全等三角形的七大模型綜合訓練（四）1．如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，點P，Q，R分別是BC，DC，DE的中點．把△ADE繞點A在平面自由旋轉，則△PQR的面積不可能是（

）A．8 B．6 C．4 D．22．如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點P在AB上，過點P作PE⊥AC，垂足為E，延長BC到點Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點D，則DE的長為（

）A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.253．如圖，在△ABC中，點M，N分別是AC，BC上一點，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，則MN的長度可以是（）A．2 B．7 C．16 D．174．如圖，在等腰中，，D為內一點，且，若，則的面積為________．5．如圖，已知AD是△ABC的中線，E是AC上的一點，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，則∠ACB＝_____．6．在中，AE，CD為的角平分線，AE，CD交于點F．（1）如圖1，若．①直接寫出的大小；②求證：．（2）若圖2，若，求證：．7．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，線段AC與AD關于直線AP對稱，E是線段BD與直線AP的交點．（1）若∠DAE＝15°，求證：△ABD是等腰直角三角形；（2）連CE，求證：BE＝AE+CE．8．如圖，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分線，求證：AE+BE=BC．9．如圖，在中，，點D是線段BC上一個動點，點F在線段上，且，．垂足E在的延長線上．(1)如圖1，當點D與點C重合時，線段和的數量關系是______；(2)如圖2，當點D不與點B，C重合，（1）的結論是否成立？若成立，請說明理由．10．如圖，是一個銳角三角形，分別以、為邊向外作等邊三角形、，連接、交于點，連接．(1)求證：≌；(2)求的度數；(3)求證：平分．11．在中，，，直線經過點C，且于D，于E．(1)當直線繞點C旋轉到如下圖所示的位置時，求證：①；②；(2)當直線繞點C旋轉到如下圖所示的位置時，試問、、具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，不必證明；(3)當直線繞點C旋轉到如圖的位置時，試問、、具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，不必證明．12．已知線段，將繞點逆時針旋轉得到，連接，在線段上取一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉得到，連接．(1)如圖1，當時，連接，求度數；(2)如圖2，當時，試探究線段與之間滿足的數量關系，并說明理由．13．在中，，為延長線上一點，點為線段，的垂直平分線的交點，連接，，．(1)如圖1，當時，則______；(2)當時，①如圖2，連接，判斷的形狀，并說明理由；②如圖3，F是內一點，連接，，．若是等邊三角形，試猜想與之間的數量關系，并說明理由．14．如圖1，是正三角形，是等腰三角形，，，以為頂點作一個角，角的兩邊分別交邊于，連接．(1)探究之間的關系，并說明理由．(2)若的邊長為2，求的周長．(3)若點分別是延長線上的點，其它條件不變，在圖②中畫出圖形，并說出之間的關系．15．閱讀材料：如圖，在中，，分別是邊，的中點，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長到點，使，連接，證明，再證四邊形是平行四邊形即得證．(1)類比遷移：如圖，是的中線，交于點，交于點，且，求證：．小明發現可以類比材料中的思路進行證明．證明：如圖，延長至點，使，連接，…請根據小明的思路完成證明過程．(2)方法運用：如圖，在等邊中，是射線上一動點（點在點的右側），連接．把線段繞點逆時針旋轉得到線段．是線段的中點，連接，．①請你判斷線段與的數量關系，并給出證明；②若，，請直接寫出的長．16．已知，四邊形中，，繞B點旋轉，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于E，F．當繞B點旋轉到時，如圖（1），易證：．當繞B點旋轉到時，在圖（2）和圖（3）中這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明．全等三角形的七大模型綜合訓練（四）1．如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，點P，Q，R分別是BC，DC，DE的中點．把△ADE繞點A在平面自由旋轉，則△PQR的面積不可能是（

）A．8 B．6 C．4 D．2答案:A分析：連接BD、CE，BD的延長線交CE的延長線于O，AC交BO于H．證明△BAD≌△CAE,然后可推出△PQR是等腰直角三角形，S△PQR＝?PQ2,由AB＝5，AD＝2可知3≤BD≤7，從而得到≤PQ≤，那么≤?PQ2≤,即可得出答案．【詳解】解：連接BD、CE，BD的延長線交CE的延長線于O，AC交BO于H．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ABH＝∠OCH，∵∠AHB＝∠CHO，∴∠O＝∠BAH＝90°，∵點P，Q，R分別是BC，DC，DE的中點，∴PQ＝BD，PQ∥BO，QR＝EC，QR∥CO，∵BO⊥OC，∴PQ⊥RQ，PQ＝QR，∴△PQR是等腰直角三角形，∴S△PQR＝?PQ2，∵AB＝5，AD＝2，∴3≤BD≤7，∴≤PQ≤，∴≤?PQ2≤，∴△PQR的面積不可能是8，故答案為：A．【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的中位線定理，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．2．如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點P在AB上，過點P作PE⊥AC，垂足為E，延長BC到點Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點D，則DE的長為（

）A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25答案:C分析：過作的平行線交于，通過證明≌，得，再由是等邊三角形，即可得出．【詳解】解：過作的平行線交于，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，在中和中，，≌，，于，是等邊三角形，，，，，，故選：C．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．3．如圖，在△ABC中，點M，N分別是AC，BC上一點，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，則MN的長度可以是（）A．2 B．7 C．16 D．17答案:B分析：通過構造等邊和等邊，得到（SAS），再證明（SAS），即可將線段AB、BM和MN集中到△QMB中，根據三角形三邊關系即可判斷MN的長度取值范圍．【詳解】解：如圖，作等邊和等邊，連接QP、QM，在等邊和等邊中，，∴，∴，又∵，，∴（SAS），∴，，∵AM＝BN，∴在中，，，∴，在中，，，∴，∴，在和中，，∴（SAS）∴，在中，，∴，∴，∴選項B，MN=7符合題意，故選B．【點睛】本題主要考查了全等三角形性質和判定的綜合應用，解題關鍵是線段AB、BM和MN通過旋轉全等集中到同一個三角形中，再根據三角形三邊關系即可判斷MN的長度取值范圍．4．如圖，在等腰中，，D為內一點，且，若，則的面積為________．答案:8分析：由線段CD的長求的面積，故過B作CD的垂線，則由三角形面積公式可知：，再由題中的和等腰直角三角形ABC，即可求證，最后由即可求解．【詳解】解：過點B作CD的垂線，交CD的延長線于點E，，故答案是：8．【點睛】本題主要考查全等三角形的證明、輔助線的畫法、等腰三角形的性質和三角形面積公式，屬于中檔難度的幾何證明題．解題的關鍵是由三角形面積公式畫出合適的輔助線．5．如圖，已知AD是△ABC的中線，E是AC上的一點，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，則∠ACB＝_____．答案:100°/100度分析：延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，證△BDM≌△CDA（SAS），得得到BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，再證△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度數，即可解決問題．【詳解】解：如圖，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，在△BDM和△CDA中，，∴△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，∵BF＝AC，∴BF＝BM，∴∠M＝∠BFM＝24°，∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝132°，∵∠EBC＝32°，∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°，∴∠C＝∠DBM＝100°，故答案為：100°．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．6．在中，AE，CD為的角平分線，AE，CD交于點F．（1）如圖1，若．①直接寫出的大小；②求證：．（2）若圖2，若，求證：．答案:（1）①120°；②見解析；（2）見解析分析：（1）①綜合三角形的內角和定理以及角平分線的定義求解即可；②利用“截長補短”思想，在AC上取點H，使得AD=AH，從而通過全等證得∠AFD=∠AFH，再結合①的結論進一步證明∠CFH=∠CFE，從而通過全等證得CE=CH，即可得出結論；（2）同樣利用“截長補短”思想，在AC上取S、T兩點，使得AD=AS，CE=CT，連接SF，SE，TF，TE，可通過全等直接先對△ADF和△CEF的面積進行轉換，然后結合（1）中的結論，證明SF∥ET，即可對△DEF的面積進行轉換，從而得出結論．【詳解】（1）①解：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°，∵AE平分∠BAC，CD平分∠BCA，∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠BCA，∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠BCA)=×120°=60°，∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°；②證：如圖所示，在AC上取點H，使得AD=AH，在△ADF和△AHF中，∴△ADF≌△AHF(SAS)，∴∠AFD=∠AFH，∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFH=∠CFE，由①可知，∠AFC=120°，∴∠CFE=180°-120°=60°，∴AFH=∠CFE=60°，∴∠CFH=60°，即：∠CFH=∠CFE，在△CFH和△CFE中，∴△CFH≌△CFE(ASA)，∴CE=CH，∵AC=AH+CH，∴AC=AD+CE；（2）證：如圖所示，在AC上取S、T兩點，使得AD=AS，CE=CT，連接SF，SE，TF，TE，∵AE平分∠BAC，∴∠DAF=∠SAF，在△ADF和△ASF中，∴△ADF≌△ASF(SAS)，同理可證△AED≌△AES，△CEF≌△CTF，∴DF=SF，DE=SE，FT=FE，∴△DEF≌△SEF，∴，，，且∠AFD=∠AFS，∠CFE=∠CFT，∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT，由（1）可得：∠AFC=90°+∠B=135°，∴∠CFE=180°-135°=45°，∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT=45°，∴∠CFS=135°-∠AFS=90°，∴CF⊥SF，又∵FT=FE，CT=CE，∴CF垂直平分EF，即：CF⊥ET，∴SF∥ET，∴，∴∵，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，以及三角形角平分線相關的證明問題，掌握基本的輔助線添加思想，熟練運用全等三角形的判定與性質是解題關鍵．7．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，線段AC與AD關于直線AP對稱，E是線段BD與直線AP的交點．（1）若∠DAE＝15°，求證：△ABD是等腰直角三角形；（2）連CE，求證：BE＝AE+CE．答案:（1）見解析；（2）見解析分析：（1）首先根據題意確定出△ABC是等邊三角形，然后根據等邊三角形的性質推出∠BAC＝60°，再根據線段AC與AD關于直線AP對稱，以及∠DAE＝15°，推出∠BAD＝90°，即可得出結論；（2）利用“截長補短”的方法在BE上取點F，使BF＝CE，連接AF，根據題目條件推出△ABF≌△ACE，得出AF＝AE，再進一步推出∠AEF＝60°，可得到△AFE是等邊三角形，則得到AF＝FE，從而推出結論即可．【詳解】證明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵線段AC與AD關于直線AP對稱，∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，∴∠BAD＝90°，∵AB＝AC＝AD，∴△ABD是等腰直角三角形；（2）在BE上取點F，使BF＝CE，連接AF，∵線段AC與AD關于直線AP對稱，∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC，∵AD＝AC＝AB，∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE，在△ABF與△ACE中，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴AF＝AE，∵AD＝AB，∴∠D＝∠ABD，又∠CAE＝∠DAE，∴，∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，∴△AFE是等邊三角形，∴AF＝FE，∴BE＝BF+FE＝CE+AE．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，以及等邊三角形的判定與性質等，掌握等邊三角形的判定與性質，以及全等三角形的常見輔助線的構造方法是解題關鍵．8．如圖，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分線，求證：AE+BE=BC．答案:見解析分析：延長BE到F，使BF=BC，連接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通過△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，證得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到結論．【詳解】解：如圖，延長BE到F，使BF=BC，連接FC，∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=20°，∵BF=BC，∴∠F=∠BCF=80°，∴∠FCE=∠ACB=40°，在BC上取CF′=CF，連接EF′，在△FCE與△F′CE中，，∴△FCE≌△F′CE（SAS），∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，∴∠BF′E=100°，∴∠A=∠BF′E，在△ABE與△F′BE中，，∴△ABE≌△F′BE（AAS），∴AE=EF′，∴AE=EF，∴AE+BE=BE+EF=BC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，等腰三角形的性質，作輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．9．如圖，在中，，點D是線段BC上一個動點，點F在線段上，且，．垂足E在的延長線上．(1)如圖1，當點D與點C重合時，線段和的數量關系是______；(2)如圖2，當點D不與點B，C重合，（1）的結論是否成立？若成立，請說明理由．答案:(1)(2)成立，理由見解析分析：（1）延長與交于點G，先證明，判斷出；然后根據全等三角形的判定方法，判斷出，即可判斷出，再根據，可得，據此判斷即可．（2）過點D作，與交于H，與的延長線交于G，根據，，判斷出；然后根據全等三角形的判定方法，判斷出，即可判斷出；最后根據全等三角形的判定方法，判斷出，即可判斷出，所以，據此判斷即可．【詳解】（1）如圖1，延長與交于點G，，，，∵，∴，在和中，∴，，，，即，在和中，，，，又，．故答案為：．（2）結論：，理由如下：如圖2，過點D作，與交于H，與的延長線交于G，，，，，，又，同理（1）可得，，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．10．如圖，是一個銳角三角形，分別以、為邊向外作等邊三角形、，連接、交于點，連接．(1)求證：≌；(2)求的度數；(3)求證：平分．答案:(1)見解析(2)(3)見解析分析：（1）由、是等邊三角形，易證，繼而可證；（2）由≌，得到，進一步得到，由三角形內角和得到答案；（3）作于點于點，證明，由，即可得到結論．【詳解】（1）證明：、是等邊三角形，，，即，≌；（2）解：≌，，，；（3）證明：如圖，作于點于點，，，，，，，，平分．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、角平分性的判定知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．11．在中，，，直線經過點C，且于D，于E．(1)當直線繞點C旋轉到如下圖所示的位置時，求證：①；②；(2)當直線繞點C旋轉到如下圖所示的位置時，試問、、具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，不必證明；(3)當直線繞點C旋轉到如圖的位置時，試問、、具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，不必證明．答案:(1)①見解析；②見解析(2)(3)分析：（1）①用證明即可；②根據全等三角形的性質，得出，，進而得出；（2）先證明，可得，，進而得出；（3）先證明，可得，，進而得出．【詳解】（1）證明：①∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴；②∵，∴，，∴．（2）解：．∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴．（3）解：．∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，垂線的定義，余角的性質．解題的關鍵熟練掌握三角形全等的條件，證明．12．已知線段，將繞點逆時針旋轉得到，連接，在線段上取一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉得到，連接．(1)如圖1，當時，連接，求度數；(2)如圖2，當時，試探究線段與之間滿足的數量關系，并說明理由．答案:(1)(2)，理由見詳解分析：（1）由旋轉的性質可得，再結合題意及等腰三角形的性質即可獲得答案；（2）過點作于點，過點作于點，根據題意可得，，即，，，再證明，；根據“直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”可得，易得，結合垂直平分線的性質可得，即可證明．【詳解】（1）解：∵線段繞點逆時針旋轉得到，，∴，，∴；（2）如下圖，過點作于點，過點作于點，∵將繞點逆時針旋轉得到，∴，又∵，∴，，即，∵，∴，∵線段繞點逆時針旋轉得到，∴，，∴，即，∴，∵，，∴，∴在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、30度角所對的直角邊等于斜邊的一半、垂直平分線的定義與性質等知識，熟練掌握相關知識并靈活運用是解題關鍵．13．在中，，為延長線上一點，點為線段，的垂直平分線的交點，連接，，．(1)如圖1，當時，則______；(2)當時，①如圖2，連接，判斷的形狀，并說明理由；②如圖3，F是內一點，連接，，．若是等邊三角形，試猜想與之間的數量關系，并說明理由．答案:(1)100(2)①等邊三角形，理由見解析；②，理由見解析分析：（1）利用等腰三角形的性質，四邊形內角和定理求解即可；（2）①證明，可得結論；②結論；．連接，證明，可得結論．【詳解】（1）解：如圖1中，，，，，點是線段，的垂直平分線的交點，，，，，．故答案為：100；（2）①結論：是等邊三角形．理由：如圖2中，，，，，點是線段，的垂直平分線的交點，，，，，，，是等邊三角形；②結論：．理由：如圖3中，連接．，是等邊三角形，，，，，，，，，，．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．14．如圖1，是正三角形，是等腰三角形，，，以為頂點作一個角，角的兩邊分別交邊于，連接．(1)探究之間的關系，并說明理由．(2)若的邊長為2，求的周長．(3)若點分別是延長線上的點，其它條件不變，在圖②中畫出圖形，并說出之間的關系．答案:(1)，理由見解析(2)(3)見解析，，理由見解析分析：（1）延長至，使得，并連接，構造全等三角形，找到相等的線段，再進一步證明，進而等量代換得到；（2）利用（1）中結論，將的周長轉化為的和來解答；（3）按要求作出圖形，之間的關系是，理由為：先證，再證，即可得證．【詳解】（1）解：，理由如下：延長至，使得，并連接，如圖1所示，，為等腰三角形，為等邊三角形，，，，又，且，，，，在與中，，，，，，，，，即，，在和中，，，；（2）解：利用（1）中的結論得出：的周長；（3）解：按要求作出圖形，如圖所示，（1）中結論不成立，應為，理由如下：在上截取，是正三角形，，又，，，，又，，在和中，，，，在和中，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質及等邊三角形的性質及等腰三角形的性質；此題從不同角度考查了作相等線段構造去哪等三角形的能力，要充分利用等邊三角形及等腰三角形的性質，轉換各相等線段解答．15．閱讀材料：如圖，在中，，分別是邊，的中點，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長到點，使，連接，證明，再證四邊形是平行四邊形即得證．(1)類比遷移：如圖，是的中線，交于點，交于點，且，求證：．小明發現可以類比材料中的思路進行證明．證明：如圖，延長至點，使，連接，…請根據小明的思路完成證明過程．(2)方法運用：如圖，在等邊中，是射線上一動點（點在點的右側），連接．把線段繞點逆時針旋轉得到線段．是線段的中點，連接，．①請你判斷線段與的數量關系，并給出證明；②若，，請直接寫出的長．答案:(1)見解析(2)①，見解析；②2或4分析：（1）延長至，使，連接，證明（），由全等三角形的性質可得出，，則可得出結論；（2）①延長至