函數與導數解題方法知識點技巧總結函數與導數解題方法知識點技巧總結/函數與導數解題方法知識點技巧總結函數及導數解題方法知識點技巧總結1.高考試題中,關于函數及導數的解答題(從宏觀上)有以下題型:（1）求曲線在某點出的切線的方程（2）求函數的解析式（3）探討函數的單調性,求單調區間（4）求函數的極值點和極值（5）求函數的最值或值域（6）求參數的取值范圍（7）證明不等式（8）函數應用問題2.在解題中常用的有關結論（須要熟記）:（1）曲線在處的切線的斜率等于,且切線方程為。（2）若可導函數在處取得極值,則。反之不成立。（3）對于可導函數,不等式的解是函數的遞增（減）區間。（4）函數在區間上遞增（減）的充要條件是:恒成立（不恒為）.（5）若函數在區間上有極值,則方程在區間上有實根且非二重根。（若為二次函數且,則有）。（6）若函數在區間上不單調且不為常量函數,則在上有極值。（7）若恒成立,則；若恒成立,則（8）若使得,則；若使得,則.（9）設及的定義域的交集為,若恒成立,則有.（10）若對恒成立,則.若對,使得,則.若對,使得,則.（11）已知在區間上的值域為,在區間上值域為,若對使得成立,則。（12）若三次函數有三個零點,則方程有兩個不等實根且（13）證題中常用的不等式:①（僅當時取“”）②（僅當時取“=”）③④⑤⑥⑦3.函數及導數解答題常見題型的解法（1）已知曲線（含參數）的切線方程為,求參數的值【解法】先設切點坐標為,求出切線方程再及已知切線方程比較系數得:,解此方程組可求參數的值（2）已知函數（含參數）,探討函數的單調性【解法】先確定的定義域,并求出,視察能否恒大于或等于（恒小于或等于）,假如能,則求參數的范圍,探討便從這里開始,當參數在上述范圍以外取值時,令,求根.再分層探討,是否在定義域內或探討的大小關系,再列表探討,確定的單調區間。（大多數函數的導函數都可以轉化為一個二次函數,因此探討函數單調性問題又往往是探討二次函數在某一區間上的符號問題）（3）已知函數（含參數）在區間上有極值,求參數的取值范圍.【解法】函數在區間上有極值,可轉化為方程在區間上有實根,且為非二重根。從而確定參數（或其取值范圍）。（4）可導函數（含參數）在區間上無極值,求參數的取值范圍【解法】在區間上無極值等價于在區間在上是單調函數,進而得到或在上恒成立（5）函數（含單個或多個參數）僅在時取得極值,求參數的范圍【解法】先由,求參數間的關系,再將表示成=,再由恒成立,求參數的范圍。（此類問題中一般為三次多項式函數）（6）函數（含參數）在區間上不單調,求參數的取值范圍【解法一】轉化為在上有極值。（即在區間上有實根且為非二重根）。【解法二】從反面考慮:假設在上單調則在I上恒成立,求出參數的取值范圍,再求參數的取值范圍的補集（7）已知函數（含參數）,若,使得成立,求參數的取值范圍.【解法一】轉化為在上的最大值大于（最小值小于）【解法二】從反面考慮:假設對恒成立則（）,求參數的取值范圍,再求參數的取值范圍的補集（8）含參數的不等式恒成立,求參數的取值范圍【解法一】分別參數求最值【解法二】構造函數用圖像注:對于多變量不等式恒成立,先將不等式變形,利用函數的最值消變元,轉化為單變量不等式恒成立問題（9）可導函數（含參數）在定義域上存在單調遞增(減)區間,求參數的范圍.【解法】等價轉化為在定義域上有解即使成立（1）可用分別參數法（2）利用圖像及性質（10）證明不等式【解法】構造函數并確定定義域,考察在上的單調性（留意區間端點的函數值）或者求在上的最值注:對于含有正整數的帶省略號的不定式的證明,先視察通項,聯想基本不定式,確定要證明的函數不定式,再對自變量賦值,令分別等于,把這些不定式累加,可得要證的不定式。）1.已知函數,實數滿意,設.（1）當函數的定義域為時,求的值域；（2）求函數關系式,并求函數的定義域；（3）求的取值范圍.（1）若,令,……1分在上為增函數 ……2分；,……3分值域為.……4分（2）實數滿意,則,則,……6分而,,故,,……7分由題意,,則,故,……8分又,即,故,當且僅當時取得等號,……9分綜上:.……10分（3）,……12分令,當恒成立,……14分故在單調遞增,,故.……16分2.已知函數。（1）若f（x）的圖象及g（x）的圖象所在兩條曲線的一個公共點在y軸上,且在該點處兩條曲線的切線相互垂直,求b和c的值。（2）若a＝c＝1,b＝0,試比較f（x）及g（x）的大小,并說明理由；（3）若b＝c＝0,證明：對隨意給定的正數a,總存在正數m,使得當x時,恒有f（x）＞g（x）成立。解:,時,,……5分①時,,,即②時,,,即③時,令,則.設,則,當時,單調遞減;當時,單調遞增.所以當時,取得微小值,且微小值為即恒成立,故在上單調遞增,又,因此,當時,,即.……9分綜上,當時,；當時,；當時,.……10分⑶證法一:①若,由⑵知,當時,.即,所以,時,取,即有當,恒有.②若,即,等價于即令,則.當時,在內單調遞增.取,則,所以在內單調遞增.又即存在,當時,恒有.……15分綜上，對隨意給定的正數，總存在正數，使得當，恒有.……16分證法二:設,則,當時,,單調減,當時,,單調增,故在上有最小值,,……12分①若,則在上恒成立,即當時,存在,使當時,恒有；②若,存在,使當時,恒有；③若,同證明一的②,……15分綜上可得，對隨意給定的正數，總存在,當時,恒有.……16分設函數在點處的切線方程為.(1)求實數及的值；(2)求證:對隨意實數,函數有且僅有兩個零點.4.已知函數,；（取為,取為,取）（1）若函數在上單調遞增,求實數的取值范圍；（2）若直線是函數圖象的切線,求的最小值；（3）當時,若及的圖象有兩個交點,,求證:.解析:（1）由,得；∵在上遞增,∴對,都有,（求出導數給2分）即對,都有,∵,∴；故實數的取值范圍是.………………4分（無等號的扣1分）（2）設切點,則切線方程為:,即,亦即,令,由題意得；……………7分令,則,當時,在上遞減；當時,在上遞增,∴,故的最小值為.………10分（3）由題意知:,,兩式相加得:,兩式相減得:,即,∴,即,………12分不妨令,記,令,則,∴在上遞增,則,∴,則,∴,又,∴,即,令,則時,,∴在上單調遞增,又,∴,∴,即.■………16分已知函數,其中為自然對數底數.（1）當時,求函數在點處的切線方程；（2）探討函數的單調性,并寫出相應的單調區間；（3）已知,若函數對隨意都成立,求的最大值.解:（1）當時,,,,………………2分∴函數在點處的切線方程為,即.……………………4分（2）∵,①當時,,函數在上單調遞增；………………6分②當時,由得,∴時,,單調遞減；時,,單調遞增.綜上,當時,函數的單調遞增區間為；當時,函數的單調遞增區間為,單調遞減區間為.……9分（3）由（2）知,當時,函數在上單調遞增,∴不可能恒成立；………………10分當時,,此時；………11分當時,由函數對隨意都成立,得,∵,∴………………13分∴,設,∴,由于,令,得,,當時,,單調遞增；時,,單調遞減.∴,即的最大值為,.…………………16分5.此時若函數在處取得極大值或微小值,則稱為函數的極值點.已知函數當時,求的極值；若在區間上有且只有一個極值點,求實數的取值范圍.已知函數,.（1）設.①若函數在處的切線過點,求的值；②當時,若函數在上沒有零點,求的取值范圍；（2）設函數,且,求證:當時,.解:（1）由題意,得,所以函數在處的切線斜率,……………2分又,所以函數在處的切線方程,將點代入，得.……………4分（2）方法一:當,可得,因為,所以,①當時,,函數在上單調遞增,而,所以只需，解得，從而.……………6分②當時,由,解得,當時,,單調遞減；當時,,單調遞增.所以函數在上有最小值為,令,解得,所以.綜上所述，.……………10分方法二:當,①當時,明顯不成立；②當且時，，令，則，當時，，函數單調遞減，時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，又，，由題意知.（3）由題意,,而等價于,令,……………12分則,且,,令,則,因,所以,……………14分所以導數在上單調遞增,于是,從而函數在上單調遞增，即.……………16分己知函數(1)若,求函數的單調遞減區間;(2)若關于x的不等式恒成立,求整數a的最小值:(3)若,正實數滿意,證明:（1）因為,所以,………1分此時,………2分由,得,又,所以．所以的單調減區間為.…………4分（2）方法一:令,所以.當時,因為,所以.所以在上是遞增函數,又因為,所以關于的不等式不能恒成立.……6分當時,,令,得.所以當時,；當時,,因此函數在是增函數,在是減函數．故函數的最大值為.……………………8分令,因為,,又因為在是減函數.所以當時,．所以整數的最小值為2.…………10分方法二:（2）由恒成立,得在上恒成立,問題等價于在上恒成立.令,只要.…………6分因為,令,得.設,因為,所以在上單調遞減,不妨設的根為.當時,；當時,,所以在上是增函數；在上是減函數.所以.………8分因為,所以,此時,即.所以,即整數的最小值為2.………………10分（3）當時,由,即從而…………………13分令,則由得,可知,在區間上單調遞減,在區間上單調遞增.所以,………15分所以,因此成立.…………16分已知為實數,函數,函數.（1）當時,令,求函數的極值；（2）當時,令,是否存在實數,使得對于函數定義域中的隨意實數,均存在實數,有成立,若存在,求出實數的取值集合；若不存在,請說明理由.解:（1）,,令,得．………1分列表:x0+↘微小值↗所以的微小值為,無極大值.………4分（2）當時,假設存在實數滿意條件,則在上恒成立.………5分1）當時,可化為,令,問題轉化為:對隨意恒成立；（*）則