Page202024屆上海市高三數(shù)學(xué)二模模擬試卷滿分：150分時(shí)間：120分鐘一．填空題：1.已知集合，，則_________.【答案】【解析】【分析】求出集合，利用并集的定義可求得結(jié)果.【詳解】，因此，.故答案為：.2.已知，且，那么_____【答案】【解析】【分析】由已知得，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解可得.【詳解】因?yàn)榧矗郑?lián)立求解得：因?yàn)椋?gt;0，故，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.3.若復(fù)數(shù)z滿意，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第_________象限.【答案】二【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】由，得所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面點(diǎn)為，所以z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于其次象限.故答案為：二.4.已知對(duì)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是_________.【答案】不存在【解析】【分析】利用參變量分別法結(jié)合基本不等式求出的取值范圍，即可得解.【詳解】由已知可得，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，故實(shí)數(shù)的最大值不存在.故答案為：不存在.5.的綻開式共有11項(xiàng)，則常數(shù)項(xiàng)為_________.【答案】##【解析】【分析】先求出，通過綻開式通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng).【詳解】由題意得：，則綻開式通項(xiàng)公式，令，解得：，則.故答案為：6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，終邊分別是射線OA和射線OB，射線OA，OC與單位圓的交點(diǎn)分別為，．若，則的值是_________．【答案】【解析】【分析】先依據(jù)終邊和終邊上的點(diǎn)求出對(duì)應(yīng)函數(shù)值，進(jìn)一步利用余弦的和差公式干脆得出結(jié)論.【詳解】解析依據(jù)題意得知，，，，．故答案為：．7.如圖1，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，M，N，Q分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)三棱錐Q-BMN的正視圖如圖2所示時(shí)，三棱錐俯視圖的面積為_______________.【答案】##1.5【解析】【分析】依據(jù)三棱錐Q-BMN的正視圖確定M，N，Q的位置，從而得到其俯視圖為等腰三角形，再計(jì)算面積；【詳解】由題意得：點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)與重合，其俯視圖為三角形，如圖所示，故答案為：8.某高校計(jì)算機(jī)系4名學(xué)生和英語(yǔ)系的4名學(xué)生打算利用暑假到某偏遠(yuǎn)農(nóng)村學(xué)校進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，現(xiàn)將他們平均安排到四個(gè)班級(jí)，則每個(gè)班級(jí)既有計(jì)算機(jī)系學(xué)生又有英語(yǔ)系學(xué)生的概率是_____________________.【答案】【解析】【分析】先計(jì)算總共有種選法，再計(jì)算滿意條件的，最終依據(jù)古典概型計(jì)算概率即可.【詳解】8人平均分到4個(gè)班級(jí)共有種選法，每個(gè)班級(jí)既有計(jì)算機(jī)系學(xué)生又有英語(yǔ)系學(xué)生共有種分法，故概率為.故答案為：.9.已知直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F，若三角形ABF的面積為，則雙曲線的漸近線方程為_________.【答案】【解析】【分析】由題意可得AB為直徑的圓的方程為，圓也過左焦點(diǎn)，四邊形為矩形，然后由雙曲線的定義可得，由勾股定理可得，再由三角形ABF的面積為，可得，三式相結(jié)合可求得，從而可得，進(jìn)而可求得漸近線方程【詳解】因?yàn)橐訟B為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F，所以AB為直徑的圓的方程為，圓也過左焦點(diǎn)，因?yàn)榕c相等且平分，所以四邊形為矩形，所以，設(shè)，則，所以，因?yàn)樗裕驗(yàn)槿切蜛BF的面積為，所以，得所以，得，所以，所以，得，所以雙曲線的漸近線方程為，故答案為：10.已知數(shù)列中，，則下列說法正確的序號(hào)是_________.①此數(shù)列沒有最大項(xiàng)；②此數(shù)列的最大項(xiàng)是；③此數(shù)列沒有最小項(xiàng)；④此數(shù)列的最小項(xiàng)是.【答案】②【解析】【分析】依據(jù)題意，分析函數(shù)，由此分析數(shù)列的單調(diào)狀況，據(jù)此分析即可求解.【詳解】由，得，對(duì)于函數(shù)，，設(shè)，則，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，所以數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞增，且，當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞減，此時(shí)有，所以數(shù)列的最大項(xiàng)是，最小項(xiàng)為.故答案為：②.11.已知方程，以下說法正確的是___________.（1）此方程中，的取值范圍都是；（2）此方程所對(duì)應(yīng)圖像關(guān)于對(duì)稱；（3），對(duì)，存在，使.【答案】（2），（3）【解析】【分析】（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算律，方程可轉(zhuǎn)化為或，結(jié)合對(duì)數(shù)的定義域，即可推斷；（2）若滿意方程，代入可證明也滿意方程，即可推斷；（3）轉(zhuǎn)化方程為結(jié)合單調(diào)性和，的取值范圍，即可推斷.【詳解】（1）由題意，依據(jù)對(duì)數(shù)的定義且，即由于，同理，由于，故此方程中，的取值范圍都是，即說法錯(cuò)誤；（2）若滿意方程，即則代入為，也滿意方程故方程所對(duì)應(yīng)圖像關(guān)于對(duì)稱，說法正確；（3）由（1）可得方程可轉(zhuǎn)化為又，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知在單調(diào)遞減若，當(dāng)，有故取即滿意條件即，對(duì)，存在，使，說法正確故答案為：（2），（3）12.已知平面對(duì)量，，滿意，，則對(duì)隨意的，的最小值記為M，則M的最大值為________.【答案】【解析】【分析】由題意設(shè)，，，，化為，它表示圓；由表示該圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，即到直線的距離，求得的最大值為．詳解】由平面對(duì)量，，滿意，則與的夾角為，設(shè)，，，，由，得，化簡(jiǎn)得，它表示以點(diǎn)，為圓心，以為半徑的圓；又表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，即到直線的距離；由題得距離的最小值為，由圓心，到直線的距離為，得的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量的數(shù)量積應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合應(yīng)用問題，是難題．二．選擇題：13.已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可推斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.14.在中，，，設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，利用平面對(duì)量的線性運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到,結(jié)合題設(shè)條件，得到，即可求解.【詳解】在三角形中，，，可得因?yàn)椋裕?故選：C.15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則下列說法中正確的是（）A.為遞增數(shù)列B.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值C.不等式的解集為D.不等式的解集為【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知求出首項(xiàng)和公差即可依次推斷.【詳解】由，知，即，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，，解得，對(duì)于A，由，知為遞減數(shù)列，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，知當(dāng)或時(shí)，有最大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由等差數(shù)列求和公式知，即，解得，即，故C正確；對(duì)于D，由等差數(shù)列求通項(xiàng)公式知，解得，故D錯(cuò)誤；故選：C.16.已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的周期為，且時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間（且）上至少有5個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函數(shù)與函數(shù)在（且）上的圖象，可知，數(shù)形結(jié)合可知函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間、上各有一個(gè)交點(diǎn)，由此得出的最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，由可得，函數(shù)的最小正周期為，作出函數(shù)與函數(shù)在（且）上的圖象如下圖所示：因?yàn)椋液瘮?shù)與函數(shù)在區(qū)間、上各有一個(gè)交點(diǎn)，因此，的最小值為.故選：A.三．解答題：17.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）若在區(qū)間上的最小值為，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得結(jié)果；（2）由求得，分析可知，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可得解.【小問1詳解】解：因?yàn)椋裕瘮?shù)的最小正周期為.【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在直線左側(cè)的第一個(gè)最小值點(diǎn)為，故，即，解得.因此，實(shí)數(shù)的最大值為.18.已知數(shù)列為等比數(shù)列,數(shù)列滿意,且.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列?的通項(xiàng)公式及;（2）若數(shù)列滿意,求的前項(xiàng)和.【答案】（1）,,,；（2）【解析】【分析】(1)由已知得,可得出數(shù)列為等差數(shù)列，求得其公差，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，及，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由（1）得,依據(jù)錯(cuò)位相減法求得數(shù)列的前項(xiàng)和，再分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)分別求得.【詳解】(1)對(duì),則,因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,則為定值.則為定值,則數(shù)列為等差數(shù)列.,則,,,;(2),設(shè),為數(shù)列的前項(xiàng)和,則有:(*)式(**)式,得:,.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,即【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和的求解方法，以及運(yùn)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題.19.如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．（1）求證：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P的余弦值；（3）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．推斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）（3）直線AG不在平面AEF內(nèi)，詳見解析．【解析】【分析】（1）由題可證PA⊥CD，從而可證CD⊥平面PAD；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求出平面AEF的法向量后可求二面角的余弦值；（3）利用與平面的法向量是否垂直可得解.【小問1詳解】因?yàn)槠矫妫矫妫訮A⊥CD，又因?yàn)锳D⊥CD，，所以CD⊥平面PAD.小問2詳解】過A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，平面，所以PA⊥AM，PA⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.則A(0，0，0)，B(2，－1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以E(0，1，1)，所以，，，，所以，.設(shè)平面AEF的法向量為，則即，令，則，，故，又平面PAD的法向量為，所以，∴二面角平面角余弦值為.【小問3詳解】直線AG不在平面AEF內(nèi)，理由如下：因?yàn)辄c(diǎn)G在PB上，且，故，所以，.由（2）知，平面AEF的法向量，所以，所以直線AG不在平面AEF內(nèi).20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓過點(diǎn)，焦距與長(zhǎng)軸之比為，、分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，是橢圓上異于、的一點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)在直線上，且，求的面積；（3）過點(diǎn)作斜率為的直線分別交橢圓于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上（不包括端點(diǎn)、），直線與直線交于點(diǎn)，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，利用可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，可得出的值，再利用三角形的面積公式可求得的面積；（3）設(shè)、，設(shè)直線的方程為，其中，則，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，寫出直線、的方程，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求得的值.【小問1詳解】解：由已知可得，可得，所以，橢圓的方程為.【小問2詳解】解：設(shè)點(diǎn)、，易知、，，，由可得，解得，即點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，可得，因此，.【小問3詳解】解：設(shè)、，設(shè)直線的方程為，其中，則，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，，直線的方程為，，直線的方程為，可得，解得，即點(diǎn)，因此，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特別入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）干脆推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．21.對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿意，則稱為“類函數(shù)”.（1）已知函數(shù)，試推斷是否為“類函數(shù)”？并說明理由；（2）設(shè)是定義域上的“類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若為其定義域上的“類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】（1）是，理由見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，得到，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，得，得到存在滿意，即可作出推斷；（2）利用為“類函數(shù)”，得出，令，得到方程在有解可保證為“類函數(shù)”，分別參數(shù)即可求解；（3）由為其定義域上的“類函數(shù)”，得到存在存在實(shí)數(shù)，滿意，依據(jù)分段函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，分類探討即可求解.【小問1詳解】由題意，函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿意，可得，即，化簡(jiǎn)整理，得，解得，所以存在滿意所以函數(shù)是“M類函數(shù)”；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，可化為，令，則，所以方程在有解可保證是“類函數(shù)”，