兩條中線A。、BE交于點、F,若四邊形CDFE的面積為

17,則△ABC的面積是（）

A.54B.51C.42D.41

【分析】連接CF,依據(jù)中線的性質(zhì)，推理可得S&BCE=S&BAE=SAACF,進(jìn)而得出SMBC=3S^BAF,據(jù)此可

得結(jié)論.

【解答】解：如圖所示，連接CF,

「△ABC的兩條中線A。、BE交于點尸，

.".S^BCE—SMBD,

S四邊形CDFE=SMBF=17,

是△ABC的中線，在■是尸的中線，

SABCE=SAABE,S&FCE=S“AE,

S/sBCF—S/sBAF—17,

同理可得，S/\ACF=S^BAF=17,

:.S4BCF=SABAF=S&ACF=17,

SAABC=3SABAF=3X17—51>

故選:B.

【點評】本題主要考查了三角形的中線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

2.（2022春?祁江區(qū)期中）如圖，NABD,NACD的角平分線交于點P,若NA=50°,/。=10°,則/P

的度數(shù)為（）

A

A.15°B.20°C.25°D.30°

【分析】利用角平分線的性質(zhì)計算.

【解答】解：延長。C,與AB交于點E.

,.?/4CD是△ACE的外角，NA=50°,

：.ZACD=ZA+ZA￡C=50°+ZAEC.

,：ZAEC是△BDE的外角，

/AEC=NABD+ND=ZABD+10°,

AZACD=50°+NAEC=50°+ZABD+10°,

整理得NACO-/ABD=60°.

設(shè)AC與BP相交于O,則NA08=NP0C,

/./P+JL/ACZ)=ZA+^ZABD,

22

即/尸=50°-A(ZACD-ZABD)=20°.

2

故選：B.

【點評】本題綜合考查平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識點.

二.填空題（共3小題）

3.（2022春?南京期中）如圖，在兩條筆直且平行的景觀道AB,8上放置P,Q兩盞激光燈.其中光線

PB按順時針方向以每秒5。的速度旋轉(zhuǎn)至邊雨便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；光線QC按順時針方向以每

秒3°的速度旋轉(zhuǎn)至邊Q。就停止旋轉(zhuǎn)，此時光線PB也停止旋轉(zhuǎn).若光線QC先轉(zhuǎn)4秒，光線P8才開始

轉(zhuǎn)動，當(dāng)PB\//QC\時，光線旋轉(zhuǎn)的時間為6或43.5秒.

APB

CQD

【分析】依據(jù)兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，列出關(guān)于時間，的關(guān)系式可求.

【解答】解：當(dāng)則ZPBiQ=NC。。,如下圖：

；.NPBiQ=NBPBi.

；.NCQCi=NBPBi.

設(shè)光線PB旋轉(zhuǎn)時間為f秒，

：.4X3+3t=5t.

當(dāng)尸81〃。。，則NCQCi=NPBiC,如下圖:

:.NPB*Q=NBPBi.

：.ZBPB\=ZCQC\.

設(shè)光線PB旋轉(zhuǎn)時間為，秒，此時光線P8由用處返回，

/.ZAPB\^5t0-180°.

：.ZBPB]=\S0a-N4PBi=180°-(5/°-180°)=360°-5t°.

A360-5r=4X3+3n

綜上，光線尸8旋轉(zhuǎn)的時間為6或43.5秒.

故答案為：6或43.5.

【點評】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，正確計算相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度是解題的關(guān)鍵.

4.（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖點B在線段AC上在線段AC同側(cè)作正方形A8MN及正

方形BCEF,連接AM、ME、E4得到△AME.當(dāng)AB=1時，△4WE的面積記為Si；當(dāng)AB=2時，4AME

的面積記為S2;當(dāng)AB=3時，△AME的面積記為S3……5ioi-Si（x）=_^l

【分析】連接BE,AM//BE,△A8M與△/1”￡：同底等高，/XABM與△AME面積相等，求差時利用平方差

公式計算即可.

【解答】解：連接8E,

在正方形ABMN正方形BCEF中，

/NAB=NCBF=9Q°,AN平分/NAB,BE平分NFBC,

'.ZEBC^ZMAB=45a,

J.AM//BE,

：./\ABM與△AME同底等高,

/.△ABM與△AME面積相等,

.?.AB=101時，1012,

2

AB=100時，SAAJWE=-A-x1QO2>

.^■o.-S.oo^1012-1002

2

=201.

2

故答案為：201

2

【點評】本題考查了三角形的面積、圖形的變化類的規(guī)律，掌握正方形性質(zhì)的應(yīng)用，其中利用△48朋與4

AME同底等高，推出面積相等是解題關(guān)鍵.

5.（2022春?鎮(zhèn)江期中）如圖，將aABC沿8c方向平移到（8、E、/在同一條直線上），若N8=46

°,AC與OE相交于點G,NAGO和/。的平分線GP、。相交于點P,則NP=67°.

【分析】由。F〃AC,AB//DE,推出NDEF=NB=46°,ZD=ZAGDf推出NQFE+N￡）=180°-46°

=134°,再由三角形內(nèi)角和定理可得NP+NOGP=NQ+N。。，由此即可解決問題.

【解答】解：??.△ABC沿8c方向平移到△￡>￡/（8、E、/在同一條直線上），

J.DF//AC,AB//DE,

:./DEF=/B=46°,ZD=ZAGD9

/.ZDF￡+ZD=180°-46°=134°,

■:ZP+ZDGP=ZD+ZDFP.

：.ZP=ZD+ZDFP-/DGP=工/DFE+LND=工（NDFE+ND）=67°.

222

故答案為：67.

【點評】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所

學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型.

三.解答題（共6小題）

6.（2022春?南京期末）【初步認(rèn)識】

（1）如圖①，在△ABC中，BO、C。分別平分NA8C、NACB.

求證：ZBOC=90°

【繼續(xù)探索】如圖，在△A8C中，D、E是AB、AC上的點，設(shè),ZC=n°（m<n）.

（2）如圖②，BO、分別平分N48C、NBDE.

①若〃z=50,”=70,求NBOD的度數(shù)；

②用含〃?、〃的式子直接表示/8O。的度數(shù)為（90-」,"+九"）°.

2—2

（3）如圖③，BO、C。分別平分/ABC、NACB,射線CO與NAOE的平分線所在的直線相交于點”（不

與點。重合），直接寫出點“在不同位置時，NOHC與/3OC之間滿足的數(shù)量關(guān)系（用含〃八"的式子表

示）.

【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理即可證得結(jié)論；

（2）①根據(jù)（1）可知NBO￡>=90°+1ZF,然后利用三角形內(nèi)角和定理即可求得/BOZ）的度數(shù)；

2

②按①的步驟求得即可；

（3）分兩種情況討論：點，在△ABC內(nèi)時，ZDHC-ZBOC=1.（n°-m°）；當(dāng)點，在△48C外時,

2

ZDHC+ZBOC=（180-L+LZ）°.

22

【解答】（1）證明：：80、C。分別平分/ABC、ZACB,

：.ZOBC=^ZABC,ZOCB=^ZACB,

22

/BOC+/OBC+/OCB=18。°,

AZBOC=180°-CZOBC+ZOCB）=180°-A（ZABC+AZACB）,

22

?.,NA十/ABC十NACB=/80°,

NA8C+/AC"180°-ZA,

，/BOC=180°-A（180°-ZA）=90°+1ZA；

22

（2）解：根據(jù)第（1）問建立模型，可將圖②補形成下圖：

,/NF=180°-ZFEC-ZFCE,

ZFEC=ZAED=50°,ZFCE=180°-ZACB=110°,

.?./尸=180°-50°-110°=20°,

AZBOD=90°+AZF=100°；

2

②：ZF=180°-NFEC-ZFCE,

NFEC=NAED=m,ZFC￡=180°-N4C8=180°-n,

.,.ZF=180°-in-(180°-n)=n-m°,

.?./BOr>=90°+AZF=90°+A(/-m°)=(90-A/n+An)°；

2222

故答案為：(90-L?+2〃)°；

22

(3)由題(1)可知N8OC=90°+!乙4,

2

①如圖，點”在△ABC內(nèi)時，ZDHC-ZBOC^l(n°-m)；

2

設(shè)C4交OE于點F,

,ZA￡D=NECF+NEFC,

；C。是N4CB的平分線，

NECF=*/AC2,

VZAED=m°,ZACB=n°,

：.NEFC=ZAED-ZECF=m0-,

2

/.ZHFD=Z.EFC=in-X7°,

2

：OH平分NAOE,

ZHDF=^L^ADE,

'：ZA+ZAED+ZAD￡=180°,

，NADE=180°-NA-ZAED=180°-ZA-m0,

，ZHDF=9OQ-AZA-—,

22

NHDF+NDHF+NHFD=18Q°，

.?.N￡>HF=180°-NHDF-NHFD=180°-90°+1.ZA+^—-mQ+L°,

222

:.NDHC=NDHF=9Q°@_+L°,

222

:.NDHC-NBOC=90°+上乙4-旦—+」-(90°+AZA)=(L°-lm°)=」(〃°-m°)；

2222222

②如圖，當(dāng)點H在△ABC外時，NDHC+NBOC=(180-X?+AZM)°.

22

設(shè)CH交AB于點F,

,：NBFC=ZA+ZACF,且CO平分NACB,

ZACF^l-/ACB=^-

22

，4BFC=ZA+^—,

2

，NHFD=NBFC=—,

2

平分AOE,

；.NHDF=*/ADE,

:.NHDF=90°-^ZA-m°,

22

■:NDHF+NHDF+/HFD=18。°，

：.ZDHF=1800-NHDF-ZHFD,

：.NOHF=180°-90°+AZA+?—-ZA-2^—=90°-A/A+?--IL_

222222

NDHC=ZDHF=900-AZA+?—-—,

222

VZBOC=90°+AZA,

2

.,」/A=N80C-90。，

2

，NDHC=90°-ZBOC+900--22_,

22

:.NDHC+NBOC=（180-A/i+Xn）°.

22

綜上所述：點H在△ABC內(nèi)時，ZDHC-ZBOC=1.（?°-in）；當(dāng)點“在△ABC外時，ZDHC+ZBOC

2

=（180-^n+—m）°.

22

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，列代數(shù)式，利用分類討論思想解決問題是關(guān)鍵.

7.（2022春?廣陵區(qū)期中）（1）光線從空氣中射入水中會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時光線從水中射入空氣中也會產(chǎn)

生折射現(xiàn)象，如圖1,光線a從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線從根據(jù)光學(xué)知識有/I

=Z2,Z3=Z4,請判斷光線a與光線6是否平行，并說明理由；

（2）如圖2,直線E尸上有兩點A、C,分別引兩條射線AB、CD.已知NBAF=150°,ZDCF=80°,射

線AB、CD分別繞點4、點C以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉(zhuǎn)動，設(shè)時間為f秒，當(dāng)射線CD轉(zhuǎn)動

一周時，兩條射線同時停止.則當(dāng)直線CD與直線AB互相垂直時，t=20或110秒.

【分析】（I）依據(jù)題意得出N1+N5=N2+N6,即可得到a〃b；

（2）分兩種情況討論：當(dāng)BA_LCC于G時，ZBAE=30°+t°=NCAG,ZACG=180°-80°-3/°=100

°-3f°；當(dāng)。C_LAB于H時，/8AE=30°+tQ,NAC7/=3f°-180°-100°,分別依據(jù)角的和差關(guān)系

進(jìn)行計算即可.

【解答】解：（1）平行.理由如下：

如圖1,VZ3=Z4,

/.Z5=Z6,

VZ1=Z2,

.\Z1+Z5=Z2+Z6,

：.a//b；

(2)如圖，當(dāng)B4_LCD于G時，ZBAE=30°+/=NC4G,ZACG=180°-80°-3t°=100°-3f,

E

B

VZCAG+ZACG=90°,

.*.30°+t°+100°-3z°=90°,

解得『20；

如圖，當(dāng)。'C_LAB于H時，NBAE=30°+t°,4ACH=3t°-180°-100°

/BAE=ZACH+ZAHC,

.\30°+tQ=3f°-180°-100°+90°,

解得f=110,

綜上所述，當(dāng)直線CD與直線4B互相垂直時r的值為20或110.

故答案為：20或110.

b

圖1

【點評】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.平

行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.

8.（2022春?鹽都區(qū)月考）如圖，,Nl=/2,那么下面是推理過程，

請你填空：

解：'：ZBAE+ZAED=l^°（已知）

：.AB//DE（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）.

二NBAE=ZAEF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

又：N1=N2（已知）

AZBAE-Z1=ZAEF-Z2（等式性質(zhì)），即NMAE=NNEA.

/.AM//EN（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

【分析】先根據(jù)平行線的判定，得到AB〃C￡>,再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出進(jìn)而得出AM

//NE,最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：：/8AE+NAED=180°（已知）

：.AB//CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）

:./BAE=NCEA（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

又：N1=N2（已知）

AZBAE-Z1=ZAEC-Z2（等式性質(zhì)），即

：.AM//NE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

:.NM=NN（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

故答案為：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；Z2；AM//EN,內(nèi)錯角相等，兩直線

平行.

【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定的運用，解題時注意：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷

兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.

9.（2022春?姜堰區(qū)校級月考）如圖，AD//BC,ZDAC=\20°,ZACF=20°,ZEFC=140°

（1）求證：EF//AD.

(2)連接CE,若CE平分N3CR求NFEC的度數(shù).

【分析】(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到N4C3的度數(shù)，進(jìn)而得出NBCF的度數(shù)，再根據(jù)NE/C=140。，

即可得到打〃8C,進(jìn)而得出AO〃EF；

(2)先根據(jù)CE?平分N8C凡可得NBCE=20°,再根據(jù)E尸〃8C,即可得到//EC=20°.

【解答】解：⑴VAD/7BC,

???NAC3+ND4c=180°,

VZDAC=120",

AZACB=60°,

又???NACF=20°,

???ZFCB=ZACB-ZACF=40°,

VZEFC=140°,

；.NFCB+NEFC=180°,

C.EF//BC,

J.EF//AD.

(2),.?CE平分N8CR

/.ZBCE=20°,

?:EF〃BC,

：.ZFEC=/ECB,

AZFEC=20°.

【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及判定，能熟練地運用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

10.(2022春?沛縣月考)如圖，在△ABC中，CD、CE分別是△ABC的高和角平分線.

(1)若NA=30°,NB=50°,求NEC。的度數(shù)；

(2)試用含有NA、/B的代數(shù)式表示NEC。(不必證明)

【分析】(1)利用高的定義和互余得到NBC￡>=90°-ZB,再根據(jù)角平分線定義得到

2

接著根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到/ACB=180°-NA