1.3.1函數的單調性與最大（小）值（第一課時）教學設計教學內容解析：(1)教學內容的內涵、數學思想方法、核心與教學重點；本課教學內容出自人教版《普通高中課程標準實驗教科書必修數學1》（以下簡稱“新教材”）第一章3.1節。函數的單調性是研究當自變量x不斷增大時，它的函數y增大還是減小的性質．如增函數表現為“隨著x增大，y也增大”這一特征．與函數的奇偶性不同，函數的奇偶性是研究x成為相反數時，y是否也成為相反數，即函數的對稱性質．函數的單調性與函數的極值類似，是函數的局部性質，在整個定義域上不一定具有．這與函數的奇偶性、函數的最大值、最小值不同，它們是函數在整個定義域上的性質．函數單調性的研究方法也具有典型意義，體現了對函數研究的一般方法：加強“數”與“形”的結合，由直觀到抽象；由特殊到一般．首先借助對函數圖象的觀察、分析、歸納，發現函數的增、減變化的直觀特征，進一步量化，發現增、減變化數字特征，從而進一步用數學符號刻畫．函數單調性的概念是研究具體函數單調性的依據，在研究函數的值域、定義域、最大值、最小值等性質中有重要應用（內部）；在解不等式、證明不等式、數列的性質等數學的其他內容的研究中也有重要的應用（外部）．可見，不論在函數內部還是在外部，函數的單調性都有重要應用，因而在數學中具有核心地位．教學的重點是：引導學生對函數定義域I的給定區間D上“隨著x增大，y也增大（或減小）”這一特征進行抽象的符號描述：在區間D上任意取x1，x2，當x1＜x2時，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），則稱函數f（x）在區間D上是增函數（或減函數）．(2)教學內容的知識類型；在本課教學內容中，包含了四種知識類型。函數單調性的相關概念屬于概念性知識，函數單調性的符號語言表述屬于事實性知識，利用函數單調性的定義證明函數單調性的步驟屬于程序性知識，發現問題----提出問題----解決問題的研究模式，以及從直觀到抽象，由特殊到一般，從感性到理性、先猜想后證明等研究問題的一般方法，屬于元認知知識.(3)教學內容的上位知識與下位知識；在本課教學內容中，函數的單調性，是文字語言、圖形語言、符號語言的上位知識.圖象法、作差法是判斷證明函數單調性的下位知識.(4)思維教學資源與價值觀教育資源；生活常見數據曲線圖例子，能引發觀察發現思維；函數f(x)=0.001x+1和函數，能引發提出問題---分析問題----解決問題的研究思維，不等關系等價轉化為作差定號，是轉化化歸思維的好資源，是樹立辯證唯物主義價值觀的好契機；創設熟悉的二次函數探究背景，是引發從直觀到抽象，由特殊到一般，從感性到理性、先猜想后證明思維的好材料，樹立了“事物是普遍聯系的”價值觀.二、教學目標設置：本課教學以《普通高中數學課程標準（實驗）》（以下統稱為“課標”）為基本依據，以“數學育人”作為根本目標設置。“課標”數學1模塊內容要求是：不僅把函數看成變量之間的依賴關系，還要用集合與對應的語言刻畫函數，體會函數的思想方法與研究方法，結合實際問題，體會函數在數學和其他學科中的重要性。“課標”對本課課堂教學內容要求是：通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的單調性.(第一課時)為盡好達到以上要求，結合學生實際，本課課堂教學目標設置如下：(1)知識與技能：理解函數單調性的概念，讓學生能清晰表述函數單調性的定義與相關概念；能利用圖象法直觀判斷函數的單調性；初步掌握利用函數單調性定義從正反兩個角度分析、判斷、證明函數單調性.理解函數單調性定義蘊含的不等關系，初步掌握利用作差比較推理證明函數單調性的方法.(2)過程與方法：經歷觀察發現、歸納類比、抽象概括、符號表示、推理論證等思維過程，提高相應的數學思維能力；探索函數單調性的符號語言表述，體會數形結合、分類討論、特殊與一般、無限與有限、等價轉化等數學思想.(3)情感、態度與價值觀：通過觀察生活常見數據例子，感受數學的科學價值與應用價值，提高學習數學的興趣。通過自主學習、小組合作探究，形成獨立思考、討論爭辯、合作整理的良好學習模式與氛圍.通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生感知從直觀到抽象，由特殊到一般，從感性到理性、先猜想后證明的認知過程，形成對后續函數性質的一般研究方法，形成批判性的思維習慣，崇尚數學的理性精神，樹立辯證唯物主義世界觀.三、學生學情分析：(1)學生已有基礎：認知基礎：從學生知識最近發展區來看。他們在初中已經接觸過函數的單調性，不過那時沒有提函數的單調性，而是用體現變量之間依賴關系的文字語言“y隨x的增大而增大，y隨x的增大而減小”來描述，符合學生的認知規律，同時一次函數、二次函數的圖象直觀地體現了函數的這一性質.能理解不等關系，理解a＞b可以等價轉化為a－b＞0,a＜b可以等價轉化為a－b＜0.非認知基礎：通過小學、初中和高中階段集合與函數概念的學習，學生具有一定的抽象概括、類比歸納、符號表示的能力.具備相當的日常生活經驗,能看懂曲線圖.(2)教學難點及難點突破：難點1：能用不等關系對“隨著”、“增大”、“減小”這種文字語言進行符號化.這個差距是從自然描述抽象概括為符號表述.抽象能力稍強的學生可以通過同時對比函數的列表和圖象，用數形結合思想，自主消除差距.如果學生抽象能力稍弱，教師可以提示“增大、減小都是體現大小比較的詞匯”，啟發學生用比較大小的方法抽象概括.并用“當…時，有…”來體現“隨著”這種變量間的伴隨關系.難點2：能理解“任意…都…”這個句式的具體含義：第一，不能取特定值來判別函數的單調性；這里的差異是學生要理解可以用特殊推廣到一般，但不能用特殊代替一般，學生也許理解不透徹，需要教師提起注意，本課設置了辨析題1解決這個問題；第二，正是由于取值的任意性，造就了函數的單調性的局部性。這里的差異是學生要理解如果不在同一個單調區間內取值驗證，會出現不能界定單調性的矛盾.學生第一次接觸這樣高度概括的符號語言，這個差距多數需要教師設置有效教學環節幫助消除，本課設置了辨析題2，并采用小組合作探究的學習模式，讓學生獨立思考、充分討論、正誤對比來獲得正確認識.第三、用“任意”的必要性，體現化無限為有限的思想.這里的差距是學生要理解“任意”這個說法的必要性，由于是高度概括的文字語言，理解起來需要演繹推理的過程，這個差距是需要教師幫助消除的，本課通過下列問題串來解決：“師問：x1和x2是一對具有代表性的符號，它們究竟代表了多少對數值？生答：無數對師問：無數對還是所有對？生答：所有對師問：無數能代替所有嗎？生答：不能師問：什么可以代替？生答：可以用“任意”來代替”.四、教學策略分析：(1)教學材料分析；學生在初中已經接觸過函數的單調性，不過那時沒有提函數的單調性，而是用體現變量之間依賴關系的文字語言描述，符合學生的認知規律，同時一次函數、二次函數的圖象直觀地體現了函數的這一性質.可以選擇他們熟悉的一次函數、二次函數函數通過有效組織成為教學材料，在不經意中展示函數f(x)=0.001x+1引發不能靠圖象直觀判斷，要靠解析式代值驗證；再展示函數說明靠解析式代值驗證操作性很差，需要發展新知識----利用解析式快速判斷單調性，這兩個教學材料貼近學生實際出發，能有效引發思考，十分自然地推動了知識發展；再以二次函數f(x)=x2承擔主要探究材料，組織列表和圖象對比材料，驅動學生由“形”轉“數”，提煉符號語言描述；組織兩道辨析題，問題驅動深挖定義的內涵；組織直觀判斷單調性的例1以及需要用定義判斷證明的例2及練習，肯定了利用函數解析式探求函數單調性的方法.(2)教學方法分析；本課教學內容重點是函數單調性符號語言描述的抽象概括過程，是學生遇到的抽象程度極高的符號語言，所以結合幻燈片、實物投影等多媒體技術的教學手段，選擇觀察發現式、問題啟發式、合作討論式的教學方法.(3)設計“問題串”的分析：依據的學生認知規律，從問題1至問題5以及兩個思考，“問題串”的設計體現了從直觀到抽象，由特殊到一般，從感性到理性、先猜想后證明的脈絡，有利于形成對后續函數性質的一般研究方法.“問題串”的設計也體現了發現問題----提出問題----解決問題的研究模式，不斷激發學生學習數學的興趣，樹立學好數學的信心.通過設計快問快答的預備“小問題串”，貼切學生思維，拉升思維速度，極大地滿足學生的成功感，樹立了學生的自信，激發了探索欲望.(4)縮小認知差距的分析：通過設計探究、發現與合作交流．全程參與新知識的形成過程，及時獲得評價與反饋。通過問題的合理設計激發興趣，在師生互動、生生互動中，體驗知識與方法的生成過程．形成學生主動參與，自主與合作探究的課堂氣氛．為不同認知基礎的學生提供相應的學習機會和適當幫助(5)學習反饋的分析：通過兩道辨析題反饋對函數單調性定義中“任意”的理解；通過例1反饋對函數單調性相關概念的理解；通過例2的練習反饋利用函數單調性定義、作差法來判斷、證明單調性的學習效果.通過課堂小結反饋學生的知識、方法、思想、學法上的收獲.五、教學過程/步驟(一)感知數學引入新課觀察以上圖象，它們都反映了事物的哪種變化規律？【活動】讓全班觀察，請若干學生發言【設計意圖】創設了生活中常見數據曲線圖的例子情境，激發學生的學習興趣.通過問題滲透函數是研究事物運動變化規律的好模型，通過兩種語言的描述：“上升”“下降”和“f(x)隨著x的增大而增大或減小”，完成對函數單調性概念的第一次認識．點出課題，同時獲得判斷單調性的直觀方法----圖象法.(二)激發沖突由形入數問題1：觀察下列函數的圖象,描述函數有什么變化趨勢【活動】引導學生用文字語言描述：函數在哪個區間上，f（x）隨著x的增大而增大或減小【設計意圖】從初中所學的兩個熟悉的函數出發，要求用文字語言描述它們的單調性．加強定量分析的意識，完成對函數單調性概念的第二次認識．為第三個函數埋伏筆.在不經意中展示函數f(x)=0.001x+1，經過思考回答，得到不能靠圖象直觀判斷，要靠解析式代值驗證的結論；再展示函數，說明靠解析式代值驗證操作性很差，需要發展新知識----利用解析式和不等關系快速判斷單調性的結論.這兩個教學材料貼近學生實際出發，能有效構造知識矛盾沖突，激發思維運轉，十分自然地推動了知識發展.學生強烈感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠實用和精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究．必須由“形”轉“數”，由“感性”轉“理性”，從函數解析式和不等關系尋找出路判斷單調性.(三)表格過渡突破難點問題2：如何利用函數f(x)=x2的解析式描述該函數“在區間(0,+∞)上,f(x)隨著x增大而增大”.思考在表中任取一些自變量的值，比較它們對應的函數值的大小，你能發現什么結論？【活動】先讓學生觀看表格生成的動畫，體會f(x)隨著x增大而增大，再用自己的語言總結歸納出“當x1＜x2時，有f(x1)＜f(x2)”這個符號表述.【設計意圖】通過同時對比函數的列表和圖象，借助“數”，“形”同時呈現形成的感受,讓學生更容易概括.提示“增大是體現大小比較的詞匯”，啟發學生用比較大小的方法抽象概括.并用“當…時，有…”來體現“隨著”這種變量間的伴隨關系.【活動】教師自寫結論“當x1＜x2＜x3時，有f(x1)＜f(x2)＜f(x3)”，讓全班對比前面“當x1＜x2時，有f(x1)＜f(x2)”的結論并點評哪個好，并問理由，通過“問題串”引出“任意…都…”句式：“師問：x1和x2是一對具有代表性的符號，它們究竟代表了多少對數值？生答：無數對師問：無數對還是所有對？生答：所有對師問：無數能代替所有嗎？生答：不能師問：什么可以代替？生答：可以用“任意”來代替.”【設計意圖】突破本課難點之一：用“任意”的必要性.讓學生初步理解單調性定義里的不等關系，突破了立足于大小比較的符號語言的生成這個難點之后，接著從表內聯想到表外，認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量．突破了“任意…都…”這個句式的理解難點把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,對增函數作初步理解．通過設計快問快答的預備“小問題串”，貼切學生思維，拉升思維速度，極大地滿足學生的成功感，樹立了學生的自信，激發了探索欲望.問題3：能仿照這樣的描述，說明函數f(x)=x2在區間(－∞,0)上是減函數嗎？【活動】全班思考后齊聲回答【設計意圖】激發類比思維，滲透分類整合的思想，讓學生體會完善知識結構過程.(四)規范語言建構定義問題4如何用符號語言刻畫函數y=f(x)在定義域I內某個區間D上是增函數（或減函數）？【活動】師生共同整理完善增函數的概念、學生閱讀教材對比、再蓋上課本用自己的話復述，教師指出大聲小聲都可以.【設計意圖】把二次函數推廣到一般函數，并把討論區間一般化，由特殊到一般，具體到抽象，生成規范準確的符號語言，完成對概念的第三次認識．引導學生閱讀教材，書讀百遍其義自見，用自己的語言對比，提高語言表達能力，加深印象，鞏固學習效果.問題5：能類比增函數的定義得到減函數的定義嗎？【活動】全班類比得出減函數的定義,這次教師指出要求全部大聲朗讀減函數的定義.【設計意圖】類比增函數的定義得到減函數的定義，滲透類比、分類整合等數學思想.形成由特殊到一般，由局部到整體等研究問題的一般方法.思考利用函數解析式判斷單調性時，f(x1)與f(x2)的大小關系怎樣比較？【設計意圖】通過思考，認識函數單調性定義與不等式的關系，為證明函數單調性作鋪墊.(五)理性認識螺旋上升例1回顧此圖，根據圖象寫出函數的單調區間，并說說在每一個單調區間上，它是增函數還是減函數？【活動】學案上寫出單調區間，教師選個別成果展示，師生一起點評.【設計意圖】回顧引入的例子，體現數學的應用價值；用單調性的知識來作答，鞏固新學的概念；加強函數單調性是個局部性質的意識和鞏固圖象觀察法.（概念辨析）辯一辯你認為下列說法是否正確，請說明理由.辨析1：若定義在某區間上的函數f(x)滿足f(2)>f(1),則函數f(x)在該區間上是增函數.【活動】請同學舉手回答，用預設動畫驗證想法【設計意圖】突破本課難點之一：不能取特定值來判別函數的單調性.設計意圖是要學生理解可以用特殊推廣到一般，但不能用特殊代替一般，學生也許理解不透徹，因此設置了辨析題1提起注意.辨析2：若函數在區間(1,3)和區間[3,5]上都是增函數，則在區間(1,5]上也是增函數.（小組探究活動）【活動】先獨立思考一分鐘，然后全班分成若干小組合作探究，判斷對錯，并作圖說明理由，上臺展示成果，全班討論點評.【設計意圖】突破本課難點之一：正是由于取值的任意性，造就了函數的單調性的局部性。設計意圖是要學生理解如果不在同一個單調區間內取值驗證，會出現不能界定單調性的矛盾.學生第一次接觸這樣高度概括的符號語言，需要設置辨析題2，并采用小組合作探究的學習模式，讓學生獨立思考、充分討論、正誤對比來獲得正確認識.(六)掌握證法適當延展例2物理學中的波利爾定律p＝（k是正常數）告訴我們，對于一定量的氣體，當體積V減小，壓強p將增大．試用函數的單調性證明之．【活動】教師引導分析題意，師生一起完成證明過程，并引導學生歸納證明函數單調性的步驟：取值、作差、變形、定號、結論．【設計意圖】利用函數單調性的定義證明函數的單調性，是本課教學內容重點之一，是學生第一次接觸用解析式和不等式關系的結合體-----作差法證明函數單調性的環節，由師生共同完成，有示范性作用，對后續學習形成良好示范.總結步驟，讓學生由概念性知識轉化到程序性知識，加深對函數單調性定義和發展函數單調性符號語言的理解.練習試判斷函數f(x)=0.001x+1在定義域上的單調性，并證明你的結論.【活動】在學案上獨自完成解答過程，教師選一些成果展示，全班點評.【設計意圖】回顧前面提出的知識矛盾沖突問題，完成了解決問題的目的，完善了提出---分析---解決問題的過程，給學生深刻的體會.(七)歸納小結，提高認識假如把我們這節課當成一次旅游，哪些景點給你印象最深？從知識---方法---思想---感悟幾個角度分別說說.【活動】學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，并由幾位學生發言總結．【設計意圖】，框架提示給出小結反思的方向，有利于學生形成小結的學習習慣.(八)作業1.必做作業：⑴教材第39頁習題2-3A組1，2題⑵已知函數y=f(x)對于區間D上的任意x1,x2(x1≠x2),都有，問函數y=f(x)在區間D上的單調性如何？2.探究作業：研究函數的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖．【活動】課后繼續完成探究【設計意圖】分層作業設置，彈性要求，讓基礎厚的學生勇于挑戰，基礎稍弱的學生也得到充分的思維鍛煉.(九)板書設計函數的單調性函數的單調性增函數減函數例2圖形上升下降文字x大f(x)大x大f(x)小符號任意x1＜x2任意x1＜x2都有f(x1)＜f(x2)都有f(x1)＞f(x2)f(x1)－f(x2)＜0增f(x1)－f(x2)＞0減【設計意圖】板書展現了圖形語言—文字語言---符號語言的知識發展過程，顯得整節課思路清晰，框架合理，又留有無限遐想。自然、清新、質樸、有效《函數的單調性與最大（小）值》點評《函數的單調性與最大（小）值》的教學課呈現以下三個鮮明特色：設計自然，教學有序教學按知識的發生發展的邏輯順序設計并有序執行。教學中教師從豬肉價格曲線，人的情緒控制曲線，溫度變化圖引入，讓學生感知數學學習的必要性，既激發學生學習興趣和探究欲望，又反映了函數共同特征——單調性。接著蔡老師從學生熟悉的兩個函數出發，用圖形語言，文字語言描述單調性。在圖形語言描述單調性碰到困難時，再過渡到以二次函數為例，用符號語言描述函數的單調性，并由特殊推廣到一般函數單調性概念，繼而對概念的核心進行深入探討，并初步應用定義解決問題，這樣設計，教學主干線清晰，從特殊到一般的數學方法凸顯，符合知識的發展規律，也順應學生的認識規律。縱觀整個教學過程，情節舒展流暢，學生知識的建構，方法的掌握，思想的感悟，能力的形成，都是水到渠成。2.問題導學，啟發探究課堂設計了環環相扣的問題鏈。通過問題串，蔡老師巧妙引導學生探究出增，減函數概念，在問題探究中，蔡