2021-2022學年河北省保定市清苑區八年級（下）期末數學試卷

一、選擇題（本大題共16個小題，1-10小題，每小題3分；11-16小題，每小題3分，共

42分.在每小題給出的4個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.（3分）《國家寶藏》節目立足于中華文化寶庫資源，通過對文物的梳理與總結，演繹文

物背后的故事與歷史，讓更多的觀眾走進博物館，讓一個個館臧文物鮮活起來.下面四

幅圖是我國一些博物館的標志，其中是中心對稱圖形的是（）

曲L皂

2.（3分）下列角度不是多邊形內角和的是（）

A.180°B.360°C.480°D.540°

3.（3分）比較7a與4a的大小關系是（）

A.7a<4〃B.7a=4aC.7a>4aD.不能確定

4.（3分）關于x的不等式2x-aWl的解集如圖所示，則。的值是（）

-~~]_>_____>

-2-101

A.-3B.-1C.1D.3

5.（3分）用提公因式法分解因式正確的是（）

A.\2abc-2c2=3aZ?c（4-3ab）

B.3/y-3xy+6y=3y（x2-x+2y）

C.-c^+ab-ac=-a{a-b+c）

D.j?y+5xy-y=y（7+5x）

6.（3分）下面的分式化簡，對于所列的每一步運算，依據錯誤的是（）

計算：烏_獸曲

a+ba+b

解：原式=3a+a+4b①

a+b

=4a+4b②

a+b

-4(a+b)

a+b

=4④

A.①：同分母分式的加減法法則

B.②：合并同類項法則

C.③：提公因式法

D.④：等式的基本性質

7.（3分）若關于x的方程有增根，則根的值是（）

x-55-x

A.-2B.2C.5D.3

8.（3分）如圖，將三角尺A8C的一邊AC沿位置固定的直尺推移得到△￡）功,下列結論不

一定正確的是（）

A.DE//AB

B.四邊形ABED是平行四邊形

C.AD//BE

D.AD=AB

9.（3分）若分式“尸.口”可以進行約分化簡，則"O"不可以是（）

x2-Ox

A.1B.xC.-xD.4

10.（3分）老師設計了接力游戲，用合作的方式完成解不等式上區生規則是:

23飛

每人只能看到前一人的計算結果，并進行一步計算，再將結果傳遞給下一人,最后完成

計算.過程如圖所示，接力中，自己負責的一步出現錯誤的是（)

老師甲乙丙T

丟分每浮:.分項合異商類項得:而達扃院以.

l+x2x+l

<1

233(l-^>2(2x+l)<33+3x-4x+2<3-x<-2x<2

A.只有丙B.甲、乙、丙C.乙、丙、丁D.甲、乙、丁

11.（2分）有一道題：“甲隊修路150,"與乙隊修路100，”所用天數相同，若.，求甲隊每

天修路多少米？”根據圖中的解題過程，被遮住的條件是（）

解：設甲隊每天修路工米，

依題意得：粵=

工LX—5U

A.甲隊每天修路比乙隊2倍還多30m

B.甲隊每天修路比乙隊2倍還少30,“

C.乙隊每天修路比甲隊2倍還多30;?

D.乙隊每天修路比甲隊2倍還少30〃i

12.（2分）利用一次函數產or+b的圖象解關于x的不等式依+6<0,若它的解集是x>-

2,則一次函數y=ox+b的圖象為（）

13.（2分）下面是小林同學證明三角形中位線定理的過程：

已知：如圖，QE是aABC的中位線.

求證：DE^BODE//BC.

證明：在△4BC中，延長。E到點F,使得EF=①，連接CF；

又；NAED=NCEF,AE=CE,

:.△ADE9XCFE（②），

AZA=ZECF,AD=CF,

，③,

>L'：AD=BD,：.CF=BD,

：.四邊形BCFD是④，

則回答錯誤的是（）

A.①中填OEB.②中填SAS

C.③中填。f〃BCD.④中填平行四邊形

14.（2分）如圖，點P在正五邊形A8COE的內部，△ABF為等邊三角形，則/AFC等于

（）

C.126°D.132°

15.（2分）如圖，在RtZXABC中，ZB=90°,AB=3,8c=4,點。在BC上，以AC為

對角線的所有平行四邊形AOCE中，OE的最小值是（）

C.4D.3.75

16.（2分）如圖，已知AABC是邊長為6的等邊三角形，點O是線段8c上的一個動點（點

。不與點B,C重合），ZVIOE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作8c的平行線，分

別交線段AB,AC于點F,G,連接BE和CF.則下列結論中：①BE=CD；?ZBDE=

/CAD；③四邊形BCGE是平行四邊形:④當C￡>=2時,SAAEF=23,其中正確的有（）

二、填空題（本大題有3個小題，共10分.17?18小題各3分；19小題有2個空，每空2

分.）

17.（3分）如圖，點A、B、C、D、。都在方格紙的格點上，若△（%>/）是由△408繞點。

則整數x=

19.（4分）定義：如果幾個全等的正〃邊形依次有一邊重合，排成一圈，中間可以圍成一

個正多邊形，那么我們稱作正〃邊形的環狀連接.如圖1,我們可以看作正八邊形的環狀

連接，中間圍成一個正方形.

（1）若正六邊形作環狀連接，如圖2,中間可以圍成的正多邊形的邊數為；

（2）若邊長為。的正〃邊形作環狀連接，中間圍成的是等邊三角形，則這個環狀連接的

外輪廓長為.（用含a的代數式表示）

?J

圖1圖2

三、解答題（本大題有7個小題，共68分.解答題應寫出文字說明.證明過程或演算步驟）

20.（20分）（1）因式分解：（2r+y）2-（x+2y）2；

2

（2）計算：（且--&

x-2x+2x

r7x-8<9x

（3）解不等式組：x+1、；

號》］

（4）解方程：—」_口.

x-44-x

21.（8分）如圖，在△ABC中，D,E,F分別是AB,BC,AC的中點.求證：AE與。F

互相平分.

22.（8分）已知：如圖，平行四邊形ABCO中，E,F分別是邊AB,CQ的中點.

（1）求證：四邊形EBFD是平行四邊形:

（2）若AZ）=AE=2,ZA=60°,求四邊形EBFn的周長和面積.

23.（8分）如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘

數如:4=22-02,12=

42-22,20=62-42,因此4,12,20都是“神秘數”.

（1）請說明28是否為“神秘數”；

（2）下面是兩個同學演算后的發現，請選擇一個“發現”，判斷真假，并說明理由.

①小能發現：兩個連續偶數2斤+2和2k（其中k取非負整數）構造的“神秘數”也是4

的倍數.

②小仁發現：2016是“神秘數”.

24.（8分）閱讀下面材料，并解決相應的問題：

在數學課上，老師給出如下問題，已知線段AB,求作線段AB的垂直平分線.小明的作

法如下：

（1）分別以A,B為圓心，大于LB長為半徑作弧，兩弧交于點C；

2

（2）再分別以A,B為圓心，大于」AB長為半徑作弧，兩弧交于點》

2

（3）作直線CD,直線CO即為所求的垂直平分線.

同學們對小明的作法提出質疑，小明給出了這個作法的證明如下：

連接AC,BC,AD,BD.

由作圖可知：AC=BC,AD=BD.

點C,點。在線段的垂直平分線上（依據1：）.

直線就是線段的垂直平分線（依據2：）.

（1）請你將小明證明的依據寫在橫線上；

（2）將小明所作圖形放在如圖的正方形網格中，點A,B,C,。恰好均在格點上，依次

連接A,C,B,D,A各點，得到如圖所示的“箭頭狀”的基本圖形，請在網格中添加若

干個此基本圖形，使其各頂點也均在格點上，且與原圖形組成的新圖形是中心對稱圖形.

25.（8分）甲、乙兩公司全體員工踴躍參與“攜手防疫，共渡難關”捐款活動，甲公司共

捐款100000元，乙公司共捐款140000元.下面是甲、乙兩公司員工的一段對話：

甲公司員工乙公司員工

(1)甲、乙兩公司各有多少人？

(2)現甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購買A、B兩種防疫物資,A種防疫物資每箱15000

元，8種防疫物資每箱12000元.若購買8種防疫物資不少于10箱，并恰好將捐款用完,

有幾種購買方案？請設計出來(注：A、B兩種防疫物資均需購買，并按整箱配送).

26.(8分)通過對下面數學模型的研究學習，解決下列問題：

【模型呈現】

(1)如圖1,ZBAD=90°,AB=AD,過點B作BCL4c于點C,過點。作QE_LAC

于點E.由Nl+/2=N2+NZ)=90°,得N1=ND又NAC8=/AED=90°,可以推

理得到△ABC絲△￡>/!￡進而得到AC=,BC=.我們把這個數學模型稱

為“K字”模型或“一線三等角”模型；

【模型應用】

(2)①如圖2,ZBAD=ZCAE=90°,AB=A。，AC=AE,連接8C,DE,KBCLAF

于點F,與直線AF交于點G.求證：點G是。E的中點；

②如圖3,在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(2,4),點8為平面內任一點.若

△408是以OA為斜邊的等腰直角三角形，請直接寫出點B的坐標.

2021-2022學年河北省保定市清苑區八年級（下）期末數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共16個小題，1-10小題，每小題3分；11-16小題，每小題3分，共

42分.在每小題給出的4個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.（3分）《國家寶藏》節目立足于中華文化寶庫資源，通過對文物的梳理與總結，演繹文

物背后的故事與歷史，讓更多的觀眾走進博物館，讓一個個館藏文物鮮活起來.下面四

幅圖是我國一些博物館的標志，其中是中心對稱圖形的是（）

【分析】把一個圖形繞某一點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那

么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

【解答】解：A.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

B.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

C.是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

D.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

故選：C.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度

后與原圖重合.

2.（3分）下列角度不是多邊形內角和的是（）

A.180°B.360°C.480°D.540°

【分析】根據多邊形的內角和公式，多邊形的內角和除以180所得結果應該是：大于或

等于1的正整數，據此即可判斷.

【解答】解：A、180°是三角形的內角和，故選項不符合題意；

B、360°是四邊形的內角和，故選項不符合題意；

C、480+180=&，則不是多邊形的內角和，故選項符合題意；

3

D、540+180=3,則是多邊形的內角和，故選項不符合題意.

故選：C.

【點評】本題考查根據多邊形的內角和計算公式求多邊形的邊數，解答時要會根據公式

進行正確運算、變形和數據處理.

3.（3分）比較7a與4a的大小關系是（）

A.la<4aB.7a=4aC.la>4aD.不能確定

【分析】利用作差法比較大小，分三種情況討論即可得出答案.

【解答】解：1a-4?=3?,

當a=0時，3a=0,

.".7a=4a；

當a>0時，3a>0,

.'.7a>4a；

當a<0時,3a<0,

:.Ja<4a；

故選：D.

【點評】本題考查了有理數的大小，考查分類討論，利用作差法比較大小是解題的關鍵.

4.（3分）關于x的不等式2x-aWl的解集如圖所示，則a的值是（）

-->______________________>

-2-101

A.-3B.-1C.1D.3

【分析】首先解不等式2x-aWl可得xW且旦，根據數軸可得xW-1,進而得到旦旦=

22

-1,再解方程即可.

【解答】解：2x-

xW更1,

2

-1,

.?.他=7,

2

解得：a=-3,

故選:A.

【點評】此題主要考查了解一元一次不等式，在數軸上表示不等式的解集，關鍵是正確

解出不等式的解集.

5.(3分)用提公因式法分解因式正確的是()

A.1labc-92c2=3ahc(4-3ab)

B.3/y-3x)46y=3y(x2-x+2y)

C.-a^+ab~ac=-a(a-/7+c)

D.j?y+5xy-y=y(7+5x)

【分析】此題通過提取公因式可對選項進行一一分析，排除錯誤的答案.

【解答］解：12abc-9crb2c2=3abc(4-3%),故本選項錯誤;

B、37y-3盯+6y=3y(x2-x+2),故本選項錯誤；

C、-2+ab-ac=-a(.a-b+c),正確；

D>x^y^-5xy-y=y(，+5x-1),故本選項錯誤.

故選：C.

【點評】此題考查提取公因式的方法，通過得出結論推翻選項.

6.(3分)下面的分式化簡，對于所列的每一步運算，依據錯誤的是()

計算：且/1也

a+ba+b

解：原式=3a+a+4b①

a+b

=4a+4b2

a+b

_4(a+b)@

a+b

=4④

A.①：同分母分式的加減法法則

B.②：合并同類項法則

C.③：提公因式法

D.④：等式的基本性質

【分析】根據分式的加減法法則計算即可.

【解答】解：A、①：同分母分式的加減法法則，正確，故A不符合題意；

以②：合并同類項法則，正確，故8不符合題意；

C、③：提公因式法，正確，故C不符合題意；

。、④：分式的基本性質，故錯誤，故。符合題意；

故選：D.

【點評】此題考查了分式的加減，熟練掌握法則及運算律是解本題的關鍵.

7.（3分）若關于x的方程有增根，則根的值是（）

x-55-x

A.-2B.2C.5D.3

【分析】增根是分式方程化為整式方程后產生的使分式方程的分母為0的根.有增根，

那么最簡公分母x-5=0,所以增根是x=5,把增根代入化為整式方程的方程即可求出

未知字母的值.

【解答】解：方程兩邊都乘（x-5）,得

2-x+m=0

???由最簡公分母x-5=0,可知增根是x=5,

把x=5代入整式方程，得

2-5+，〃=0,

：.m=3.故選：D.

【點評】增根問題可按如下步驟進行：

①確定增根的值；

②化分式方程為整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值.

8.（3分）如圖，將三角尺A8C的一邊AC沿位置固定的直尺推移得到△OEF,下列結論不

一定正確的是（）

A.DE//AB

B.四邊形A3ED是平行四邊形

C.AD//BE

D.AD=AB

【分析】由平移性質可得AZ）〃BE,且AQ=BE,即可知四邊形ABEO是平行四邊形，再

根據平行四邊形性質可得。E〃AB,從而可得答案.

【解答】解：由平移性質可得AO〃BE,且AQ=BE,

四邊形ABED是平行四邊形，

J.DE//AB,故A、B、C均正確，

故選：D.

【點評】本題主要考查平移的性質、平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平移的性質得

出四邊形是平行四邊形是解題的關犍.

9.（3分）若分式“.迫”可以進行約分化簡，則“O”不可以是（）

x2-Ox

A.1B.xC.-xD.4

【分析】分式可以進行約分化簡，則分子與分母有公因式，據此分析即可.

【解答】解：?.?分式“一±_?上2"可以進行約分化簡，

x2-OX

...“O”可以是1,則A不符合題意；

“O”可以是x,則3不符合題意：

“O”不可以是-x,則C符合題意；

“O”可以是4,則。不符合題意；

故選：C.

【點評】本題主要考查分式的乘除法，解答的關鍵是明確分式可以進行約分化簡，則分

子與分母有公因式.

10.（3分）老師設計了接力游戲，用合作的方式完成解不等式上至@±《1.規則是：

23%

每人只能看到前一人的計算結果，并進行一步計算，再將結果傳遞給下一人，最后完成

計算.過程如圖所示，接力中，自己負責的一步出現錯誤的是（）

老師甲乙丙丁

〃二一￡三二；j云分庫得："'"I:丟括號得：…]海成百笄百呈依有j兩瓦商葡工

\~'~1~一：!3（1+X）-2（2X+1）<3]；3+3x-4x+2<3：：.x<-2：!x<2

L一__________I1-————————————————L———————————_l________一一」L_______

A.只有丙B.甲、乙、丙C.乙、丙、丁D.甲、乙、丁

【分析】根據題目中的解答過程，可以分別進行解答，從而可以得到誰負責的自己的一

步出現錯誤，本題得以解決.

【解答】解：1+x_2x+l41,

23飛

3(1+x)-2(2x+l)W6,故甲錯誤；

3(1+x)-2(2x+l)W3,

3+3x-4x-2W3,故乙錯誤；

3+3x-4x+2W3,

-xW-2,故丙正確；

-xW-2,

x22,故丁錯誤；

故選：D.

【點評】本題考查解一元一次不等式，解不等式利用不等式的性質，熟練掌握不等式的

性質是解題的關鍵.

11.(2分)有一道題：“甲隊修路150”?與乙隊修路100機所用天數相同，若.，求甲隊每

天修路多少米？”根據圖中的解題過程，被遮住的條件是()

r—-_一_一_

!解：設甲隊每天修路工米，

I?

::

!依題意得：魯=產而！

A.甲隊每天修路比乙隊2倍還多30m

B.甲隊每天修路比乙隊2倍還少30〃？

C.乙隊每天修路比甲隊2倍還多30m

D.乙隊每天修路比甲隊2倍還少30/?

【分析】根據圖中的方程，可以寫出被遮住的條件，本題得以解決.

【解答】解：由圖表可得方程：100,

x2x~30

故被遮住的條件是乙隊每天修路比甲隊2倍還少30/H,

故選：D.

【點評】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，寫出被遮

住的條件.

12.(2分)利用一次函數尸以+〃的圖象解關于x的不等式ar+6<0,若它的解集是x>-

【分析】根據不等式ax+b<0的解集是x>-2即可得出結論.

【解答】解：???不等式G+〃<0的解集是x>-2,

...當x>-2時，函數y=ox+b的圖象在x軸下方.

故選:A.

【點評】本題考查的是一次函數與一元一次不等式，熟知一次函數的圖象與一元一次不

等式解集的關系是解答此題的關鍵.

13.(2分)下面是小林同學證明三角形中位線定理的過程：

已知：如圖，OE是△ABC的中位線.

求證：DE=^-BC，DE//BC.

證明：在△ABC中，延長DE到點凡使得￡尸=①，連接CF；

又,：NAED=/CEF,AE=CE,

；.△&￡)￡?絲△CFE(②)，

.?./A=/ECF,AD^CF,

③，

又：.CF=BD,

四邊形BCFO是④，

：.DE//BC,DE^-BC-

則回答錯誤的是（）

A.①中填DE1B.②中填SAS

C.③中填。尸〃BCD.④中填平行四邊形

【分析】延長。E到點F,使得連接CF,由“SAS”可證△AOE四△CFE,可

得NA=NECF,AD=CF,可證四邊形BCF￡＞是平行四邊形，可得結論.

【解答】證明：如圖，延長。E到點F,使得EF=DE,連接CF,

在△4￡>￡：和△CFE中，

'AE=CE

<NAED=NCEF，

DE=EF

AAADE^ACFE(SAS),

=AD=CF,

J.CF//AB,

5L'：AD=BD,

：.CF=BD,

...四邊形BCFD是平行四邊形,

：.DE//BC,DE=、BC.

故選：C.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，添加恰當輔助線構

造全等三角形是解題的關鍵.

14.（2分）如圖，點尸在正五邊形A8COE的內部，ZiABF為等邊三角形，則/AFC等于

()

E1C

A.108°B.120°C.126°D.132°

【分析】根據等邊三角形的性質得到AF=BF,NAFB=NABF=60：由正五邊形的性

質得到AB=BC,ZABC=\08°,等量代換得到BF=BC,NFBC=48°,根據三角形

的內角和求出/BFC=66°,根據尸8+/BFC即可得到結論.

【解答】解：???△ABF是等邊三角形，

：.AF=BF,NAFB=NABF=60°,

在正五邊形4BCDE中，AB=BC,ZAfiC=108°,

：.BF=BC,ZFBC^ZABC-ZABF=48a,

NBFC=I8。’_/FEC=66°,

2

ZAFC=NAFB+NBFC=126°,

故選：C.

【點評】本題考查了正多邊形的內角和，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，熟記

正多邊形的內角的求法是解題的關鍵.

15.（2分）如圖，在RtAuABC中，ZB=90°,AB=3,BC=4,點。在BC上，以AC為

對角線的所有平行四邊形AOCE中，OE的最小值是（）

【分析】由平行四邊形的對角線互相平分、垂線段最短知，當OO_L8c時，OE長度取

最小值.

【解答】解：；在RtZ\ABC中，ZB=90°,

C.BCVAB.

,：四邊形ADCE是平行四邊形，

：.OD=OE,OA=OC.

當。。取最小值時，OE線段最短，此時0￡>，8c.

.?.0D是△4BC的中位線，

：.OD=1AB=1.5,

2

：.ED=2OD=3.

故選：B.

【點評】本題主要考查平行四邊形的性質，以及垂線段最短.解答該題時，利用了“平

行四邊形的對角線互相平分”的性質.

16.（2分）如圖，已知△ABC是邊長為6的等邊三角形，點。是線段BC上的一個動點（點

。不與點B,C重合），△4OE是以40為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分

別交線段AB,AC于點尸，G,連接BE和CF.則下列結論中：?BE=CD；?ZBDE=

NCAD；③四邊形BCGE是平行四邊形;④當C￡>=2時，SAAEF=23,其中正確的有（）

【分析】①證aAEBg△AOC（SAS）,得BE=C￡>,故①正確；再由平角的定義和三角

形內角和定理得N8OE=/CAO,故②正確；由NE3C+/4CB=180°,得EB〃GC.則

四邊形8CGE是平行四邊形.故③正確；證出80=28,得S^CO=AAABC=3JE,

3

再證AF=28F,得SAAEF=2SAAEB=25Z\ACD=2百，故④錯誤.即可求解.

33

【解答】解：①???△ABC和△ADE都是等邊三角形，

：.AE=AD,AB=AC,/BAC=60°,

又VNEAB=ZEAD-NBAD,ZDAC=ZBAC-NBAD,

:.NEAB=NDAC,

在△AEB和△4OC中，

，AE=AD

<NEAB=NDAC，

AB=AC

：./\AEB^/\ADC(SAS),

：.BE=CD,故①正確；

VZBDE+ZADE+ZADC=\SO°,ZACD+ZADC+ZCAD=180°,ZADE=ZACD^=

60°,

.'.ZBDE^ZCAD,故②正確；

由①得△AEBgZisAOC,

：.ZABE=ZACB=60°.

又：/ABC=NC=60°,ZEBC=\20°,

：./EBC+/ACB=180°,

J.EB//GC.

又,：EG〃BC,

四邊形BCGE是平行四邊形，故③正確；

；AC=BC=6,CD=2,

：.BD=4=2CD,

2

SAACD=-^S/\ABC=-X^-X6=3V3，

334

■:EG//BC,

：.ZBFE=ZABC=60°=AABE,

二.△BE尸是等邊三角形，

：.BF=BE,

：.BF=CD=2,

：.AF=4=2BF,

:?S4AEF=Zs4AEB=區&ACD=2M，故④錯誤?

33

故選：B.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形

的判定與性質、平行線的性質等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證明△AEB

絲△AQC是解題的關鍵.

二、填空題(本大題有3個小題，共10分.17?18小題各3分；19小題有2個空，每空2

分.)

17.(3分)如圖，點A、B、C、D、。都在方格紙的格點上，若△(%>￡>是由△408繞點。

按逆時針方向旋轉而得，則旋轉的角度為90°

【分析】由△COO是由aAOB繞點。按逆時針方向旋轉而得，可知旋轉的角度是/30。

的大小，然后由圖形即可求得答案.

【解答】解：如圖：???△CO。是由△408繞點。按逆時針方向旋轉而得,

OB=OD,

，旋轉的角度是NB。。的大小，

'：ZBOD=90Q,

二旋轉的角度為90°.

故答案為：90°.

【點評】此題考查了旋轉的性質.解此題的關鍵是理解△COO是由aAOB繞點O按逆

時針方向旋轉而得的含義，找到旋轉角.

18.(3分)已知x為整數，且2-，_+區旦名為正整數，則整數x=4或5.

x+3x-3x2.g

【分析】先通分，再進行同分母分式的加減運算得到原式=/21X：3)約分得到

(x+3)(x-3)

原式=，一，由于x為整數，且N-為正整數，根據整數的整除性得到X-3=1或X-3

x-3x-3

=2,然后解一次方程即可.

［加睪效］解：2__2_+2x+18__2(x-3)_2(x+3)+2x+18

2

x+3x-3X-9(X+3)(X-3)(X+3)(X-3)(X+3)(X-3)

=2(x+3)

(x+3)(x-3)

=2

為整數，2-_g_+2x+13.為正整數,

_

x+3X3x2_g

.?.x為整數，且N_為正整數，

x-3

Ax-3=1或x-3=2,

.,.x=4或x=5.

故答案為4或5.

【點評】本題考查了分式的化簡求值：先把分式的分子或分母因式分解（有括號，先算

括號），然后約分得到最簡分式或整式，然后把滿足條件的字母的值代入計算得到對應的

分式的值.

19.（4分）定義：如果幾個全等的正〃邊形依次有一邊重合，排成一圈，中間可以圍成一

個正多邊形，那么我們稱作正〃邊形的環狀連接.如圖1,我們可以看作正八邊形的環狀

連接，中間圍成一個正方形.

（1）若正六邊形作環狀連接，如圖2,中間可以圍成的正多邊形的邊數為6；

（2）若邊長為。的正〃邊形作環狀連接，中間圍成的是等邊三角形，則這個環狀連接的

外輪廓長為27a.（用含a的代數式表示）

.

圖1圖2

【分析】根據正多邊形的內角和公式（n-2）?180°,可求出正多邊形密鋪時需要的正多

邊形的內角，繼而可求出這個正多邊形的邊數.

【解答】解：（1）正六邊形作環狀連接，一個公共點處組成的角度為240。，

故如果要密鋪，則需要一個內角為120°的正多邊形，

而正六邊形的內角為120°,

所以正六邊形作環狀連接，中間可以圍的正多邊形的邊數為6；

（2）若邊長為1的正〃邊形作環狀連接，中間圍成的是等邊三角形，

則一個公共點處組成的角度為360°-60°=300°,

所以正”邊形的一個內角是150°,

所以（〃-2）X180=150n,

解得"=12,

所以邊長為a的正十二邊形作環狀連接，中間圍成的是等邊三角形，則這個環狀連接的

外輪廓長為27a.

故答案為：6；Zia.

【點評】此題考查了平面密鋪的知識，解答本題關鍵是求出在密鋪條件下需要的正多邊

形的一個內角的度數，有一定難度.

三、解答題(本大題有7個小題，共68分.解答題應寫出文字說明.證明過程或演算步驟)

20.(20分)(1)因式分解：(2x+y)2-(x+2y)2；

2

(2)計算：(且---4；

x-2x+2x

<7x-8<9x

(3)解不等式組：|x+1、；

專〉］

(4)解方程：—」_口.

x-44-x

【分析】(1)利用平方差公式因式分解即可；

(2)根據分式的加減運算以及乘除運算法則進行化簡即可求出答案；

(3)分別求出每個不等式的解集，再根據“同大取大”即可得出不等式組的解集；

(4)根據解分式方程的步驟求解即可.

【解答】解：(1)(2x+y)2-(x+2y)2

=(2x+y+x+2y)C2x+y-x-2y)

=(3x+3y)(x-y)

=3(x+y)(x-y)；

(2)(且-一jAw

x-2x+2x

=3x(x+2)-x(x-2)?，-4

(x-2)(x+2)x

=3，+6x-x2+2x

x

—2x2+8x

x

—■2x+8；

>x-8<9x①

由①得：x>-4,

由②得：x>l,

二不等式組的解集是：x>l；

(4)解方程：—」—=i，

x-44-x

去分母，方程兩邊同時乘以x-4,得:

3-x-1=x-4,

?,x=3,

經檢驗：x=3是原分式方程的解.

【點評】本題主要考查了分解因式，分式的混合運算，解一元一次不等式組以及解分式

方程，熟記相關公式與運算法則是解答本題的關鍵.

21.(8分)如圖，在△ABC中，D,E,F分別是AB,BC,AC的中點.求證：AE與。F

互相平分.

【分析】由三角形中位線定理得。E〃AC,EF//AB,再證四邊形AQEF為平行四邊形，

即可得出結論.

【解答】證明：：力、E、尸分別是AB,BC,AC的中點，

:.DE、E尸都是△ABC的中位線，

J.DE//AC,EF//AB,

.?.四邊形ADEF為平行四邊形，

.?.AE與￡＞尸互相平分.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質、三角形的中位線的定理等知識，熟練掌

握平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵.

22.(8分)已知：如圖，平行四邊形ABCQ中，E,尸分別是邊AB,的中點.

(1)求證：四邊形EBFD是平行四邊形；

(2)若AO=AE=2,ZA=60°,求四邊形EBF3的周長和面積.

【分析】(1)在QABCZ)中，AB^CD,AB"CD,又E、尸分別是邊A3、的中點，所

以BE=CF,因此四邊形EBFD是平行四邊形；

(2)由AO=AE=2,ZA=60°知△4OE是等邊三角形，又E、尸分別是邊AB、CO的

中點，四邊形EBF￡）是平行四邊形，所以EB=BF=FD=DE=2,四邊形E8尸。是平行

四邊形的周長是2+2+2+2=8.

【解答】（1）證明：在。ABC。。AB=CD,AB//CD.

VEs尸分別是A8、CZ）的中點，

：.BE=^AB,DF=1.CD.

22

：.BE=DF.

四邊形EBFO是平行四邊形

（2）解：'：AD=AE,NA=60°,

/\ADE是等邊三角形.

：.DE=AD=2,

由（1）知四邊形EBRD是平行四邊形，

；BE=AE=2,

...四邊形EBF￡>的周長=2（BE+DE）=8.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握性質定理和判定定理是解題的

關鍵.平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質相呼應，每種方法都對應著一種

性質，在應用時應注意它們的區別與聯系.

23.（8分）如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘

數如：4=22-02,12=

42-22,20=62-42,因此4,12,20都是“神秘數”.

（1）請說明28是否為“神秘數”；

（2）下面是兩個同學演算后的發現，請選擇一個“發現”，判斷真假，并說明理由.

①小能發現：兩個連續偶數2%+2和2k（其中k取非負整數）構造的“神秘數”也是4

的倍數.

②小仁發現：2016是“神秘數”.

【分析】（1）根據題意，可以寫出28是否可以表示為兩個連續的偶數的平方之差，從而

可以解答本題；

（2）選擇其中的一個，先判斷，然后說明理由即可.

【解答】解：（1）V28=82-62,

A28是神秘數；

（2）當選擇①時，兩個連續偶數2Z+2和2k（其中&取非負整數）構造的“神秘數”也

是4的倍數是真命題，

理由：,:⑵+2）2-（2k）2

=4必+8A+4-4層

=8k+4,

k取非負整數，

，8k+4一定能被4整除，

兩個連續偶數2A+2和混（其中左取非負整數）構造的“神秘數”也是4的倍數；

當選擇②時，2016是“神秘數”是假命題，

理由：：（2好2）2-（2k）2

=4必+弘+4-4F

=8k+4,

令8%+4=2016,得％=251.5,

為非負整數，

；/=251.5不符合實際,舍去，

.?.2016是“神秘數”錯誤.

【點評】本題考查因式分解的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用因式分解的方法

解答.

24.（8分）閱讀下面材料，并解決相應的問題：

在數學課上，老師給出如下問題，己知線段AB,求作線段A8的垂直平分線.小明的作

法如下：

（1）分別以A,B為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點C；

2

（2）再分別以A,8為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點O；

2

（3）作直線CC,直線C。即為所求的垂直平分線.

同學們對小明的作法提出質疑，小明給出了這個作法的證明如下：

連接AC,BC,AD,BD.

由作圖可知：AC=BC,AD=BD.

.?.點C,點D在線段的垂直平分線上（依據1：到線段兩個端點距離相等的點在這條

線段的垂直平分線上）.

直線就是線段的垂直平分線（依據2：兩點確定一條直線）.

（1）請你將小明證明的依據寫在橫線上；

（2）將小明所作圖形放在如圖的正方形網格中，點A,B,C,。恰好均在格點上，依次

連接A,C,B,D,4各點，得到如圖所示的“箭頭狀”的基本圖形，請在網格中添加若

干個此基本圖形，使其各頂點也均在格點上，且與原圖形組成的新圖形是中心對稱圖形.

【分析】（1）根據線段的垂直平分線的判定和性質判斷即可.

（2）作點C,。關于AB的對稱點C',D',連接AC',BC',AD',BD'即可.

【解答】解：（1）連接AC,CB,AD,DB.

由作圖可知：AC=BC,AD=BD.

.?.點C,點/）在線段的垂直平分線上（到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直

平分線上）.

直線就是線段的垂直平分線（兩點確定一條直線）.

故答案為：線段的垂直平分線的性質，兩點確定一條直線.

【點評】本題考查利用旋轉設計圖案，線段的垂直平分線的判定和性質等知識，解題的

關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

25.（8分）甲、乙兩公司全體員工踴躍參與“攜手防疫，共渡難關”捐款活動，甲公司共

捐款100000元，乙公司共捐款140000元.下面是甲、乙兩公司員工的一段對話：

甲公司員工乙公司員工

（1）甲、乙兩公司各有多少人？

（2）現甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購買A、B兩種防疫物資,A種