第16講拋物線【學習目標】1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質2.通過拋物線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想．3.了解拋物線的簡單應用【基礎知識】一、拋物線的概念1.平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線．【解讀】(1)定直線l不經過定點F.(2)定義中包含三個定值,分別為一個定點,一條定直線及一個確定的比值.特別提醒：平面內到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡不一定是拋物線.2.拋物線定義的兩種應用(1)實現距離轉化.根據拋物線的定義,拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離,因此,由拋物線定義可以實現點點距與點線距的相互轉化,從而簡化某些問題.(2)解決最值問題.在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時,往往用拋物線的定義進行轉化,即化折線為直線解決最值問題.與拋物線有關的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關．由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性,因此此類問題也有一定的難度．“看到準線想焦點,看到焦點想準線”,這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑．二、拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R開口方向向右向左向上向下【解讀】1.利用待定系數法求拋物線的標準方程的步驟(1)依據條件設出拋物線的標準方程的類型.(2)求參數p的值.(3)確定拋物線的標準方程.2.利用拋物線的性質可以解決的問題(1)對稱性:解決拋物線的內接三角形問題.(2)焦點、準線:解決與拋物線的定義有關的問題.(3)范圍:解決與拋物線有關的最值問題.(4)焦點:解決焦點弦問題.3.應用拋物線性質解題的常用技巧(1)拋物線的中點弦問題用點差法較簡便.(2)軸對稱問題,一是抓住對稱兩點的中點在對稱軸上,二是抓住兩點連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關系.(3)在直線和拋物線的綜合題中,經常遇到求定值、過定點問題.解決這類問題的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、參數法等.解決這些問題的關鍵是代換和轉化.三、直線與拋物線位置關系的判斷方法設直線l:y=kx+b,拋物線:y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此時直線與拋物線有一個交點,該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.(2)若k2≠0,當Δ>0時,直線與拋物線相交,有兩個交點:當Δ=0時,直線與拋物線相切,有一個交點;當Δ<0時,直線與拋物線相離,無公共點.特別提醒:判斷直線與拋物線的位置關系時注意斜率是否存在,是否為0的情況討論.四、拋物線上的點到直線距離的最小值問題求拋物線上的點到直線l距離最小值問題,方法一是設上的點,利用點到直線的距離公式把距離問題轉化為關于y的二次函數,配方求最值,方法二是確定與l平行的切線,把問題轉化為兩平行線之間的距離或切點到直線距離.五、拋物線基礎性質(1)以AB為直徑的圓與準線相切；(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8)A、O、三點共線；(9)B、O、三點共線；(10)；(11)(定值)；(12)；；(13)垂直平分；(14)垂直平分；(15)；(16)；(17)；(18)；(19);(20);(21).(22)切線方程HYPERLINK六、拋物線的焦點弦與切線過拋物線焦點弦的兩端點作拋物線的切線,則(1)切線交點在準線上(2)切線交點與弦中點連線平行于對稱軸(3)弦AB不過焦點即切線交點P不在準線上時,切線交點與弦中點的連線也平行于對稱軸．反之：(1)過拋物線準線上任一點作拋物線的切線,則過兩切點的弦必過焦點(2)過準線上任一點作拋物線的切線,過兩切點的弦最短時,即為通徑．【考點剖析】考點一：拋物線的方程例1．(2023學年四川省射洪中學校高二下學期期中)頂點在原點，關于x軸對稱，并且經過點的拋物線方程為(

)A． B．C． D．考點二：拋物線定義的應用例2．(2023學年內蒙古赤峰二中高二下學期第二次月考)已知的三個頂點都在拋物線上，且F為拋物線的焦點，若，則(

)A．12 B．10 C．9 D．6考點三：拋物線的性質例3．(多選)(2023學年湖南省邵陽市第二中學高二下學期期中)已知拋物線的焦點到準線的距離為2，則(

)A．焦點的坐標為B．過點恰有2條直線與拋物線有且只有一個公共點C．直線與拋物線相交所得弦長為8D．拋物線與圓交于兩點，則考點四：距離最值問題例4．(2023學年貴州省遵義市第四中學高二上學期期末質量監測)點F是拋物線的焦點，點，P為拋物線上一點，P不在直線AF上，則△PAF的周長的最小值是(

)A．4 B．6 C． D．考點五：與拋物線有關的定點問題例5．(2023-2021學年甘肅省平涼市涇川縣高二下學期期末)已知F為拋物線的焦點，M為拋物線上第一象限內的一點，且軸，．(1)求拋物線的方程；(2)直線l與拋物線交于A、B兩點，若，問直線l是否過定點，若恒過定點，請求出該定點，否則，請說明理由．考點六：與拋物線有關的定值問題例6．(2023學年四川省南充市閬中中學校高二下學期質量監測)已知拋物線：的焦點為，直線與拋物線相交于，兩點，則_________.考點七：與拋物線有關的面積最值問題例7．(2023學年重慶市第八中學校高二下學期期中)在平面直角坐標系中，一動圓經過點且與直線相切，設該動圓圓心的軌跡為曲線K，P是曲線K上一點.(1)求曲線K的方程；(2)過點A且斜率為k的直線l與曲線K交于B?C兩點，若且直線OP與直線交于Q點.求的值；(3)若點D?E在y軸上，的內切圓的方程為，求面積的最小值.【真題演練】1．(2023年高考全國卷=1\*ROMANI)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y軸的距離為9，則p= ()A．2 B．3 C．6 D．92．(2023年高考全國卷Ⅲ)設為坐標原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標為 ()A． B． C． D．3.(多選)(2023新高考全國卷=2\*ROMANII)已知O為坐標原點,過拋物線焦點F的直線與C交于A,B兩點,其中A在第一象限,點,若,則A.直線的斜率為 B.C. D.4.(多選)(2023新高考全國卷=1\*ROMANI)已知O為坐標原點,點在拋物線上,過點的直線交C于P,Q兩點,則A.C的準線為 B.直線AB與C相切C. D.5.(2023學年江蘇省南師附中高二下學期期末)已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，為坐標原點，若的面積為2，則到直線的距離為______.6.(2023學年遼寧省葫蘆島市高二上學期期末)已知拋物線的頂點為O，焦點為F，動點B在C上，若點B，O，F構成一個斜三角形，則______．7.(2023高考全國卷=2\*ROMANII)拋物線C的頂點為坐標原點O．焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且．已知點，且與l相切．(1)求C，的方程；(2)設是C上的三個點，直線，均與相切．判斷直線與的位置關系，并說明理由．8．(2023高考全國卷=1\*ROMANI)已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為．(1)求；(2)若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．【過關檢測】1.設拋物線C:的焦點為，準線為．是拋物線C上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線(

)A．經過點 B．經過點C．平行于直線 D．垂直于直線2.(2023學年河南省安陽市高二下學期階段性測試)已知拋物線C的頂點與坐標原點重合，焦點為.過F且斜率為正的直線l與C交于A，B兩點，若，則l的方程為(

)A． B．C． D．3.已知曲線C：y2＝2px(p＞0)，過它的焦點F作直線交曲線C于M、N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于點P，可證明是一個定值m，則m＝()A． B．1 C．2 D．4.(2023學年湖北省宜昌市英杰學校高二上學期12月月月考)過拋物線的焦點且斜率為的直線交拋物線于、兩點，拋物線的準線為，于，于，則四邊形的面積為(

)A．32 B． C．64 D．5.(多選)(2023學年湖南省長沙市南雅中學高二下學期期中)已知拋物線C：，圓F：(F為圓心)，點P在拋物線C上，點Q在圓F上，點A，則下列結論中正確的是(

)A．的最小值是 B．的最小值是C．當最大時， D．當最小時，6.(多選)(2023學年重慶市西南大學附屬中學校高二上學期月考)已知拋物線的焦點為，?是拋物線上兩點，則下列結論正確的是(

)A．點的坐標為B．若直線過點，則C．若，則的最小值為D．若，則線段的中點到軸的距離為7.拋物線的焦點為，其準線與軸交于點，如果在直線上存在點，使得，則實數的取值范圍是___________．8.(2023學年河南省安陽市高二下學期5月月考)已知拋物線：的焦點為，過點且斜率為2的直線與拋物線交于，兩點(點在軸的上方)，則______．9.(2023學年山西省太原市山西大學附屬中學高二下學期6月診斷)已知拋物線C：的焦點為F，若點在C上，且．(1)求C的方程：(2)P為y軸上一點，過點F的直線l交C于A，B兩點，若是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，求線段AB的長．10.(2023學年云南省玉溪第一中學高二下學期期中)已知點為拋物線的焦點，點在上，.(1)求拋物線的方程；(2)兩條互相垂直的直線均過點，其中一條與交于兩點，另一條與直線交于點，判斷直線與的位置關系，并說明理由.第16講拋物線【學習目標】1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質2.通過拋物線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想．3.了解拋物線的簡單應用【基礎知識】一、拋物線的概念1.平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線．【解讀】(1)定直線l不經過定點F.(2)定義中包含三個定值,分別為一個定點,一條定直線及一個確定的比值.特別提醒：平面內到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡不一定是拋物線.2.拋物線定義的兩種應用(1)實現距離轉化.根據拋物線的定義,拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離,因此,由拋物線定義可以實現點點距與點線距的相互轉化,從而簡化某些問題.(2)解決最值問題.在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時,往往用拋物線的定義進行轉化,即化折線為直線解決最值問題.與拋物線有關的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關．由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性,因此此類問題也有一定的難度．“看到準線想焦點,看到焦點想準線”,這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑．二、拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R開口方向向右向左向上向下【解讀】1.利用待定系數法求拋物線的標準方程的步驟(1)依據條件設出拋物線的標準方程的類型.(2)求參數p的值.(3)確定拋物線的標準方程.2.利用拋物線的性質可以解決的問題(1)對稱性:解決拋物線的內接三角形問題.(2)焦點、準線:解決與拋物線的定義有關的問題.(3)范圍:解決與拋物線有關的最值問題.(4)焦點:解決焦點弦問題.3.應用拋物線性質解題的常用技巧(1)拋物線的中點弦問題用點差法較簡便.(2)軸對稱問題,一是抓住對稱兩點的中點在對稱軸上,二是抓住兩點連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關系.(3)在直線和拋物線的綜合題中,經常遇到求定值、過定點問題.解決這類問題的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、參數法等.解決這些問題的關鍵是代換和轉化.三、直線與拋物線位置關系的判斷方法設直線l:y=kx+b,拋物線:y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此時直線與拋物線有一個交點,該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.(2)若k2≠0,當Δ>0時,直線與拋物線相交,有兩個交點:當Δ=0時,直線與拋物線相切,有一個交點;當Δ<0時,直線與拋物線相離,無公共點.特別提醒:判斷直線與拋物線的位置關系時注意斜率是否存在,是否為0的情況討論.四、拋物線上的點到直線距離的最小值問題求拋物線上的點到直線l距離最小值問題,方法一是設上的點,利用點到直線的距離公式把距離問題轉化為關于y的二次函數,配方求最值,方法二是確定與l平行的切線,把問題轉化為兩平行線之間的距離或切點到直線距離.五、拋物線基礎性質(1)以AB為直徑的圓與準線相切；(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8)A、O、三點共線；(9)B、O、三點共線；(10)；(11)(定值)；(12)；；(13)垂直平分；(14)垂直平分；(15)；(16)；(17)；(18)；(19);(20);(21).(22)切線方程HYPERLINK六、拋物線的焦點弦與切線過拋物線焦點弦的兩端點作拋物線的切線,則(1)切線交點在準線上(2)切線交點與弦中點連線平行于對稱軸(3)弦AB不過焦點即切線交點P不在準線上時,切線交點與弦中點的連線也平行于對稱軸．反之：(1)過拋物線準線上任一點作拋物線的切線,則過兩切點的弦必過焦點(2)過準線上任一點作拋物線的切線,過兩切點的弦最短時,即為通徑．【考點剖析】考點一：拋物線的方程例1．(2023學年四川省射洪中學校高二下學期期中)頂點在原點，關于x軸對稱，并且經過點的拋物線方程為(

)A． B．C． D．答案:B解析：依題意，設拋物線方程為，于是得，解得，所以所求拋物線方程是.故選B考點二：拋物線定義的應用例2．(2023學年內蒙古赤峰二中高二下學期第二次月考)已知的三個頂點都在拋物線上，且F為拋物線的焦點，若，則(

)A．12 B．10 C．9 D．6答案:C解析：由，得.設A，B，C的縱坐標分別是，由，有，即.由拋物線的定義可得:.故選C考點三：拋物線的性質例3．(多選)(2023學年湖南省邵陽市第二中學高二下學期期中)已知拋物線的焦點到準線的距離為2，則(

)A．焦點的坐標為B．過點恰有2條直線與拋物線有且只有一個公共點C．直線與拋物線相交所得弦長為8D．拋物線與圓交于兩點，則答案:ACD解析：由題可知拋物線方程為，對于A，焦點的坐標為，故A正確，對于B，過點有拋物線的2條切線，還有，共3條直線與拋物線有且只有一個交點，故B錯誤，對于C，，弦長為，故C正確對于D，，解得(舍去)，交點為，有，故D正確故選ACD考點四：距離最值問題例4．(2023學年貴州省遵義市第四中學高二上學期期末質量監測)點F是拋物線的焦點，點，P為拋物線上一點，P不在直線AF上，則△PAF的周長的最小值是(

)A．4 B．6 C． D．答案:C解析：拋物線的焦點，準線為，過點作準線于點，故△PAF的周長為，，可知當三點共線時周長最小，為，故選C考點五：與拋物線有關的定點問題例5．(2023-2021學年甘肅省平涼市涇川縣高二下學期期末)已知F為拋物線的焦點，M為拋物線上第一象限內的一點，且軸，．(1)求拋物線的方程；(2)直線l與拋物線交于A、B兩點，若，問直線l是否過定點，若恒過定點，請求出該定點，否則，請說明理由．解析：(1)∵軸，且，∴，代入，得，∴．(2)設，則．由可得設，則∵，則，∴，即或．∴或，∴恒過與M重合(舍)或恒過．綜上，直線l是恒過定點考點六：與拋物線有關的定值問題例6．(2023學年四川省南充市閬中中學校高二下學期質量監測)已知拋物線：的焦點為，直線與拋物線相交于，兩點，則_________.答案:解析：設，由得，所以，，，，．考點七：與拋物線有關的面積最值問題例7．(2023學年重慶市第八中學校高二下學期期中)在平面直角坐標系中，一動圓經過點且與直線相切，設該動圓圓心的軌跡為曲線K，P是曲線K上一點.(1)求曲線K的方程；(2)過點A且斜率為k的直線l與曲線K交于B?C兩點，若且直線OP與直線交于Q點.求的值；(3)若點D?E在y軸上，的內切圓的方程為，求面積的最小值.解析：(1)由題意可知圓心到的距離等于到直線的距離，由拋物線的定義可知，曲線K的軌跡方程為；(2)設直線l的方程為，聯立，消去y得，∴，∴，設，，∴，，又，，∴，∵，∴設直線OP的方程為，聯立，消y得，∴，∴，∴，令，則，∴，∴，∴，的值為1．(3)設，，，直線PD的方程為，由題可知圓心到PD的距離為2，即，整理得，同理可得，∴，可知b，c是方程的兩根，∴，，由圖依題意可知，即，則，∵，∴，∴，當且僅當，即時上式取等號，∴面積的最小值為32．【真題演練】1．(2023年高考全國卷=1\*ROMANI)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y軸的距離為9，則p= ()A．2 B．3 C．6 D．9答案:C解析：設拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得．故選C．2．(2023年高考全國卷Ⅲ)設為坐標原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標為 ()A． B． C． D．答案:B解析：因為直線與拋物線交于兩點，且，根據拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點坐標為，故選B．3.(多選)(2023新高考全國卷=2\*ROMANII)已知O為坐標原點,過拋物線焦點F的直線與C交于A,B兩點,其中A在第一象限,點,若,則A.直線的斜率為 B.C. D.答案:ACD解析：對于A,易得,由可得點在的垂直平分線上,則點橫坐標為,代入拋物線可得,則,則直線的斜率為,A正確；對于B,由斜率為可得直線的方程為,聯立拋物線方程得,設,則,則,代入拋物線得,解得,則,則,B錯誤；對于C,由拋物線定義知：,C正確；對于D,,則為銳角,又,則為銳角,,D正確.故選ACD.4.(多選)(2023新高考全國卷=1\*ROMANI)已知O為坐標原點,點在拋物線上,過點的直線交C于P,Q兩點,則A.C的準線為 B.直線AB與C相切C. D.答案:BCD解析：將點坐標代入得,所以拋物線C的方程為,故準線方程為,A錯誤；,所以直線的方程為,聯立,可得,解得,故B正確；設過的直線為,若直線與軸重合,則直線與拋物線只有一個交點,所以,直線的斜率存在,設其方程為,,聯立,得,所以,所以或,,又,,所以,故C正確；因為,,所以,而,故D正確.故選BCD5.(2023學年江蘇省南師附中高二下學期期末)已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，為坐標原點，若的面積為2，則到直線的距離為______.答案:解析：，設，因為，所以，不妨取，則,,則，故到距離為.6.(2023學年遼寧省葫蘆島市高二上學期期末)已知拋物線的頂點為O，焦點為F，動點B在C上，若點B，O，F構成一個斜三角形，則______．答案:2解析：如下圖，令，直線為拋物線準線，軸，由拋物線定義知：，又且，所以，故，又，故.7.(2023高考全國卷=2\*ROMANII)拋物線C的頂點為坐標原點O．焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且．已知點，且與l相切．(1)求C，的方程；(2)設是C上的三個點，直線，均與相切．判斷直線與的位置關系，并說明理由．解析：(1)依題意設拋物線，，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；(2)設若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據對稱性不妨設，則過與圓相切的另一條直線方程為，此時該直線與拋物線只有一個交點，即不存在，不合題意；若方程為，根據對稱性不妨設則過與圓相切的直線為，又，，此時直線關于軸對稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切．8．(2023高考全國卷=1\*ROMANI)已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為．(1)求；(2)若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．解析：(1)拋物線的焦點為，，所以，與圓上點的距離的最小值為，解得；(2)拋物線的方程為，即，對該函數求導得，設點、、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點為這兩條直線的公共點，則，所以，點、的坐標滿足方程，所以，直線的方程為，聯立，可得，由韋達定理可得，，所以，，點到直線的距離為，所以，，，由已知可得，所以，當時，的面積取最大值．【過關檢測】1.設拋物線C:的焦點為，準線為．是拋物線C上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線(

)A．經過點 B．經過點C．平行于直線 D．垂直于直線答案:A解析：如圖所示：．因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據定義可知，，所以線段的垂直平分線經過點.2.(2023學年河南省安陽市高二下學期階段性測試)已知拋物線C的頂點與坐標原點重合，焦點為.過F且斜率為正的直線l與C交于A，B兩點，若，則l的方程為(

)A． B．C． D．答案:D解析：依題意，拋物線C的方程：，顯然直線l不垂直于y軸，設其方程為：，由消去x并整理得：，設，于是得，而直線l的斜率為正，且，即，有，即有，則，解得，因此，解得，所以直線l的方程為：，即.故選D3.已知曲線C：y2＝2px(p＞0)，過它的焦點F作直線交曲線C于M、N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于點P，可證明是一個定值m，則m＝()A． B．1 C．2 D．答案:A解析：由拋物線的方程可得焦點F(，0)，準線的方程為：x，由題意可得直線MN的斜率不為0，設直線MN的方程為：x＝ty，設t＞0，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯立，整理可得：，所以y1+y2＝2pt，x1+x2＝t(t1+y2)+p＝2pt2+p，所以MN的中點Q(pt2，pt)，由拋物線的性質可得|MN|＝x1+x2+p＝2pt2+2p＝2p(1+t2)，|QF|pt，由直線MN的方程可得tan∠QFP，所以cos∠QFP，由題意在Rt△QFP中，|PF|p(1+t2)，所以為定值，所以m的值為，故選A．4.(2023學年湖北省宜昌市英杰學校高二上學期12月月月考)過拋物線的焦點且斜率為的直線交拋物線于、兩點，拋物線的準線為，于，于，則四邊形的面積為(

)A．32 B． C．64 D．答案:D解析：由拋物線得其焦點，設直線AB的方程為，與拋物線的方程聯立，整理得，即，解得，所以，所以，，，所以四邊形的面積為，故選D.5.(多選)(2023學年湖南省長沙市南雅中學高二下學期期中)已知拋物線C：，圓F：(F為圓心)，點P在拋物線C上，點Q在圓F上，點A，則下列結論中正確的是(

)A．的最小值是 B．的最小值是C．當最大時， D．當最小時，答案:AC解析：拋物線C：的焦點，圓F：的圓心，半徑，對于A，的最小值是的最小值減去圓的半徑，又的最小值是1，的最小值是，A正確