泰勒展開式與超越不等式在導數中的應用(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析高頻考點一：利用超越不等式比較大小高頻考點二：利用對數型超越放縮證明不等式高頻考點三：利用指數型超越放縮證明不等式第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶1、泰勒公式形式：泰勒公式是將一個在處具有階導數的函數利用關于的次多項式來逼近函數的方法.若函數在包含的某個閉區間上具有階導數，且在開區間上具有階導數，則對閉區間上任意一點，成立下式：其中：表示在處的階導數，等號后的多項式稱為函數在處的泰勒展開式，剩余的是泰勒公式的余項，是的高階無窮小量.2、麥克勞林(Maclaurin)公式雖然麥克勞林公式是泰勒中值定理的特殊形式，僅僅是取的特殊結果，由于麥克勞林公式使用方便，在高考中經常會涉及到.3、常見函數的麥克勞林展開式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）4、兩個超越不等式：（注意解答題需先證明后使用）4.1對數型超越放縮：（）上式（1）中等號右邊只取第一項得：結論①用替換上式結論①中的得：結論②對于結論②左右兩邊同乘“”得，用替換“”得：（）結論③4.2指數型超越放縮：（）上式（2）中等號右邊只取前2項得：結論①用替換上式結論①中的得：結論②當時，對于上式結論②結論③當時，對于上式結論②結論④第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析高頻考點一：利用超越不等式比較大小1．（2022·全國·高三專題練習（文））已知，則的大小關系為（

）A． B． C． D．2．（2021·安徽·毛坦廠中學高三階段練習（理））設，，，（其中自然對數的底數）則（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習）已知實數a，b，c滿足，且，則（

）A． B． C． D．4．（2022·河南洛陽·高二期末（文））下列結論中正確的個數為（

）①，；②；③．A．0 B．1 C．2 D．35．（2021·浙江·模擬預測）已知數列滿足，給出以下結論，正確的個數是（

）①；②；③存在無窮多個,使；④A．4 B．3 C．2 D．17．（2022·安徽·六安一中高二開學考試）已知成等比數列，且，若，則A． B．C． D．高頻考點二：利用對數型超越放縮證明不等式1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數f(x)＝lnx－ax＋1在x＝2處的切線斜率為－.(1)求實數a的值及函數f(x)的單調區間；(2)設g(x)＝，對?x1(0，＋∞)，?x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正實數k的取值范圍；(3)證明：＋＋…＋(n∈N*，n≥2).2．（2022·河南·林州一中高二期中（理））已知函數，.(1)討論的單調性；(2)若，證明：.3．（2022·陜西咸陽·二模（文））已知函數.(1)若恒成立，求實數的取值范圍；(2)證明：.4．（2022·陜西咸陽·二模（理））已知函數.(1)若恒成立，求實數k的取值范圍；(2)證明：(，).5．（2022·重慶市實驗中學高二階段練習）已知函數，其中且．(1)討論的單調性；(2)當時，證明：；(3)求證：對任意的且，都有：…．（其中為自然對數的底數）6．（2022·內蒙古·元寶山平煤高中高二階段練習（理））已知函數.(1)求函數的單調區間；(2)證明：.7．（2022·河南·林州一中高二期中（理））已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：；(3)若且，證明：.高頻考點三：利用指數型超越放縮證明不等式1．（2022·四川·棠湖中學高二階段練習（文））已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，若關于的不等式恒成立，求的取值范圍；(3)當時，證明：.2．（2022·河南省杞縣高中模擬預測（理））已知函數，．(1)若恒成立，求實數a的值；(2)若，求證：．3．（2022·浙江省諸暨市第二高級中學模擬預測）已知函數，，(1)當，時，求函數在處的切線方程；(2)若且恒成立，求的取值范圍：(3)當時，記，（其中）為在上的兩個零點，證明：.4．（2022·新疆昌吉·高三階段練習（文））已知函數．(1)試比較與的大?。?2)證明：，．泰勒展開式與超越不等式在導數中的應用(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析高頻考點一：利用超越不等式比較大小高頻考點二：利用對數型超越放縮證明不等式高頻考點三：利用指數型超越放縮證明不等式第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶1、泰勒公式形式：泰勒公式是將一個在處具有階導數的函數利用關于的次多項式來逼近函數的方法.若函數在包含的某個閉區間上具有階導數，且在開區間上具有階導數，則對閉區間上任意一點，成立下式：其中：表示在處的階導數，等號后的多項式稱為函數在處的泰勒展開式，剩余的是泰勒公式的余項，是的高階無窮小量.2、麥克勞林(Maclaurin)公式雖然麥克勞林公式是泰勒中值定理的特殊形式，僅僅是取的特殊結果，由于麥克勞林公式使用方便，在高考中經常會涉及到.3、常見函數的麥克勞林展開式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）4、兩個超越不等式：（注意解答題需先證明后使用）4.1對數型超越放縮：（）上式（1）中等號右邊只取第一項得：結論①用替換上式結論①中的得：結論②對于結論②左右兩邊同乘“”得，用替換“”得：（）結論③4.2指數型超越放縮：（）上式（2）中等號右邊只取前2項得：結論①用替換上式結論①中的得：結論②當時，對于上式結論②結論③當時，對于上式結論②結論④第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析高頻考點一：利用超越不等式比較大小1．（2022·全國·高三專題練習（文））已知，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】先用導數證明這兩個重要的不等式①，當且僅當時取“=”，函數遞減，函數遞增故時函數取得最小值為0故，當且僅當時取“=”②，當且僅當時取“=”，函數遞增，函數遞減，故時函數取得最大值為0，故，當且僅當時取“=”故故選：C2．（2021·安徽·毛坦廠中學高三階段練習（理））設，，，（其中自然對數的底數）則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】構造函數，，，所以在上遞增，在上遞減，所以，即.令，則，，，考慮到，可得，即，化簡得等號當且僅當時取到，故時，排除A，B.下面比較a，b大小，由得，，故.所以.故選:D3．（2022·全國·高三專題練習）已知實數a，b，c滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，，即，所以，所以，即，又，所以，由，所以，所以，即，所以，所以.故選：A.【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是利用經典不等式可得.4．（2022·河南洛陽·高二期末（文））下列結論中正確的個數為（

）①，；②；③．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】解：令，，則，所以在上單調遞增，所以，即，即，，故①正確；令，，則，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；令，，當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，所以，當且僅當時取等號，故③錯誤；故選：C5．（2021·浙江·模擬預測）已知數列滿足，給出以下結論，正確的個數是（

）①；②；③存在無窮多個,使；④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【詳解】，,，則單調遞增且大于0，所以單調遞增，所以，即故①正確；令，則，所以在上單調遞增，且當且僅當時，，所以，即.因為，且，，故②正確；，，，由歸納法可知，，故不存在無窮多個,使，故③錯誤；由得，，累加可得：可知④正確.故選：B.7．（2022·安徽·六安一中高二開學考試）已知成等比數列，且，若，則A． B．C． D．【答案】A【詳解】設,則,令,則,令,則,所以在上單調遞增,在上單調遞減,所以,則,即,所以,故,又成等比數列,且,設其公比為,則,即,所以,故選:A.【點睛】本題考查導數中的不等式在數列中的應用,以及等比數列的相關性質,屬于中檔題.導數中存在著一些常用的不等式結論,學生可以盡可能掌握.高頻考點二：利用對數型超越放縮證明不等式1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數f(x)＝lnx－ax＋1在x＝2處的切線斜率為－.(1)求實數a的值及函數f(x)的單調區間；(2)設g(x)＝，對?x1(0，＋∞)，?x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正實數k的取值范圍；(3)證明：＋＋…＋(n∈N*，n≥2).【答案】(1)a＝1，增區間為，單調遞減區間為(2)(3)證明見解析(1)由已知得f′(x)＝－a，∴f′(2)＝－a＝－，解得a＝1.于是f′(x)＝－1＝，當x(0，1)時，f′(x)>0，f(x)為增函數，當x(1，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)為減函數，即f(x)的單調遞增區間為(0，1)，單調遞減區間為(1，＋∞).(2)由(1)知x1(0，＋∞)，f(x1)≤f(1)＝0，即f(x1)的最大值為0，由題意知：對?x1(0，＋∞)，?x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，只需f(x)max≤g(x)max.∵g(x)＝，（等號成立）∴只需，解得.(3)證明：要證明(nN*，n≥2).只需證，只需證.由(1)當x(1，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)為減函數，f(x)＝lnx－x＋1≤0，即lnx≤x－1，∴當n≥2時，，，所以＝，∴.2．（2022·河南·林州一中高二期中（理））已知函數，.(1)討論的單調性；(2)若，證明：.【答案】(1)見解析(2)證明見解析(1)當時，，故函數在上單調遞增當時，故函數在上單調遞減，在上單調遞增(2)由（1）可知，令，即函數在上單調遞減，故故，，故即3．（2022·陜西咸陽·二模（文））已知函數.(1)若恒成立，求實數的取值范圍；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】(1)由題意得：定義域為；由得：；設，則，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，，，即實數的取值范圍為.(2)由（1）知：當，時，，在上單調遞減，，即；，，即，.【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數在研究函數中的應用，涉及到恒成立問題求解和不等式的證明問題；證明不等式的關鍵是能夠充分利用（1）中的結論，將所證不等式進行放縮，從而結合等比數列求和的知識進行證明.4．（2022·陜西咸陽·二模（理））已知函數.(1)若恒成立，求實數k的取值范圍；(2)證明：(，).【答案】(1)；(2)證明見解析﹒【解析】(1)，令，則＝，當時，單調遞增，當x＞1時，單調遞減，∴，∴；(2)由(1)知，時，有不等式對任意恒成立，當且僅當時，取“＝”號，∴，恒成立，令(，且)，則，∴，即(，)，∴(，).【點睛】本題關鍵是利用(1)中的結論，取k＝1時得到不等式，從而得到x＞1時，，令，即可構造不等式，從而通過裂項相消法求出的范圍，從而證明結論.5．（2022·重慶市實驗中學高二階段練習）已知函數，其中且．(1)討論的單調性；(2)當時，證明：；(3)求證：對任意的且，都有：…．（其中為自然對數的底數）【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【解析】(1)函數的定義域為，，①當時，，所以在上單調遞增；②當時，令，解得，當時，，所以，所以在上單調遞減，當時，，所以，所以在上單調遞增.綜上，當時，函數在上調遞增；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.(2)當時，，要證明，即證，即，設，則，令得，可得，當時，，當時，．所以，即，故.(3)由（2）可得，（當且僅當時等號成立），令，，則，故…………，即…，故….【點睛】本題考察利用導數研究含參函數單調性，以及構造函數利用導數證明不等式，以及數列和導數的綜合，屬綜合困難題.6．（2022·內蒙古·元寶山平煤高中高二階段練習（理））已知函數.(1)求函數的單調區間；(2)證明：.【答案】(1)當時，的單調遞增區間為；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；(2)證明見解析.【解析】(1)因為（），所以的定義域為，.若，則，在上為增函數；若，則，當時，，當時，.綜上，當時，的單調遞增區間為；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.(2)當時，由上可知的單調遞增區間為，單調遞減區間為，有在恒成立，且在上是減函數，即在上恒成立，令，則，即，且，，即：（，）成立．7．（2022·河南·林州一中高二期中（理））已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：；(3)若且，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】(1)，，則曲線在點處的切線方程為.(2)由（1）可得即函數上單調遞減，在上單調遞增，故(3)由（2）可得在上恒成立令，則則故【點睛】關鍵點睛：解決第三問時，關鍵是由導數得出，進而由對數的運算證明不等式.高頻考點三：利用指數型超越放縮證明不等式1．（2022·四川·棠湖中學高二階段練習（文））已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，若關于的不等式恒成立，求的取值范圍；(3)當時，證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【解析】(1)當時，，，切點為，斜率，.∴曲線在點處的切線方程為.即.(2)由，得恒成立，令，則，所以在上，單調遞減，在上，單調遞增，所以的最小值為，所以，即，故的取值范圍是；(3)由（2）知時，有，所以.①要證，可證，只需證.先證，構造函數，則，由得，由得，∴在上單減，在上單增，∴，故（當且僅當時取等號），從而當時，.故當時，成立.②要證，可證.構造函數，則，由得，由得，∴在上單增，在上單減，故，即（當且僅當時取等號），從而當時，.由于，所以，所以，綜上所述，當時，證明：.【點睛】要證明，可通過證明來證得.在利用導數證明不等式的過程中，主要利用的是導數的工具性的作用，也即利用導數來求單調區間、最值等.2．（2022·河南省杞縣高中模擬預測（理））已知函數，．(1)若恒成立，求實數a的值；(2)若，求證：．【答案】(1)1(2)證明見解析【解析】(1)設，則．當時，，單調遞增，，不滿足恒成立；當時，在上單調遞減．在上單調遞增．所以的最小值為．即，即．設，，所以在（0，1）上單調遞減，在上單調遞增，即，故的解只有．綜上，．(2)證明：先證當時，恒成立．令，，所以在（0，1）上單調遞增，又，所以．所以要證，即證，即證，即證．設，則，所以在（0，1）上單調遞減，所以，即原不等式成立．所以當時，．【點睛】關鍵點點睛：