3.2復數代數形式的四則運算3.2.1復數代數形式的加減運算及其幾何意義

復數的加、減法法則及幾何意義與運算律必備知識·自主學習z1,z2,z3∈C,設分別與復數z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)相對應,且不共線加法減法運算法則z1+z2=(a+c)+(b+d)iz1-z2=_____________(a-c)+(b-d)i幾何意義

復數的和z1+z2與向量的坐標對應

復數的差z1-z2與向量的坐標對應運算律交換律z1+z2=z2+z1【思考】

(1)兩個復數的和或差得到的結果是什么?提示:結果仍然是唯一的復數.(2)復數的加法法則可以推廣嗎?提示:可以推廣到多個復數相加的情形.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)兩個復數的加法不滿足結合律. (

)(2)復數的加法運算法則只適用于兩個復數相加. (

)(3)復數與向量一一對應. (

)提示:(1)×.復數的加減法滿足結合律.(2)×.可以推廣到多個復數相加.(3)×.正確說法是:復數z=a+bi與平面向量:=(a,b)一一對應.2.(教材二次開發:練習題改編)已知z=11-20i,則1-2i-z等于 (

)A.z-1 B.z+1C.-10+18i D.10-18i【解析】選C.1-2i-z=1-2i-(11-20i)=-10+18i.3.若復數z滿足z+(3-4i)=1,則z的虛部是 (

)A.-2 B.4 C.3 D.-4【解析】選B.z=1-(3-4i)=-2+4i.關鍵能力·合作學習類型一復數的加減運算(數學運算)【題組訓練】1.計算:(2-3i)+(-4+2i)=________.

2.已知x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),則x=_______,y=_______.

3.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y為實數,若z1-z2=5-3i,則|z1+z2|=________.

【解析】1.(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.答案:-2-i2.整理(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi)得x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i,故解得答案:6

11【解析】1.(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.答案:-2-i2.整理(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi)得x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i,故解得答案:6

113.z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,所以解得所以z1=3-2i,z2=-2+i,則z1+z2=1-i,所以|z1+z2|=.答案:

【解題策略】復數加、減運算法則的記憶

(1)復數的實部與實部相加減,虛部與虛部相加減.(2)把i看作一個字母,類比多項式加減中的合并同類項.提醒:注意運算格式及范圍,避免出錯在進行復數減法運算時要注意格式,兩復數相減所得結果依然是一個復數,其對應的實部與虛部分別是兩復數的實部與虛部的差.注意中間用“+”號,如z1=a+bi,z2=c+di,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,而不是z1-z2=(a-c)-(b-d)i(a,b,c,d∈R).【補償訓練】1.已知復數z+3i-3=3-3i,則z= (

)A.0 B.6i C.6 D.6-6i【解析】選D.因為z+3i-3=3-3i,所以z=(3-3i)-(3i-3)=6-6i.2.已知復數z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是純虛數,則實數a=________.

【解析】由條件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是純虛數,所以解得a=3.答案:3類型二復數加減法的幾何意義(數學運算、直觀想象)【典例】1.設向量對應的復數分別為z1,z2,z3,那么 (

)

A.z1+z2+z3=0 B.z1-z2-z3=0C.z1-z2+z3=0 D.z1+z2-z3=02.在復平面內,若對應的復數分別為7+i,3-2i,則||=________.

3.如圖所示,平行四邊形OABC的頂點O,A,C分別表示復數0,3+2i,-2+4i.求:(1)表示的復數.(2)對角線表示的復數.(3)對角線表示的復數.3.如圖所示,平行四邊形OABC的頂點O,A,C分別表示復數0,3+2i,-2+4i.求:(1)表示的復數.(2)對角線表示的復數.(3)對角線表示的復數.【解析】1.選D.因為,所以z1+z2=z3,即z1+z2-z3=0.2.答案:53.(1)因為,所以表示的復數為-3-2i.(2)因為,所以對角線表示的復數為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因為對角線,所以對角線表示的復數為(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.【解題策略】利用復數加減運算的幾何意義解題的技巧及常見結論

(1)技巧.①形轉化為數:利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉化成復數運算去處理;②數轉化為形:對于一些復數運算也可以給予幾何解釋,使復數作為工具運用于幾何之中.(2)常見結論:在復平面內,z1,z2對應的點分別為A,B,z1+z2對應的點為C,O為坐標原點,則四邊形OACB:①為平行四邊形;②若|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為矩形;③若|z1|=|z2|,則四邊形OACB為菱形;④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為正方形.【跟蹤訓練】(2020·全國Ⅱ卷)設復數z1,z2滿足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,則|z1-z2|=__________.

【解析】因為|z1|=|z2|=2,可設z1=2cosθ+2sinθ·i,z2=2cosα+2sinα·i,所以z1+z2=2(cosθ+cosα)+2(sinθ+sinα)·i=+i,所以兩式平方作和得:4(2+2cosθcosα+2sinθsinα)=4,化簡得cosθcosα+sinθsinα=-,所以|z1-z2|=|2(cosθ-cosα)+2(sinθ-sinα)·i|答案:2

【補償訓練】在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,若向量對應的復數分別是3+i,-1+3i,則對應的復數是 (

)A.2+4i

B.-2+4i

C.-4+2i

D.4-2i【解析】選D.在平行四邊形ABCD中,=3+i-(-1+3i)=4-2i.類型三復數模的最值問題(直觀想象、數學抽象)【典例】1.如果復數z滿足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是(

)A.1

B.

C.2

D.

2.若復數z滿足|z+

+i|≤1,求|z|的最大值和最小值.【思路導引】1.設復數z,-i,i,-1-i在復平面內對應的點分別為Z,Z1,Z2,Z3,則點Z的集合為線段Z1Z2.問題轉化為:動點Z在線段Z1Z2上移動,求|ZZ3|的最小值.2.滿足|z+

+i|≤1的條件的點落在以(-

,-1)為圓心,半徑為1的圓上以及內部,則|z|的最值即為求到原點的距離的最值.【解析】1.選A.設復數z,-i,i,-1-i在復平面內對應的點分別為Z,Z1,Z2,Z3,因為|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以點Z的集合為線段Z1Z2.問題轉化為:動點Z在線段Z1Z2上移動,求|ZZ3|的最小值,因為|Z1Z3|=1.所以|z+i+1|min=1.2.如圖所示,=2.所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.【解題策略】

1.復數z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=

,實際上就是指復平面上的點Z到原點O的距離;|z1-z2|的幾何意義是復平面上的點Z1,Z2兩點間的距離.2.復數z、復平面上的點Z及向量相互聯系,即z=a+bi(a,b∈R)?Z(a,b)?.【跟蹤訓練】已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i為虛數單位)的最小值.【解析】因為|z|=1且z∈C,作圖如圖:所以|z-2-2i|的幾何意義為單位圓上的點Q到復平面上的點P(2,2)的距離,所以|z-2-2i|的最小值為|OP|-1=2-1.課堂檢測·素養達標1.a,b為實數,設z1=2+bi,z2=a+i,當z1+z2=0時,復數a+bi為 (

)

A.1+i B.2+i C.3 D.-2-i【解析】選D.因為z1=2+bi,z2=a+i,所以z1+z2=2+bi+(a+i)=0,所以a=-2,b=-1,即a+bi=-2-i.2.如圖,在復平面內,復數z1,z2對應的向量分別是,則|z1+z2|=(

)A.1

B.

C.2 D.3【解析】選B.由圖象可知z1=-2-2i,z2=i,所以z1+z2=-2-i,|z1+z2|=

.3.在復平面內的平行四邊形ABCD中,對應的復數是6+8i,對應的復數是-4+6i,則對應的復數是 (

)A.2+14i

B.1+7i

C.2-14i

D.-1-7i【解析】選D.依據向量的平行四邊形法則可得,,由對應的復數是6+8i,對應的復數是-4+6i,依據復數加減法的幾何意義可得對應的復數是-1-7i.4.設z1=1-i,z2=a+2ai(a∈R),其中i是虛數單位,若復數z1+z2是純虛數,則有(

)

A.a=1 B.a=

C.a=0 D.a=-1【解析】選D.因為復數z1+z2=1-i+a+2ai=1+a+(2a-1)i是純虛數,所以a+1=0,2a-1≠0,所以a=-1.5.計算下列各題(1)(-2+3i)+(5-i).(2)(-1+

i)+(1-

i).【解析】(1)原式=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.(2)原式=(-1+1)+(-)i=0.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應更堅強.勵志名言請您欣賞4.設z1=1-i,z2=a+2ai(a∈R),其中i是虛數單位,若復數z1+z2是純虛數,則有(

)

A.a=1 B.a=

C.a=0 D.a=-1【解析】選D.因為復數z1+z2=1-i+a+2ai=1+a+(2a-1)i是純虛數,所以a+1=0,2a-1≠0,所以a=-1.2.如圖,在復平面內,復數z1,z2對應的向量分別是,則|z1+z2|=(

)A.1

B.

C.2 D.3【解析】選B.由圖象可知z1=-2-2i,z2=i,所以z1+z2=-2-i,|z1+z2|=

.