第2課時分析法

分析法(1)概念:從_____________出發,逐步尋求使結論成立的___________,直至最后,把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件.(2)思維過程用Q表示要證明的結論,則分析法的思維過程可用框圖表示為:必備知識·自主學習導思1.什么是分析法?2.如何利用分析法解決簡單命題?要證明的結論充分條件【思考】(1)分析法與綜合法有何不同?提示:①綜合法是由因導果,步驟嚴謹、逐層遞進、步步為營,書寫表達過程條理清晰、形式簡潔,宜于表達推理的思維軌跡.缺點是探路艱難、困于思考、不易達到所要證明的結論.②分析法是執果索因,方向明確、利于思考、思路自然,便于尋找解題思路.缺點是思路逆行、易表述出錯.(2)分析法與綜合法能否結合使用?提示:可以.對于比較復雜的證明題,比較好的證法是:用分析法去思考,尋找證題途徑,用綜合法進行書寫;或者聯合使用分析法與綜合法.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)分析法是演繹推理. (

)(2)分析法是“執果索因”. (

)(3)應用分析法證明數學命題實際上是尋求使命題成立的必要條件.(

)提示:(1)√.分析法的推理過程是演繹推理,它的每一步推理都是嚴密的邏輯推理,得到的結論是正確的.(2)√.由分析法的證明過程可知其正確性.(3)×.應用分析法證明數學命題實際上是尋求使命題成立的充分條件.2.用分析法證明:要證①A>B,只需證②C<D,這里①是②的 (

)A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選B.分析法證明的本質是證明結論的充分條件成立,即②是①的充分條件,所以①是②的必要條件.3.若x∈[1,2],x2+a≥0恒成立,則a的取值范圍是__________.

【解析】要使x2+a≥0在x∈[1,2]上恒成立,只需a≥-x2在[1,2]上恒成立.令f(x)=-x2,x∈[1,2],所以-4≤f(x)≤-1,故a≥-1.答案:[-1,+∞)關鍵能力·合作學習類型一分析法證明不等式(邏輯推理)【典例】已知x>0,y>0,求證(x2+y2

>(x3+y3

.【思路導引】從要證明的結論出發,利用分析法證明不等式.【證明】要證明(x2+y2>(x3+y3,只需證(x2+y2)3>(x3+y3)2.只需證x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6,只需證3x4y2+3x2y4>2x3y3.又x>0,y>0,所以x2y2>0,所以只需證3x2+3y2>2xy.因為3x2+3y2>x2+y2≥2xy,所以3x2+3y2>2xy成立,故(x2+y2>(x3+y3.關鍵能力·合作學習類型一分析法證明不等式(邏輯推理)【典例】已知x>0,y>0,求證(x2+y2

>(x3+y3

.【思路導引】從要證明的結論出發,利用分析法證明不等式.【證明】要證明(x2+y2>(x3+y3,只需證(x2+y2)3>(x3+y3)2.只需證x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6,只需證3x4y2+3x2y4>2x3y3.又x>0,y>0,所以x2y2>0,所以只需證3x2+3y2>2xy.因為3x2+3y2>x2+y2≥2xy,所以3x2+3y2>2xy成立,故(x2+y2>(x3+y3.【解題策略】分析法證明不等式的方法與技巧提醒:逆向思考是分析法證明的立體思路,通過反推,逐步探尋使結論成立的充分條件,正確把握轉化方向,使問題得以解決.切記“逆向”“反推”,否則會出現錯誤.【跟蹤訓練】1.已知0<a≤1,0<b≤1,0<c≤1,求證:

≥1.【證明】因為a>0,b>0,c>0,所以要證≥1,只需證明1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc,即證1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)≥0.因為1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)=(1-a)+b(a-1)+c(a-c)+bc(1-a)=(1-a)(1-b-c+bc)=(1-a)(1-b)(1-c),又a≤1,b≤1,c≤1,所以(1-a)(1-b)(1-c)≥0.所以1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)≥0成立,即≥1成立.2.已知a,b都是正實數,且a+b=2.求證:≥1.【證明】方法一:因為a,b都是正實數,所以原不等式等價于a2(b+1)+b2(a+1)≥(a+1)(b+1),即a2b+a2+ab2+b2≥ab+a+b+1.等價于a2+b2+ab(a+b)≥ab+a+b+1,將a+b=2代入,只需要證明a2+b2+2ab=(a+b)2=4≥ab+3,即ab≤1.而由已知a+b≥2,可得ab≤1成立,所以原不等式成立.方法二:因為a,b都是正實數,所以兩式相加得因為a+b=2,所以方法二:因為a,b都是正實數,所以兩式相加得因為a+b=2,所以類型二分析法與綜合法的應用(邏輯推理、數學抽象)【典例】已知a,b,c表示△ABC的三邊長,m>0,求證:【思路導引】先用分析法轉化為證明

然后用綜合法完成證明.【證明】要證明只需證明即可,所以因為a>0,b>0,c>0,m>0,所以(a+m)(b+m)(c+m)>0.因為a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)=abc+abm+acm+am2+abc+abm+bcm+bm2-abc-bcm-acm-cm2=2abm+am2+abc+bm2-cm2=2abm+abc+(a+b-c)m2.因為△ABC中任意兩邊之和大于第三邊,所以a+b-c>0,所以(a+b-c)m2>0,所以2abm+abc+(a+b-c)m2>0,所以【解題策略】1.分析法與綜合法的關系分析法與綜合法的關系可表示為下圖:從圖中可以看出,逆向書寫分析過程,同樣可以完成證明,這就是綜合法.由此使我們想到,用分析法探路,用綜合法書寫,也是一種很好的思維方式.2.分析綜合法分析法與綜合法是兩種思路相反的推理方法,分析法是倒溯,綜合法是順推.因此常將二者交互使用,互補優缺點,從而形成分析綜合法,其證明模式可用框圖表示如下:其中P表示已知條件、定義、定理、公理等,Q表示要證明的結論.【跟蹤訓練】若a,b,c為不全相等的正數,求證

>lga+lgb+lgc.【證明】要證>lga+lgb+lgc,只需證>lg(a·b·c),即證>abc.因為a,b,c為不全相等的正數,所以且上述三式中等號不能同時成立.所以>abc成立,所以>lga+lgb+lgc成立.

2.設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函數f(x+1)與f(x)的圖象關于y軸對稱.求證f

為偶函數.【證明】證法一:要證f為偶函數,只需證f的對稱軸為x=0,只需證=0,只需證a=-b.因為函數f(x+1)與f(x)的圖象關于y軸對稱,即x=--1與x=-關于y軸對稱,所以--1=-,所以a=-b,所以f為偶函數.證法二:要證f是偶函數,只需證因為f(x+1)與f(x)的圖象關于y軸對稱,而f(x)與f(-x)的圖象關于y軸對稱,所以f(-x)=f(x+1),所以f是偶函數.課堂檢測·素養達標1.要證明

,可選擇的方法有以下幾種,其中最合理的是(

)A.綜合法 B.分析法 C.直接法 D.歸納法【解析】選B.根據條件和分析法的定義可知B項最合理.2.使不等式

成立的條件是 (

)A.a>b B.a<bC.a>b且ab<0 D.a>b且ab>0【解析】選D.要使,須使<0,即<0.若a>b,則b-a<0,ab>0;若a<b,則b-a>0,ab<0.3.欲證

成立,只需證 (

)【解析】選C.因為故4.如圖所示是解決數學問題的思維過程的流程圖,則在此流程圖中,①②兩條流程線與“推理與證明”中所匹配的方式分別是①________,②________.【解析】由已知到可知,進而得到結論的應為綜合法;由未知到需知,進而找到與已知的關系為分析法,故①②兩條流程線對應的思維方式分別為綜合法、分析法.答案:①綜合法②分析法

5.設a,b>0,且a≠b,用分析法證明:a3+b3>a2b+ab2.【證明】要證a3+b3>a2b+ab2成立.只需證(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,又因為a+b>0,所以只需證a2-ab+b2>ab成立,只需證a2-2ab+b2>0成立,即需證(a-b)2>0成立.而a≠b,則(a-b)2>0顯然成立.由此命題得證.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應更堅強.勵志名言請您欣賞4.如圖所示是解決數學問題的思維過程的流程圖,則在此流程圖中,①②兩條流程線與“推理與證明”中所匹配的方式分別是①________,②________.【解析】由已知到可知,進而得到結論的應為綜合法;由未知到需知,進而找到與已知的關系為分析法,故①②兩條流程線對應的思維方式分別為綜合法、分析法.答案:①綜合法②分析法

課堂檢測·素養達標1.要證明

,可選擇的方法有以下幾種,其中最合理的是(

)A.綜合法 B.分析法 C.直接法 D.歸納法【解析】選B.根據條件和分析法的定義可知B項最合理.2.使不等式

成立的條件是 (

)A.a>b B.a<bC.a>b且ab<0 D.a>b且