9.5統計與成對數據的統計分析考點1抽樣方法與總體分布的估計1.（2023課標I，9）有一組樣本數據，其中是最小值，是最大值，則（）A.的平均數等于的平均數B.的中位數等于的中位數C.的標準差不小于的標準差D.的極差不大于的極差【答案】BD【解析】對于選項A：設的平均數為，的平均數為，則，因為沒有確定的大小關系，所以無法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯誤；對于選項B：不妨設，可知的中位數等于的中位數均為，故B正確；對于選項C：因為是最小值，是最大值，則的波動性不大于的波動性，即的標準差不大于的標準差，例如：，則平均數，標準差，，則平均數，標準差，顯然，即；故C錯誤；對于選項D：不妨設，則，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選：BD.2.(2015湖南文,2,5分)在一次馬拉松比賽中,35名運動員的成績(單位:分鐘)的莖葉圖如圖所示.若將運動員按成績由好到差編為1~35號,再用系統抽樣方法從中抽取7人,則其中成績在區間[139,151]上的運動員人數是()A.3B.4C.5D.6答案B從35人中用系統抽樣方法抽取7人,則可將這35人分成7組,每組5人,從每一組中抽取1人,而成績在[139,151]上的有4組,所以抽取4人,故選B.3.(2015北京文,4,5分)某校老年、中年和青年教師的人數見下表.采用分層抽樣的方法調查教師的身體狀況,在抽取的樣本中,青年教師有320人,則該樣本中的老年教師人數為()類別人數老年教師900中年教師1800青年教師1600合計4300A.90B.100C.180D.300答案C本題考查分層抽樣,根據樣本中的青年教師有320人,且青年教師與老年教師人數的比為1600∶900=16∶9,可以得到樣本中的老年教師的人數為916×320=180,故選4.(2014重慶文,3,5分)某中學有高中生3500人,初中生1500人.為了解學生的學習情況,用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本,已知從高中生中抽取70人,則n為()A.100B.150C.200D.250答案A由分層抽樣的特點可知703500=n3500+1500,6.(2016山東,理3文3,5分)某高校調查了200名學生每周的自習時間(單位:小時),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習時間的范圍是[17.5,30],樣本數據分組為[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根據直方圖,這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是()A.56B.60C.120D.140答案D由頻率分布直方圖知這200名學生每周的自習時間不少于22.5小時的頻率為1-(0.02+0.10)×2.5=0.7,則這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數為200×0.7=140,故選D.7.(2016課標Ⅲ理,4,5分)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況,繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃,B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是()A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D.平均最高氣溫高于20℃的月份有5個答案D由雷達圖易知A、C正確;七月的平均最高氣溫超過20℃,平均最低氣溫約為12℃,一月的平均最高氣溫約為6℃,平均最低氣溫約為2℃,所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大,故B正確;由雷達圖知平均最高氣溫超過20℃的月份有3個月.故選D.8.(2015課標Ⅱ理,3,5分)根據下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位:萬噸)柱形圖,以下結論中不正確的是()A.逐年比較,2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現成效C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關答案D由柱形圖可知:A、B、C均正確,2006年以來我國二氧化硫年排放量在逐漸減少,所以排放量與年份負相關,∴D不正確.9.(2015陜西理,2,5分)某中學初中部共有110名教師,高中部共有150名教師,其性別比例如圖所示,則該校女教師的人數為()A.167B.137C.123D.93答案B初中部女教師的人數為110×70%=77,高中部女教師的人數為150×(1-60%)=60,則該校女教師的人數為77+60=137,故選B.10.(2022全國甲,理2,文2,5分,應用性)某社區通過公益講座以普及社區居民的垃圾分類知識.為了解講座效果,隨機抽取10位社區居民,讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷,這10位社區居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖:則()A.講座前問卷答題的正確率的中位數小于70%B.講座后問卷答題的正確率的平均數大于85%C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差答案B對于A項,將講座前的10個數據從小到大排列依次為60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,易知這10個數據的中位數是第5個與第6個數據的平均數,為70%+75%2=72.5%>70%,故A錯誤對于B項,x后=110×(90%+85%+80%+90%+85%+85%+95%+100%+85%+100%)=89.5%>85%,對于C項,x前=110×(60%+60%+65%+65%+70%+75%+80%+85%+90%+95%)=74.5%,s前=110s后=110×[(90%?89.5%)2+…+(100%?89.5%)2]=6.5%,11.93對于D項,講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%,講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,20%<35%,故D錯誤.故選B.11.(2021全國甲理,2,5分)為了解某地農村經濟情況,對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查,將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖:根據此頻率分布直方圖,下面結論中不正確的是()A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農戶,其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間答案C解題指導:利用頻率分布直方圖估計頻率,再將頻率轉化為比率.解析由頻率分布直方圖可得,該地農戶家庭年收入低于4.5萬元和不低于10.5萬元的頻率分別為0.06和0.1,則農戶比率分別為6%和10%,故A、B中結論正確;家庭年收入介于4.5萬元和8.5萬元之間的頻率為0.1+0.14+0.2+0.2=0.64,故D中結論正確;家庭年收入的平均值為0.02×3+0.04×4+0.1×5+0.14×6+0.2×7+0.2×8+0.1×9+0.1×10+0.04×11+0.02×12+0.02×13+0.02×14=7.68萬元,因為7.68>6.5,所以估計該地區農戶家庭年收入的平均值超過6.5萬元,故C中結論不正確.故選C.12.(多選)(2021新高考Ⅰ,9,5分)有一組樣本數據x1,x2,…,xn,由這組數據得到新樣本數據y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c為非零常數,則()A.兩組樣本數據的樣本平均數相同B.兩組樣本數據的樣本中位數相同C.兩組樣本數據的樣本標準差相同D.兩組樣本數據的樣本極差相同答案CDA項,設x=1ni=1nxi,則y=1ni=1nyi=1ni=1n(x所以x≠y,所以AB項,因為yi=xi+c(i=1,2,…,n),所以y1,y2,…,yn的中位數是x1,x2,…,xn的中位數加c,所以B選項錯誤.C項,設s12=1ni=1n(xi-x)2,s所以s22=1ni=1n(xi+c-x-c)2=1所以s1所以兩組數據的方差相同,從而這兩組數據的標準差相同,所以C選項正確.D項,設x1<x2<…<xn,則第一組數據的極差為xn-x1,設y1<y2<…<yn,則第二組數據的極差為yn-y1=(xn+c)-(x1+c)=xn-x1,所以兩組數據的極差相同,所以D選項正確,故選CD.13.(2015安徽理,6,5分)若樣本數據x1,x2,…,x10的標準差為8,則數據2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的標準差為()A.8B.15C.16D.32答案C設樣本數據x1,x2,…,x10的標準差為s,則s=8,可知數據2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的標準差為2s=16.14.(2014陜西文,9,5分)某公司10位員工的月工資(單位:元)為x1,x2,…,x10,其均值和方差分別為x和s2,若從下月起每位員工的月工資增加100元,則這10位員工下月工資的均值和方差分別為()A.x,s2+1002B.x+100,s2+1002C.x,s2D.x+100,s2答案D設增加工資后10位員工下月工資均值為x',方差為s'2,則x'=110[(x1+100)+(x2+100)+…+(x10+100)]=110(x1+x2+…+x10)+100=x+100;方差s'2=110[(x1+100-x')2+(x2+100-x')2+…+(x10+100-x')2]=110[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x10-x)2]=s15.(2015福建文,13,4分)某校高一年級有900名學生,其中女生400名.按男女比例用分層抽樣的方法,從該年級學生中抽取一個容量為45的樣本,則應抽取的男生人數為.

答案25解析男生人數為900-400=500.設應抽取男生x人,則由45900=x500得x=25.即應抽取男生2516.(2014天津理,9,5分)某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向,擬采用分層抽樣的方法,從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調查.已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數之比為4∶5∶5∶6,則應從一年級本科生中抽取名學生.

答案60解析420×300=60(名17.(2012天津理,9,5分)某地區有小學150所,中學75所,大學25所.現采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取30所學校對學生進行視力調查,應從小學中抽取所學校,中學中抽取所學校.

答案18;9解析應從小學中抽取150150+75+25×30=18(所應從中學中抽取75150+75+25×30=9(所評析本題考查分層抽樣及數據處理能力.18.(2012福建文,14,4分)一支田徑隊有男女運動員98人,其中男運動員有56人.按男女比例用分層抽樣的方法,從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本,那么應抽取女運動員人數是.

答案12解析男女運動員人數比例為5698?56分層抽樣中男女人數比例不變,則女運動員人數為28×37=12.故應抽取女運動員人數是評析本題考查分層抽樣方法.考查學生運算求解能力.19.(2011江蘇,6,5分)某老師從星期一到星期五收到的信件數分別為10,6,8,5,6,則該組數據的方差s2=.

答案16解析記星期一到星期五收到的信件數分別為x1,x2,x3,x4,x5,則x=x1+x∴s2=15[(x1-x)2+(x2-x)2+(x3-x)2+(x4-x)2+(x5-x)2]=15[(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]=評析本題主要考查方差的公式,考查學生的運算求解能力.公式記憶準確,運算無誤是解答本題的關鍵,屬中等難度題.20.(2015湖北文,14,5分)某電子商務公司對10000名網絡購物者2014年度的消費情況進行統計,發現消費金額(單位:萬元)都在區間[0.3,0.9]內,其頻率分布直方圖如圖所示.(1)直方圖中的a=;

(2)在這些購物者中,消費金額在區間[0.5,0.9]內的購物者的人數為.

答案(1)3(2)6000解析(1)由頻率分布直方圖可知:0.1×(0.2+0.8+1.5+2.0+2.5+a)=1,解得a=3.(2)消費金額在區間[0.5,0.9]內的購物者的頻率為0.1×(3.0+2.0+0.8+0.2)=0.6,所以所求購物者的人數為0.6×10000=6000.21.(2014江蘇文,6,5分)為了了解一片經濟林的生長情況,隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位:cm),所得數據均在區間[80,130]上,其頻率分布直方圖如圖所示,則在抽測的60株樹木中,有株樹木的底部周長小于100cm.

答案24解析60×(0.015+0.025)×10=24(株).22.(2019課標Ⅱ,理13文14,5分)我國高鐵發展迅速,技術先進.經統計,在經停某站的高鐵列車中,有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為.

答案0.98解析本題考查離散型隨機變量的均值計算;考查抽象概括能力和運算求解能力;考查的核心素養為數學抽象和數學運算.設經停該站高鐵列車所有車次中正點率為0.97的事件為A,正點率為0.98的事件為B,正點率為0.99的事件為C,則用頻率估計概率有P(A)=1010+20+10=14,P(B)=2010+20+10=12,P(C)=1010+20+10=14,所以經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為0.97×23.（2023新課標II，19）某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率．（1）當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；（2）設函數，當時，求的解析式，并求在區間的最小值．【解析】（1）依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，所以，解得：，．（2）當時，；當時，,故，所以在區間的最小值為．24.（2023全國乙理，17）某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為，．試驗結果如下：試驗序號12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數為，樣本方差為．（1）求，；（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）【解析】（1），，，的值分別為:，故（2）由（1）知:，，故有,所以認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高.25.(2021全國乙理,17,12分)某廠研制了一種生產高精產品的設備,為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高,用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品,得到各件產品該項指標數據如下:舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為x和y,樣本方差分別記為(1)求x,(2)判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高如果y?x≥2s12+解析(1)x=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7y=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10s12=110×(0.22+0.32+02+0.22+0.12+0.22+02+0.12+0.22+0.32s22=110×(0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+02+0.32+0.22+0.12+0.22(2)∵y?x=10.3?10=0.3=310=1550,2易錯警示1.要牢記數據方差的計算公式;2.注意數據計算的準確性.26.(2022新高考Ⅱ,19,12分,應用性)在某地區進行流行病學調查,隨機調查了100位某種疾病患者的年齡,得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖:(1)估計該地區這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表);(2)估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間[20,70)的概率;(3)已知該地區這種疾病的患病率為0.1%,該地區年齡位于區間[40,50)的人口占該地區總人口的16%.從該地區中任選一人,若此人的年齡位于區間[40,50),求此人患這種疾病的概率(以樣本數據中患者的年齡位于各區間的頻率作為患者的年齡位于該區間的概率,精確到0.0001).解析(1)平均年齡為(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(歲).(2)設事件A=“該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間[20,70)”,則P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1-0.11=0.89.(3)設事件B=“任選一人年齡位于區間[40,50)”,事件C=“任選一人患這種疾病”,由條件概率公式可得P(C|B)=P(BC)P(B27.(2022全國乙,理19,文19,12分,應用性)某地經過多年的環境治理,已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區某種樹木的總材積量,隨機選取了10棵這種樹木,測量每棵樹的根部橫截面積(單位:m2)和材積量(單位:m3),得到如下數據:樣本號i12345678910總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計算得i=110xi2=0.038,i=110yi2=1.6158(1)估計該林區這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量;(2)求該林區這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(精確到0.01);(3)現測量了該林區所有這種樹木的根部橫截面積,并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數據給出該林區這種樹木的總材積量的估計值.附:相關系數i=1n(xi?x解析(1)估計該林區這種樹木平均一棵的根部橫截面積為x=0.610=0.06(平均一棵的材積量為y=3.910=0.39(m(2)樣本相關系數i=1=i=0.2474?10×0.06×0.39=0.01340.002×0.0948=0.01340.01即該林區這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數約為0.97.(3)設這種樹木的根部橫截總面積為Xm2,總材積量為Ym3,則XY=xy,則Y所以該林區這種樹木的總材積量的估計值為1209m3.25.(2019課標Ⅱ文,19,12分)某行業主管部門為了解本行業中小企業的生產情況,隨機調查了100個企業,得到這些企業第一季度相對于前一年第一季度產值增長率y的頻數分布表.y的分組[-0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企業數22453147(1)分別估計這類企業中產值增長率不低于40%的企業比例、產值負增長的企業比例;(2)求這類企業產值增長率的平均數與標準差的估計值(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表).(精確到0.01)附:74≈8.602.解析本題考查了統計的基礎知識、基本思想和方法,考查學生對頻數分布表的理解與應用,考查樣本的平均數,標準差等數字特征的計算方法,以及對現實社會中實際數據的分析處理能力.(1)根據產值增長率頻數分布表得,所調查的100個企業中產值增長率不低于40%的企業頻率為14+7100產值負增長的企業頻率為2100用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業中產值增長率不低于40%的企業比例為21%,產值負增長的企業比例為2%.(2)y=1100s2=1100∑i=15ni(y=1100[2×(-0.40)2+24×(-0.20)2+53×02+14×0.202+7×0.402]=0.029s=0.0296=0.02×74≈0.17.所以,這類企業產值增長率的平均數與標準差的估計值分別為30%,17%.方法總結利用頻數分布表求平均數估計值的方法:各組區間中點值乘該組頻數,并求和,再除以樣本容量.利用頻數分布表求標準差估計值的方法:用各組區間中點值代表該組,代入標準差公式即可.26.(2016四川理,16,12分)我國是世界上嚴重缺水的國家,某市政府為了鼓勵居民節約用水,計劃調整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標準x(噸),一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費,超出x的部分按議價收費.為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數據按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中a的值;(2)設該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數,并說明理由;(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x(噸),估計x的值,并說明理由.解析(1)由頻率分布直方圖知,月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.08×0.5=0.04,同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]中的頻率分別為0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30.(2)由(1),100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.由以上樣本的頻率分布,可以估計全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數為300000×0.12=36000.(3)因為前6組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5≤x<3.由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.所以,估計月用水量標準為2.9噸時,85%的居民每月的用水量不超過標準.思路分析由圖易知組距為0.5,再由頻率之和等于1即可求出a;由圖可知前6組的頻率之和為0.88>0.85,前5組的頻率之和為0.73<0.85,說明x∈[2.5,3),再由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73即可求出x.評析本題中求a值的關鍵是抓住頻率之和為1,確定x在哪個區間內是解題的關鍵.29.(2015課標Ⅱ文,18,12分)某公司為了解用戶對其產品的滿意度,從A,B兩地區分別隨機調查了40個用戶,根據用戶對產品的滿意度評分,得到A地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區用戶滿意度評分的頻數分布表.B地區用戶滿意度評分的頻數分布表滿意度評分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數2814106(1)作出B地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖,并通過直方圖比較兩地區滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值,給出結論即可);(2)根據用戶滿意度評分,將用戶的滿意度分為三個等級:滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計哪個地區用戶的滿意度等級為不滿意的概率大,說明理由.解析(1)通過兩地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出,B地區用戶滿意度評分的平均值高于A地區用戶滿意度評分的平均值;B地區用戶滿意度評分比較集中,而A地區用戶滿意度評分比較分散.(2)A地區用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.記CA表示事件:“A地區用戶的滿意度等級為不滿意”;CB表示事件:“B地區用戶的滿意度等級為不滿意”.由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,P(CB)的估計值為(0.005+0.02)×10=0.25.所以A地區用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.30.(2015廣東文,17,12分)某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖.(1)求直方圖中x的值;(2)求月平均用電量的眾數和中位數;(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取多少戶?解析(1)由已知得,20×(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)=1,解得x=0.0075.(2)由題圖可知,面積最大的矩形對應的月平均用電量區間為[220,240),所以月平均用電量的眾數的估計值為230;因為20×(0.002+0.0095+0.011)=0.45<0.5,20×(0.002+0.0095+0.011+0.0125)=0.7>0.5,所以中位數在區間[220,240)內.設中位數為m,則20×(0.002+0.0095+0.011)+0.0125×(m-220)=0.5,解得m=224.所以月平均用電量的中位數為224.(3)由題圖知,月平均用電量為[220,240)的用戶數為(240-220)×0.0125×100=25,同理可得,月平均用電量為[240,260),[260,280),[280,300]的用戶數分別為15,10,5.故用分層抽樣的方式抽取11戶居民,月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取11×2525+15+10+5=5(戶31.(2014課標Ⅰ文,18,12分)從某企業生產的某種產品中抽取100件,測量這些產品的一項質量指標值,由測量結果得如下頻數分布表:質量指標值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)頻數62638228(1)作出這些數據的頻率分布直方圖;(2)估計這種產品質量指標值的平均數及方差(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表);(3)根據以上抽樣調查數據,能否認為該企業生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品80%”的規定?解析(1)(2)質量指標值的樣本平均數為x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.質量指標值的樣本方差為s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.所以這種產品質量指標值的平均數的估計值為100,方差的估計值為104.(3)質量指標值不低于95的產品所占比例的估計值為0.38+0.22+0.08=0.68.由于該估計值小于0.8,故不能認為該企業生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品的80%”的規定.評析本題考查繪制頻率分布直方圖,計算樣本的數字特征,及用樣本估計總體等知識,同時考查統計的思想方法.32.(2014北京文,18,13分)從某校隨機抽取100名學生,獲得了他們一周課外閱讀時間(單位:小時)的數據,整理得到數據分組及頻數分布表和頻率分布直方圖:組號分組頻數1[0,2)62[2,4)83[4,6)174[6,8)225[8,10)256[10,12)127[12,14)68[14,16)29[16,18)2合計100(1)從該校隨機選取一名學生,試估計這名學生該周課外閱讀時間少于12小時的概率;(2)求頻率分布直方圖中的a,b的值;(3)假設同一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替,試估計樣本中的100名學生該周課外閱讀時間的平均數在第幾組.(只需寫出結論)解析(1)根據頻數分布表知,100名學生中一周課外閱讀時間不少于12小時的學生共有6+2+2=10名,所以樣本中的學生一周課外閱讀時間少于12小時的頻率是1-10100故從該校隨機選取一名學生,估計其該周課外閱讀時間少于12小時的概率為0.9.(2)課外閱讀時間落在組[4,6)內的有17人,頻率為0.17,所以a=頻率組距=0.17課外閱讀時間落在組[8,10)內的有25人,頻率為0.25,所以b=頻率組距=0.25(3)樣本中的100名學生該周課外閱讀時間的平均數在第4組.33.(2013課標Ⅱ文,19,12分)經銷商經銷某種農產品,在一個銷售季度內,每售出1t該產品獲利潤500元,未售出的產品,每1t虧損300元.根據歷史資料,得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.經銷商為下一個銷售季度購進了130t該農產品,以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內的市場需求量,T(單位:元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤.(1)將T表示為X的函數;(2)根據直方圖估計利潤T不少于57000元的概率.解析(1)當X∈[100,130)時,T=500X-300(130-X)=800X-39000.當X∈[130,150]時,T=500×130=65000.所以T=800(2)由(1)知利潤T不少于57000元當且僅當120≤X≤150.由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7.22.(2013安徽文,17,12分)為調查甲、乙兩校高三年級學生某次聯考數學成績情況,用簡單隨機抽樣,從這兩校中各抽取30名高三年級學生,以他們的數學成績(百分制)作為樣本,樣本數據的莖葉圖如下:(1)若甲校高三年級每位學生被抽取的概率為0.05,求甲校高三年級學生總人數,并估計甲校高三年級這次聯考數學成績的及格率(60分及60分以上為及格);(2)設甲、乙兩校高三年級學生這次聯考數學平均成績分別為x1、x2,估計x1-解析(1)設甲校高三年級學生總人數為n.由題意知,30n=0.05,即樣本中甲校高三年級學生數學成績不及格人數為5,據此估計甲校高三年級此次聯考數學成績及格率為1-530=5(2)設甲、乙兩校樣本平均數分別為x'1、x'2,根據樣本莖葉圖可知,30(x'1-x'2)=30x'1-30x'2=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53-77+2+92=15.因此x'1-x'2=0.5.故x1-x2的估計值為0.5評析本題考查隨機抽樣與莖葉圖等統計學的基本知識,考查學生用樣本估計總體的思想以及數據分析處理能力.23.(2017課標Ⅲ文,18,12分)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據,得下面的頻數分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數216362574以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率.解析本題考查概率的計算.(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當且僅當最高氣溫低于25,由表格數據知,最高氣溫低于25的頻率為2+16+3690=0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,若最高氣溫不低于25,則Y=6×450-4×450=900;若最高氣溫位于區間[20,25),則Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.所以,Y的所有可能值為900,300,-100.Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20,由表格數據知,最高氣溫不低于20的頻率為36+25+7+490=0.8,因此Y大于零的概率的估計值為24.(2016課標Ⅰ文,19,12分)某公司計劃購買1臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數,得下面柱狀圖:記x表示1臺機器在三年使用期內需更換的易損零件數,y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位:元),n表示購機的同時購買的易損零件數.(1)若n=19,求y與x的函數解析式;(2)若要求“需更換的易損零件數不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值;(3)假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件,或每臺都購買20個易損零件,分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數,以此作為決策依據,購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件?解析(1)當x≤19時,y=3800;當x>19時,y=3800+500(x-19)=500x-5700,所以y與x的函數解析式為y=3800,x≤19,500x(2)由柱狀圖知,需更換的零件數不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故n的最小值為19.(5分)(3)若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件,則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3800元,20臺的費用為4300元,10臺的費用為4800元,因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數為1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000(元).(7分若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件,則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費用為4000元,10臺的費用為4500元,因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數為1100(4000×90+4500×10)=4050(元).(10分比較兩個平均數可知,購買1臺機器的同時應購買19個易損零件.(12分)思路分析先寫出y與x的函數關系式(分段函數),然后分別求所需費用的平均數,通過比較兩個平均數的大小可得所求結果.評析本題以條形圖為載體,考查了函數的綜合應用,對考生用圖、識圖的能力進行了考查,同時體現了數學源于生活又服務于生活的特點.25.(2016課標Ⅱ文,18,12分)某險種的基本保費為a(單位:元),繼續購買該險種的投保人稱為續保人,續保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下:上年度出險次數01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調查了該險種的200名續保人在一年內的出險情況,得到如下統計表:出險次數01234≥5頻數605030302010(1)記A為事件:“一續保人本年度的保費不高于基本保費”.求P(A)的估計值;(2)記B為事件:“一續保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”.求P(B)的估計值;(3)求續保人本年度平均保費的估計值.解析(1)事件A發生當且僅當一年內出險次數小于2.由所給數據知,一年內出險次數小于2的頻率為60+50200故P(A)的估計值為0.55.(3分)(2)事件B發生當且僅當一年內出險次數大于1且小于4.由所給數據知,一年內出險次數大于1且小于4的頻率為30+30200故P(B)的估計值為0.3.(6分)(3)由所給數據得保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05(10分)調查的200名續保人的平均保費為0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.因此,續保人本年度平均保費的估計值為1.1925a.(12分)評析本題考查了頻率的求解方法,同時對考生的應用意識及數據處理能力進行了巧妙的考查,屬中檔題.26.(2014湖南文,17,12分)某企業有甲、乙兩個研發小組,為了比較他們的研發水平,現隨機抽取這兩個小組往年研發新產品的結果如下:(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),其中a,a分別表示甲組研發成功和失敗;b,b分別表示乙組研發成功和失敗.(1)若某組成功研發一種新產品,則給該組記1分,否則記0分.試計算甲、乙兩組研發新產品的成績的平均數和方差,并比較甲、乙兩組的研發水平;(2)若該企業安排甲、乙兩組各自研發一種新產品,試估計恰有一組研發成功的概率.解析(1)甲組研發新產品的成績為1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均數為x甲=1015=方差為s甲2=115乙組研發新產品的成績為1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均數為x乙=915=方差為s乙2=115因為x甲>x乙,s甲2<(2)記E={恰有一組研發成功}.在所抽得的15個結果中,恰有一組研發成功的結果是(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),共7個,故事件E發生的頻率為715.將頻率視為概率,即得所求概率為P(E)=7評析本題考查樣本的數字特征及用樣本的頻率估計概率,同時考查分析問題、解決問題及運用統計思想的能力.27.(2012課標文,18,12分)某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價格出售.如果當天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.(1)若花店一天購進17枝玫瑰花,求當天的利潤y(單位:元)關于當天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數解析式;(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:日需求量n14151617181920頻數10201616151310(i)假設花店在這100天內每天購進17枝玫瑰花,求這100天的日利潤(單位:元)的平均數;(ii)若花店一天購進17枝玫瑰花,以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率,求當天的利潤不少于75元的概率.解析(1)當日需求量n≥17時,利潤y=85.當日需求量n<17時,利潤y=10n-85.所以y關于n的函數解析式為y=10n?85,(2)(i)這100天中有10天的日利潤為55元,20天的日利潤為65元,16天的日利潤為75元,54天的日利潤為85元,所以這100天的日利潤的平均數為1100(ii)利潤不低于75元當且僅當日需求量不少于16枝.故當天的利潤不少于75元的概率為P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.評析本題考查概率統計,考查運用樣本頻率估計總體概率及運算求解能力.28.(2011課標文,19,12分)某種產品的質量以其質量指標值衡量,質量指標值越大表明質量越好,且質量指標值大于或等于102的產品為優質品.現用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗,各生產了100件這種產品,并測量了每件產品的質量指標值,得到下面試驗結果:A配方的頻數分布表指標值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]頻數82042228B配方的頻數分布表指標值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]頻數412423210(1)分別估計用A配方,B配方生產的產品的優質品率;(2)已知用B配方生產的一件產品的利潤y(單位:元)與其質量指標值t的關系式為y=?估計用B配方生產的一件產品的利潤大于0的概率,并求用B配方生產的上述100件產品平均一件的利潤.解析(1)由試驗結果知,用A配方生產的產品中優質品的頻率為22+8100=0.3,所以用A配方生產的產品的優質品率的估計值為0.3.由試驗結果知,用B配方生產的產品中優質品的頻率為32+10100=0.42,所以用B配方生產的產品的優質品率的估計值為0.42.(2)由條件知,用B配方生產的一件產品的利潤大于0當且僅當其質量指標值t≥94,由試驗結果知,質量指標值t≥94的頻率為0.96.所以用B配方生產的一件產品的利潤大于0的概率估計值為0.96.用1100×[4×(-2)+54×2+42×4]=2.68(元考點2成對數據的統計分析1.(2023全國甲理,19,12分,中)一項試驗旨在研究臭氧效應,試驗方案如下:選40只小白鼠,隨機地將其中20只分配到試驗組,另外20只分配到對照組,試驗組的小白鼠飼養在高濃度臭氧環境,對照組的小白鼠飼養在正常環境,一段時間后統計每只小白鼠體重的增加量(單位:g).(1)設X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數,求X的分布列和數學期望;(2)試驗結果如下:對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5求40只小白鼠體重的增加量的中位數m,再分別統計兩樣本中小于m與不小于m的數據的個數,完成如下列聯表:<m≥m對照組試驗組(ii)根據(i)中的列聯表,能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環境中與在正常環境中體重的增加量有差異?附:K2=n(P(K2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635.解析：（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數是將兩組數據合在一起，從小到大排后第20位與第21位數據的平均數，由于原數據已經排好，所以我們只需要觀察對照組第一排數據與實驗組第二排數據即可，可得第11位數據為，后續依次為，故第20位為，第21位數據為，所以，故列聯表為：合計對照組61420實驗組14620合計202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.2.(2021全國甲理,17,12分)甲、乙兩臺機床生產同種產品,產品按質量分為一級品和二級品,為了比較兩臺機床產品的質量,分別用兩臺機床各生產了200件產品,產品的質量情況統計如下表:一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400(1)甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少?(2)能否有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異?附:K2=n(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.解析(1)因為甲機床生產的200件產品中有150件一級品,所以甲機床生產的產品中一級品的頻率為150200=34,因為乙機床生產的200件產品中有120件一級品(2)根據2×2列聯表中的數據,得K2=n=400×(150×80?120×50)2270×130×200×200=40039≈10.256,因為10.256>6.635方法總結解決獨立性檢驗問題的一般步驟:3.(2020新高考Ⅰ,19,12分)為加強環境保護,治理空氣污染,環境監測部門對某市空氣質量進行調研,隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位:μg/m3),得下表:SO2

PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150”的概率;(2)根據所給數據,完成下面的2×2列聯表:SO2PM2.5

[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根據(2)中的列聯表,判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關.附:K2=n(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.解析(1)根據抽查數據,該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150的天數為32+18+6+8=64,因此,該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150的概率的估計值為64100=0.64.(4分)(2)根據抽查數據,可得2×2列聯表:SO2PM2.5

[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010(8分)(3)根據(2)的列聯表得K2=100×(64×10?16×10)280×20×74×26≈7由于7.484>6.635,故有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關.(12分)4.(2022全國甲文,17,12分,應用性)甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營.為了解這兩家公司長途客車的運行情況,隨機調查了甲、乙兩城之間的500個班次,得到下面列聯表:準點班次數未準點班次數A24020B21030(1)根據上表,分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率;(2)能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關?附:K2=n(P(K2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635解析(1)由題意可得A公司長途客車準點的概率P1=240260=1213,B公司長途客車準點的概率P(2)因為K2=500×(240×30?20×210)2450×50×240×260≈3.205>2所以有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關.5.(2017課標Ⅰ文,19,12分)為了監控某種零件的一條生產線的生產過程,檢驗員每隔30min從該生產線上隨機抽取一個零件,并測量其尺寸(單位:cm).下面是檢驗員在一天內依次抽取的16個零件的尺寸:抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經計算得x=116∑i=1=116(∑≈18.439,∑i=116(xi-x)(i-8.5)=-2.78,其中xi為抽取的第i個零件的尺寸(1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相關系數r,并回答是否可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小(若|r|<0.25,則可以認為零件的尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小);(2)一天內抽檢零件中,如果出現了尺寸在(x-3s,x+3s)之外的零件,就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查.(i)從這一天抽檢的結果看,是否需對當天的生產過程進行檢查?(ii)在(x-3s,x+3s)之外的數據稱為離群值,試剔除離群值,估計這條生產線當天生產的零件尺寸的均值與標準差.(精確到0.01)附:樣本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相關系數r=∑i0.008≈0.09.解析本題考查統計問題中的相關系數及樣本數據的均值與方差.(1)由樣本數據得(xi,i)(i=1,2,…,16)的相關系數為r=∑=?2.780.212由于|r|<0.25,因此可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小.(2)(i)由于x=9.97,s≈0.212,由樣本數據可以看出抽取的第13個零件的尺寸在(x-3s,x+3s)以外,因此需對當天的生產過程進行檢查.(ii)剔除離群值,即第13個數據,剩下數據的平均數為115這條生產線當天生產的零件尺寸的均值的估計值為10.02.∑i=116xi2=16×0.2122剔除第13個數據,剩下數據的樣本方差為115×(1591.134-9.222-15×10.022)≈這條生產線當天生產的零件尺寸的標準差的估計值為0.008≈0.09.方法總結樣本的數字特征.(1)樣本數據的相關系數r,r=∑反映樣本數據的相關程度,|r|越大,則相關性越強.(2)樣本數據的均值反映樣本數據的平均水平;樣本數據的方差反映樣本數據的穩定性,方差越小,數據越穩定;樣本數據的標準差為方差的算術平方根.6.(2020課標Ⅱ理,18,12分)某沙漠地區經過治理,生態系統得到很大改善,野生動物數量有所增加.為調查該地區某種野生動物的