（11）概率與統計（理）一2021年高考數學真題模擬試題專項

匯編

1.【2021年全國甲卷（理），2]為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查,

A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%

B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%

C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

2.【2021年安徽桐城模擬，5】某高校調查了400名大學生每周的自習時間（單位，小時）制成了如

圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是[17.5,30],樣本數據分組[17.5,20）,[20,22.5）,

[22.5,25）,[25,27.5）,[27.5,30].則這400名大學生中每周的自習時間不少于20小時的人數是（）

3.【2021年新高考II卷，6】某物理量的測量結果服從正態分布N（10,〃），則下列結論中不正確的

是（）

A.o越小，該物理量一次測量結果落在（9.9,10.1）內的概率越大

B.。越小，該物理量一次測量結果大于10的概率為0.5

C.。越小，該物理量一次測量結果大于10.01與小于9.99的概率相等

1).。越小，該物理量一次測量結果落在（9.9,10.2）內的概率與落在（10,10.3）內的概率相等

4.【2021年新高考I卷，8】有6個相同的球，分別標有數字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨

機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是1"，乙表示事件“第二次取出的

球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件”兩次取出的球的數字

之和是7"，貝！|（）

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

5.[2021年全國乙卷（理），8]在區間（0,1）與（1,2）中各隨機取1個數，則兩數之和大于二的概率

4

為（）

23

A]B.—D

32c-i

6.【2021年全國甲卷（理），10】將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

ABC

4-1-15

7.[2021年安徽桐城模擬，14】在邊長為6的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區域，從該正方

形區域內任取一點，若該點落在陰影區域內的概率為14，則陰影區域的面積為.

8.【2021年上海卷，10】已知花博會有四個不同的場館A、B、C、D,甲、乙兩人每人選2個去參

觀，則他們的選擇中，恰有一個場館相同的概率為

9.【2021年浙江卷，15】袋中有4個紅球，m個黃球，n個綠球.現從中任取兩個球，記取出的紅

球數為g,若取出的兩個球都是紅球的概率為9，一紅一黃的概率為：，則=

63

10.【2021年全國乙卷（理），17】某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的

某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據

I22

（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果亍-；22.『則

認為新設備生產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高).

11.【2021年全國甲卷(理)，17】甲、乙兩臺機床生產同種產品，產品按質量分為一級品和二級品,

為了比較兩臺機床產品的質量，分別用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況統計如表:

一級品二級品合計

甲機床15050200

乙機床12080200

合計270130400

(1)甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異？

n(ad—hc)~

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

12.【2021年新高考I卷，18】某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A,B兩類問題.每位參加比

賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；

若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A

類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得。分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否

則得0分.

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B類問題的概率為0.6,且能正確回答問

題的概率與回答次序無關.

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

(2)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題?并說明理由.

13.【2021年北京卷，18】為加快新冠肺炎檢測效率，某檢測機構采取“k合1檢測法”，即將k個

人的拭子樣本合并檢測，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的：若為陽性，則還需要對本組

的每個人再做檢測.現有100人，已知其中2人感染病毒.

(1)(i)若采用“10合1檢測法”，且兩名患者在同一組，求總檢測次數；

(ii)已知10人分成一組，分10組，兩名感染患者在同一組的概率為工，定義隨機變量X為總

11

檢測次數，求檢測次數X的分布列和數學期望￡(%).

(2)若采用“5合1檢測法”，檢測次數Y的期望為E(Y),試比較E(X)和E(Y)的大小(直接寫出

結果).

14.【2021年安徽懷寧模擬，19】某新能源汽車制造公司，為鼓勵消費者購買其生產的特斯拉汽車,

約定從今年元月開始，凡購買一輛該品牌汽車，在行駛三年后，公司將給予適當金額的購車補貼.

某調研機構對已購買該品牌汽車的消費者，就購車補貼金額的心理預期值進行了抽樣調查，得其樣

本頻率分布直方圖如圖所示.

（1）估計已購買該品牌汽車的消費群體對購車補貼金額的心理預期值的平均數和中位數（精確到

0.01）；

（2）統計今年以來元月~5月該品牌汽車的市場銷售量，得其頻數分布表如下

月份元月2月3月4月5月

銷售量（萬輛）0.50.61.01.41.7

預測該品牌汽車在今年6月份的銷售量約為多少萬輛？

附：對于一組樣本數據（公兇）,5,月）,…，（X,,,%），其回歸直線y=%+”的斜率和截距的最

力士--y）以％-nxy

小二乘估計值分別為5=上-------------=上-----------a=^-bi-

xnx

x）Xi~~

i=li=l

15.【2021年山西運城模擬（理），19】袋中裝著標有數字1,2,3,4,5的小球各2個，從袋中任

取3個小球，按3個小球上最大數字的9倍計分，每個小球被取出的可能性都相等，用X表示取出

的3個小球上的最大數字.求：

（1）取出的3個小球上的數字互不相同的概率；

（2）隨機變量X的概率分布；

（3）計算介于20分到40分之間的概率.

答案以及解析

1.答案：C

解析：本題考查頻率分布直方圖、均值等統計圖表及統計量的基礎知識.

選項正誤原因

AV由圖可知，組距是1,前2個小矩形的面積和是0.06

BV最后4個小矩形的面積和是0.10

可以求得平均值是

CX(3+12+13+14)x0.02+(4+11)x0.04+

(5+9+10)x0.10+6x0.14+(7+8)x0.20=7.68

DV4.5至8.5之間小矩形的面積和是0.64

2.答案：D

解析：由頻率分直方圖得：

這400名大學生中每周的自習時間不少于20小時的頻率為：1-0.02x2.5=0.95,

...這400名大學生中每周的自習時間不少于20小時的人數為：400x0.95=380.

故選D.

3.答案：D

解析：本題考查正態曲線的特點.根據正態曲線可直接得出B項，C項正確；b越小，則正態曲

線越“瘦高”，該物理量一次測量結果落在（9.9,10.1）內的概率越大，A項正確；同理，落在（9.9』0.2）

內的概率大于落在（10,10.3）內的概率，D項錯誤.

4.答案：B

解析：本題考查獨立事件的概念.由于有放回的取球，則P（甲）=L尸（乙）=LP（丙）=』，

6636

尸（丁）=Lp（甲丙）=0,尸（甲丁）=_!_,「（乙丙）=_!_,尸（丙丁）=（）,其中p（甲）。（丁）=尸（甲丁），

63636

故甲與丁相互獨立.

5.答案:B

解析：本題考查簡單的線性規劃及其應用、幾何概型的概率問題.由題目條件設xe（0,1）,ye（1,2）,

lx1--x—X—

且x+y>N,則作出對應的平面區域如圖所示，可知所求的概率為P=-----244=4.

-41x132

解析：本題考查古典概型、組合數.所有的排法是C：=15,不相鄰的排法是C；=10,故所求概率

汨102

153

7.答案：16

解析：設陰影部分的面積為S,結合幾何概型公式可得：解得：5=16.

6x69

故答案為：16.

8.答案：-

3

解析：根據題意，則甲乙每人去博物館的選擇均為C：種，甲乙僅有一個館相同，則概率為

C；c；.c；二.故本題正確答案為2.

33

9.答案：1；-

9

解析：本題考查計數原理、古典概率、期望.所有取出兩個球的方法是取出的兩個球都是

紅球的方法是C：=6,取出的兩個球是一紅一黃的方法是C：C：=4..由已知可得=L,

C切+〃+46

?一=』，解得帆=3,〃=2,所以帆-〃=1.取出紅球數&的取值是0,1,2,概率分別是與=?,

3C；18

=q=1.則EC)=0*9+lx3+2x1=

C；9C；6,18969

10.答案：(1)由題中的數據，可得

x=Y-x(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0,

-1

y=--x(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,

S：=-^x[(9.8-10.0)2+(10.3-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.9-10.0)2+

(9.8-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.7-10.0)2]=0.036,

s；=-^X[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+

(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]=0.04.

(2)5-7=10.3-10.0=0.3,

=^0.036+0.04=2^576?0.174,

VioVio

所以y-x>2忖+S；

V10

故新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.

11.答案：（1）根據題表中數據知，甲機床生產的產品中一級品的頻率是空=0.75,乙機床生產

200

的產品中一級品的頻率是上=0.6.

200

2

(2)根據題表中的數據可得K=^xQSOxgO-50x120)2=400^10256

270x130x200x20039

因為10.256>6.635,所以有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異.

12.答案：(1)X的所有可能取值為0,20,100.

p(X=0)=l-0.8=0.2,

P(X=20)=0.8x(l-0.6)=0.32,

P(X=100)=0.8X0.6=0.48,

所以X的分布列為

X020100

P0.20.320.48

(2)假設先答B類問題，記Y為小明的累計得分,

則Y的所有可能取值為0,80,100.

p(y=0)=1-0.6=0.4,

p(y=80)=0.6x(l-0.8)=0.12,

P(y=100)=0.6x0.8=0.48,

所以Y的分布列為

Y080100

P0.40.120.48

所以E(y)=Ox0.4+80x0.12+100x0.48=57.6,

由(1)可知E(X)=0x0.2+20*0.32+100x0.48=54.4.

因為E(y)>E(X),

所以為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答B類問題.

13.答案：(1)(i)共測兩輪，第一輪100人分10組，故測了10次，第二輪，對兩名患者所在組

每個人都進行檢測一次，共10次，故總檢測次數為10+10=20次；

(ii)由(i)知，兩名感染患者在同一組時，共需測20次.

若兩名患者不在一組，需要測10+10+10=30次.

故X可取值為：20,30.

則P(X=20)=\,P(X=30)=l-\=#,

則X的分布列為:

X2030

110

p

TT77

故E(X)=20x'+30xW=型迎=型.

111111]1

(2)E(X)vE(Y).

14.答案：(1)因為直方圖的組距為1,則各組頻率即為相應小矩形的高，所以平均數的估計

<^x=1.5xO.l+2.5xO.3+3.5xO.3+4.5xO.15+5.5xO.l+6.5xO.O5=3.5^^-

因為0.1+0.3<0.5<0.1+0.3+0.3，則中位數在區間(3,4)內.設中位數為3+x，

則(M+03+0.3x=0.5,得了=,。0.33,所以中位數的估計值為3.33萬元?

3

(2)記a==1,2,3,4,5)，?=0.5,y2=0.6?y3=1.0?y4=1.4>%=1.7,

由散點圖可知，5組樣本數據呈線性相關關系.因為［=3，7=1.04,

乞x*=0.5+1.2+3+5.6+8.5=18.8儲?=1+4+9+16+25=55，

J=Ii=l

則其絲