第十六講棋盤中的數學1．棋盤中的圖形與面積；2．棋盤中的覆蓋問題：（1）概念：用某種形狀的卡片，按一定要求將棋盤覆蓋住，就是棋盤的覆蓋問題。實際上，這里并不要求一定是某種棋盤，只要是有關覆蓋若干行、若干列的方格網的問題，就是棋盤的覆蓋問題。（2）分類：棋盤的覆蓋問題可以分為三類，一是能不能覆蓋的問題，二是最多能用多少種圖形覆蓋的問題，三是有多少種不同的覆蓋方法問題。（3）重要結論：①m×n棋盤能被2×1骨牌覆蓋的條件是m、n中至少有一個是偶數．②2×n的方格棋盤能用形骨牌覆蓋的條件是3｜n．3、棋盤中的象棋問題：所謂棋盤，常見的有中國象棋棋盤（下圖（1）），圍棋盤（下圖（2）），還有國際象棋棋盤（下圖（3））．以這些棋盤為背景而提出的問題統稱為棋盤問題。這里面與數學推理、計算相關的棋盤問題，就叫做棋盤中的數學問題。解決棋盤中的數學問題所使用的數學知識，統稱棋盤中的數學。1、利用卡片覆蓋已知圖形，掌握一是能不能覆蓋的問題，二是最多能用多少種圖形覆蓋的問題，三是有多少種不同的覆蓋方法問題；2、利用象棋知識尋找路線；問：這三個棋子（一個黑“象”和兩個紅“相”）各在什么位置時，以這三個棋子為頂點構成的三角形的面積最大？答案：黑“象”在2或3的位置，兩個紅“相”分別在10，12的位置時，以這三個棋子為頂點的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面積最大，如下圖所示．分析：我們設每個小方格的邊長為1單位．則小方格正方形面積為1平方單位．由于三個頂點都在長方形邊上的三角形面積至多為這個長方形面積的一半．所以要比較三角形面積的大小，只要比較三角形的三個頂點所在邊的外接長方形面積的大小就可見端倪．直觀可見，只須比較（3，10，12）或（2，10，12）與（3，10，13）或（2，12，14）這兩類三角形面積就可以了．頂點為（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面積等于：所以頂點在（2，10，12）或（3，10，12）時三角形面積最大．例6、如下圖是半張棋盤，請你用兩個車、兩個馬、兩個炮、一個相和一個兵這八個子放在這半個棋盤上，使得其余未被占據的點都在這八個點的控制之下（要符合象棋規則，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同樣“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．馬走“日”字，“車”走直線，“炮”隔子控制等）．答案：這仍是一個占位問題，只需要把指出的幾個子排布成所要求的陣勢即可，如下圖所示．分析：主要考查棋盤中的覆蓋問題：完全覆蓋問題。只要把每個棋的走法掌握該類型題應該沒有太大問題。A檔1、在4×4的正方形中，至少要放多少個形如所示的卡片，才能使得在不重疊的情形下，不能再在正方形中多放一個這樣的卡片？（要求卡片的邊緣與格線重合）答案與提示：3個。提示：右圖是一種放法。2、能否用9個形如的卡片覆蓋6×6的棋盤？答案與提示：不能。右圖中黑、白格各18個，每張卡片蓋住的黑格數是奇數，9張卡片蓋住的黑格數之和仍是奇數，不可能蓋住18個黑格。3、有若干個邊長為1、邊長為2、邊長為3的小正方形，從中選出一些拼成一個邊長為4的大正方形，共有多少種不同拼法？（只要選擇的各種小正方形的數目相同就算相同的拼法）答案與提示：6種。用小正方形拼成邊長為4的大正方形有6種情形：（1）1個3×3，7個1×1；（2）1個2×2，12個1×1；（3）2個2×2，8個1×1；（4）3個2×2，4個1×1；（5）4個2×2；（6）16個1×1。 B檔4、要不重疊地剛好覆蓋住一個正方形，最少要用多少個右圖所示的圖形？答案與提示：因為圖形由3個小方格構成，所以要拼成的正方形內所含的小方格數應是3的倍數，從而正方形的邊長應是3的倍數。經試驗，不可能拼成邊長為3的正方形。所以拼成的正方形的邊長最少是6（見右圖），需要用題目所示的圖形36÷3=12（個）。5、下圖的七種圖形都是由4個相同的小方格組成的。現在要用這些圖形拼成一個4×7的長方形（可以重復使用某些圖形），那么，最多可以用上幾種不同的圖形？答案與提示：先從簡單的情形開始考慮。顯然，只用1種圖形是可以的，例如用7個（7）；用2種圖形也沒問題，例如用1個（7），6個（1）。經試驗，用6種圖形也可以拼成4×7的長方形（見下圖）。能否將7種圖形都用上呢？7個圖形共有4×7=28（個）小方格，從小方格的數量看，如果每種圖形用1個，那么有可能拼成4×7的長方形。但事實上卻拼不成。為了說明，我們將4×7的長方形黑、白相間染色（見右圖），圖中黑、白格各有14個。在7種圖形中，除第（2）種外，每種圖形都覆蓋黑、白格各2個，共覆蓋黑、白格各12個，還剩下黑、白格各2個。第（2）種圖形只能覆蓋3個黑格1個白格或3個白格1個黑格，因此不可能覆蓋住另6種圖形覆蓋后剩下的2個黑格2個白格。綜上所述，要拼成4×7的長方形，最多能用上6種圖形。6、用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一個11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少個？答案與提示：用3個2×2正方形和2個3×3正方形可以拼成1個5×6的長方形（見左下圖）。用4個5×6的長方形和1個1×1的正方形可以拼成1個11×11的大正形（見右下圖）。上面說明用1個1×1的正方形和若干2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的大正方形。那么，不用1×1的正方形，只用2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的正方形嗎？將11×11的方格網每隔兩行染黑一行（見下頁右上圖）。將2×2或3×3的正方形沿格線放置在任何位置，都將覆蓋住偶數個白格，所以無論放置多少個2×2或3×3的正方形，覆蓋住的白格數量總是偶數個。但是，右圖中的白格有11×7=77（個），是奇數，矛盾。由此得到，不用1×1的正方形不可能拼成11×11的正方形。綜上所述，要拼成11×11的正方形，至少要用1個1×1的小正方形。7、用七個1×2的小長方形覆蓋下圖，共有多少種不同的覆蓋方法？答案與提示：盲目無章的試驗，很難搞清楚。我們采用分類討論的方法。如下圖所示，蓋住A所在的小格只有兩種情況，其中左下圖中①②兩個小長方形只能如圖覆蓋，其余部分有4種覆蓋方法：右下圖中①②③三個小長方形只能如圖覆蓋，其余部分有3種覆蓋方法。所以，共有7種不同覆蓋方法。8、有許多邊長為1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬紙片。用這些硬紙片拼成一個長5厘米、寬3厘米的長方形的紙板，共有多少種不同的拼法？（通過旋轉及翻轉能相互得到的拼法認為是相同的拼法）答案與提示：有一個邊長3厘米紙片有如下3種拼法：有兩個邊長2厘米紙片的有如下4種拼法：有一個邊長2厘米及11個邊長1厘米紙片的有2種拼法，邊長全是1厘米紙片的有1種拼法。共有不同的拼法3＋4＋2+1=10（種）。答：共有10種不同的拼法。C檔9、小明有8張連在一起的電影票（如右圖），他自己要留下4張連在一起的票，其余的送給別人。他留下的四張票可以有多少種不同情況？答案與提示：25種。形如圖（A）（B）（C）（D）的依次有3，10，6，6種。10、有若干個邊長為1、邊長為2、邊長為3的小正方形，從中選出一些拼成一個邊長為4的大正方形，共有多少種不同拼法？（只要選擇的各種小正方形的數目相同就算相同的拼法）答案與提示：6種。用小正方形拼成邊長為4的大正方形有6種情形：（1）1個3×3，7個1×1；（2）1個2×2，12個1×1；（3）2個2×2，8個1×1；（4）3個2×2，4個1×1；（5）4個2×2；（6）16個1×1。11、能不能用9個1×4的長方形卡片拼成一個6×6的正方形？答案與提示：不能。用1，2，3，4對6×6棋盤中的小方格編號（見右圖）。一個1×4的矩形一次只能覆蓋1，2，3，4號各一個，而1，2，3，4號數目不等，分別有9，10，9，8個。12、一種游戲機的“方塊”游戲中共有如下頁圖所示的七種圖形，每種圖形都由4個面積為1的小方格組成．現用7個這樣的圖形拼成一個7×4的長方形（可以重復使用某些圖形）．那么，最多可以用上面七種圖形中的幾種？答案：要拼成4×7的方格，最多能用上七種“方塊”中的6種圖形13、由1×1、2×2、3×3的小正方形拼成一個23×23的大正方形，在所有可能的拼法中，利用1×1的正方形最少個數是多少？試證明你的結論．答案：至少要用一個1×1的小正方形。14、如下左圖是一個國際象棋棋盤，A處有只螞蟻，螞蟻只能由黑格進入白格再由白格進入黑格這樣黑白交替地行走，已經走過的格子不能第二次進入．請問，螞蟻能否從A出發，經過每個格子最后返回到A處？若能，請你設計一種路線，若不能，請你說明理由．解：這種爬行路線是存在的．具體的設計一條，如右圖所示．15、下圖是一個圍棋盤，另有一堆圍棋子，將這堆棋子往棋盤上放，當按格點擺成某個正方陣時，尚多余12枚棋子，如果要將這個正方陣改擺成每邊各加一枚棋子的正方陣，則差9枚棋子才能擺滿．問：這堆棋子原有多少枚？解：第一次排方陣剩余12枚，加上第二次排方陣所不足的9枚，恰是原正方陣擴大后“貼邊”的部分（如下圖所示），共21枚，它恰是原正方陣每邊棋子數與“擴陣”每邊棋子數之和．恰是兩個相鄰自然數之和，所以原正方陣每邊10枚棋子，新正方陣每邊11枚棋子．這堆棋子總數是102＋12＝112枚．答：這堆棋子原有112枚．1、如下左圖是一個國際象棋棋盤，A處有只螞蟻，螞蟻只能由黑格進入白格再由白格進入黑格這樣黑白交替地行走，已經走過的格子不能第二次進入．請問，螞蟻能否從A出發，經過每個格子最后返回到A處？若能，請你設計一種路線，若不能，請你說明理由．答案：這種爬行路線是存在的．具體的設計一條，如右圖所示。2、在8×8的方格棋盤中，如下圖所示，填上了一些數字1，2，3，4．試將這個棋盤分成大小和形狀都相同的四塊，并且每塊中都恰有1、2、3、4四個數字．答案：①將兩個并列在一起的“4”分開，先畫出這段劃分線，并將它分別繞中心旋轉90°，180°和270°，得到另外三段劃分線，如下圖（1）所示．②仿照上述方法，畫出所有這樣的劃分線，如上圖（2）所示．③從最里層開始，沿著畫出的劃分線作設想分塊，如上圖（3），這個分塊中要含1，2，3，4各一個，且恰為16塊小方格．④將上面的陰影部分繞中心旋轉180°，可以得到符合條件的另一塊，空白部分的兩塊也符合條件，所求的劃分如上頁圖（4）所示3、要不重疊地剛好覆蓋住一個正方形，最少要用多少個右圖所示的圖形？答案：84、一種游戲機的“方塊”游戲中共有如下頁圖所示的七種圖形，每種圖形都由4個面積為1的小方格組成．現用7個這樣的圖形拼成一個8×4的長方形（可以重復使用某些圖形）．那么，最少可以用上面七種圖形中的幾種？答案：要拼成8×4的方格，最多能用上七種“方塊”中的1種圖形5、能不能用9個1×4的長方形卡片拼成一個12×3的正方形？答案與提示：能。1、要不重疊地剛好覆蓋住一個正方形，最少要用多少個右圖所示的圖形？答案：122、一種游戲機的“方塊”游戲中共有如下頁圖所示的七種圖形，每種圖形都由4個面積為1的小方格組成．現用7個這樣的圖形拼成一個8×4的長方形（可以重復使用某些圖形）．那么，最少可以用上面七種圖形中的幾種？答案：要拼成8×4的方格，最多能用上七種“方塊”中的1種圖形3、能不能用9個2×3的長方形卡片拼成一個7×8的正方形？答案與提示：不能。4、在