2024北京房山高二（下）期末數學本試卷共5頁，150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題550分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知數列n}滿足n1=2n，且1=1，則3=1（C）?3（D）?8（A）（B）44（2）函數yf(x)的圖象如圖所示，則=（A）ff=（B）ff（C）ff+（D）ff0（3）如圖①、②、③、④分別為不同樣本數據的散點圖，其對應的線性相關系數分別為r,r,r,r，則1234r,r,r,r中最大的是1234（A）r（B）2（D）41（C）3（4）設等差數列a}的前n項和為S，若a=S5=?10，則S取得最小值時n的值為nnn2（A）4（B）5（C）6（D）4或5（5）要安排5位同學表演文藝節目的順序，要求甲同學既不能第一個出場，也不能最后一個出場，則不同的安排方法共有第1頁/共9頁（A）72種（B）120種的系數是（C）96種（C）6（D）60種2（6）在(x+)6的展開式中，x2x（A）15（B）60（D）12421（7）某地區氣象臺統計，夏季里，每天下雨的概率是，刮風的概率為，既刮風又下雨的概率為151510則夏季的某一天里，已知刮風的條件下，也下雨的概率為813834（A）（B）（C）（D）10（8）為了研究兒子身高與父親身高的關系，某機構調查了某所高校14名男大學生的身高及其父親的身高cm（單位：.編號1234567891011121314x174176170176173170169170182185172176180178172174168170166168182178173172164165180182父親身高兒子身高y父親身高的平均數記為x，兒子身高的平均數記為y，根據調查數據，得到兒子身高關于父親身高的回歸直線方程為y=0.839x+28.957.則下列結論中正確的是（A）y與x正相關，且相關系數為0.839（B）點(x,y)不在回歸直線上（C）x每增大一個單位，y增大0.839個單位（D）當x時，=y.所以如果一位父親的身高為，他兒子長大成人后的身高一定是（9）設隨機變量X的分布列如下表所示，則下列說法中錯誤的是X123456P1p2p3p4p5p6（A）P(X≥4)=1?P(X≤（B）隨機變量X的數學期望E(X)可以等于3.512n1（C）當pn=(n2,3,4,5)時，p==6251（D）數列{p}的通項公式可以為p=(n=2,3,4,5,6)nn+n(n（10）已知數列A：1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,，其中第一項是02，接下來的兩項是20,1，20,1,22，依此類推.S是數列A的前n項和，若S=2t(tN*)，則n的值可以等于再接下來的三項是nn第2頁/共9頁（A）16（B）95（C）189（D）330第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共5小題，每小題525分。（11）若f(x)=x，則f'(4)=____.（12）若（x?4=a+ax+ax2+ax3+ax4，則a=____；a+a=____.01234013（13）為了提高學生的科學素養，某市定期舉辦中學生科技知識競賽．某次科技知識競賽中，需回答20個問題，記分規則是：每答對一題得5分，答錯一題扣3分．從參加這次科技知識競賽的學生中任意抽取1名，設其答對的問題數量為X，最后得分為Y分．當XP(X=____.=10時，YPY≥60)=0.7的值為____；若，則（14）設無窮數列n}的通項公式為a=?n2+n+3(2).若a}是單調遞減數列，則的一個取值為nn____.?x2ax??x≤（15）已知函數f(x)=x?(a?2)x+x0.給出下列四個結論：①當a0時，=f(x)在定義域上單調遞增；②對任意a0，f(x)存在極值；f(x)存在最值；③對任意a2，④設f(x)有n個零點，則n的取值構成的集合是2,3,其中所有正確結論的序號是____.三、解答題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（1612分）已知a}是等差數列，b}是等比數列，且a3,35,11,4.=2===nn（Ⅰ）求a}和b}的通項公式；nn（Ⅱ）設nnn，求數列=+c}n的前項和.nSn（1712分）f(x)=?x3+3x2+9x+a.已知函數（Ⅰ）求函數f(x)的極值點；（Ⅱ）若f(x)的極小值為，求函數?f(x)在[上的最大值．?（1812分）袋子中有5個大小和質地相同的小球，其中3個白球，2個黑球.從袋中隨機摸出一個小球，觀察顏色后放回，同時放入一個與其顏色大小相同的小球，然后再從袋中隨機摸出一個小球.（Ⅰ）求第一次摸到白球的概率；第3頁/共9頁（Ⅱ）求第二次摸到白球的概率；（Ⅲ）求兩次摸到的小球顏色不同的概率.（1913分）人工智能（簡稱）的相關技術首先在互聯網開始應用，然后陸續普及到其他行業.某公司推出的.為了解某地區大學生對這款軟件的使用情況，從該地區隨機抽取了名大學生，統計他們最喜愛使用的軟件功能（每人軟件功能視頻創作圖像修復語言翻譯智繪設計大學生人數40204020假設大學生對軟件的喜愛傾向互不影響.（Ⅰ）從該地區的大學生中隨機抽取1人，試估計此人最喜愛“視頻創作”的概率；（Ⅱ）采用分層抽樣的方式先從名大學生中隨機抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，其中最喜愛“視頻創作”的人數為X，求X的分布列和數學期望；（Ⅲ）從該地區的大學生中隨機抽取2人，其中最喜愛“視頻創作”的人數為Y，Y的方差記作DY)X的方差記作D(X)，比較D(X)與DY)的大小.（結論不要求證明）（2013分）1已知函數f(x)=(x?2)ex?ax2+ax(aR).2（Ⅰ）當a0時，求曲線=y=f(x)在x=0處的切線方程；（Ⅱ）當a0時，求函數f(x)的單調區間；（Ⅲ）若對于任意的x[2,+)，有f(x)≥0，求的取值范圍a（2113分）若數列n}滿足：對任意nN*，都有n+1?a1，則稱a}是“Pnn（Ⅰ）若n2n1，=?b=2n1n，判斷a}b}P是否是“n，n（Ⅱ）已知n}是等差數列，12，其前項和記為，若=nSa}是“恒成Sn2+2nnPnn立，求公差d的取值范圍；an+1n（Ⅲ）已知n}是各項均為正整數的等比數列，1=1，記n=n,n=，若a}是“n}Pn3不是“Pc}是“Pa}的通項公式．nn第4頁/共9頁參考答案一、選擇題共10小題，每小題550分。1B2C3A4D5A6B7D8C9D10B二、填空題共5小題，每小題525分。112）1;?813）20;0.3（11）45（14）=（答案不唯一，(2,3)即可）2（15）②③④三、解答題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題12分）的公差為d，等比數列n}是的公比為q（Ⅰ）設等差數列n則d=a?a=2，32所以an=2n?1因為a=b=1，a=b=2711144由b=bq3得q=27，所以q=3341所以n=3n?1a=2n?1b=3n1，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，nnc=a+b=2n?1+n1因此nnn從而數列n的前n項和Sn=1+3+(+?)1?3n?1n12n1n=+=n2+21?32（1712分）f'(x)=?3x2+6x+9=?x2?2x?=x+x?，（Ⅰ）令f'(x)0，得=x=?1或x=3f'(x)，f(x)的情況如下：xf'(x)f(x)(?,??1(?3+)?+?第5頁/共9頁所以x=?1是函數f(x)的極小值點；x=3是函數f(x)的極大值點.（Ⅱ）因為f(x)的極小值為，即?f(?=1+3?9+a=?10解得a=?5，又f(2)?=?3，f(2)=17.所以當x2時，=f(x)取得最大值17.（1812分）（Ⅰ）設第一次摸到白球的事件為A則335P(A)=，即第一次摸到白球的概率為.5（Ⅱ）設第二次摸到白球的事件為B，則P(B)=P(BA+BA)=P(）P(B|A)B|A)3423=+=56563535，即第二次摸到白球的概率.C（Ⅲ）設兩次摸到的小球顏色不同的事件為，則C=AB+BP(C)=P(AB+B)=P(）P(B|+P(A)B|A)32232=+=56565即兩次摸到的小球顏色不同的概率為2.5（1913分）（Ⅰ）設從該地區的大學生隨機抽取1人，此人選擇“視頻創作”的事件為A，則4013P()==12040（Ⅱ）因為抽取的6人中喜歡“視頻創作”的人數為6=2，120所以X的取值范圍是2，C22541C268C21(=0)==(=)==(=2)==PX4,PX2,PX2,C2615C2156所以X的分布列為：X0122581P6811023()=++==EX01215151515nM222()=M),則EX==（或X）N63第6頁/共9頁（Ⅲ）DY)D(X)（2013分）（Ⅰ）當a0時，=f(x)=(x?2)ex，f(0)=2f'(x)=(x?x，f'(0)=所以曲線y=f(x)在x0處的切線方程為x+y+2=0.=（Ⅱ）f(x)(x)exaxa(x)ex=??+=a?(?)由于a0，解f(x)=0得x=a,x=1，12①當a=1，即ae時，=f(x)≥0()(?,+)，則fx在上單調遞增；②當lna1，即0ae時，在區間(?,lna),+)上，f(x)0，在區間(a,1)上，f(x)0，所以f(x)的單調增區間為(?,lna),+)；單調減區間為a,1；()③當a1，即ae時，在區間(?),(a,+)上，f(x)0，在區間1,lna)上，f(x)0，所以f(x)的單調增區間為(?),(a,+)；單調減區間為1,lna)；綜上，當0ae時，f(x)的單調增區間為(?,lna),+)，單調減區間為(a,1)；當a=e時，f(x)在(?,+)上單調遞增；當ae時，f(x)的單調增區間為(?),(a,+)，單調減區間為1,lna).（Ⅲ）解法一：f(x)=(x?)e?a)，x①當a≤0時，因為x2，所以x?10，ex?a0，所以f(x)0，則f(x)在+)上單調遞增，fx≥f20成立.()()=②當0a≤e時，f(x)0，2所以f(x)在+)上單調遞增，所以f(x)≥f20成立.()=③當ae時，在區間(2,a)上，f(x)0；在區間(a,+)，f(x)0，2所以f(x)在2,lna上單調遞減，a,()(+)上單調遞增，所以f(a)f(2)=0，不符合題意.綜上所述，a的取值范圍是?,e(2.解法二：“對于任意的x)，有f(x)≥0”，等價于1“當x≥2時，(x?)2ex?ax2ax≥0恒成立”.+212即?(?)在2,+)上恒成立.x2xa≤x2ex第7頁/共9頁當x=2時，0a≤0，所以aR.12（x?2)ex2ex當x2時，x2?0，所以恒成立.xa=≤12xx2?x2(x?)ex2ex設()=gx，則()=gx.xx2因為x2，所以g(x)0，所以g(x)在區間(2,+)上單調遞增.所以g(x)g(2)=e2，所以a≤e2.綜上所述，a的取值范圍是?,e（2113分）.2（Ⅰ）數列an是“Pn不是“P（Ⅱ）因為等差數列n是“Pd1．(?)nn1因為1=2，所以Sn2n=+d，2(?)nn12n+Ndn2+2n對任意的n恒成立，由題意，得*2(?)即n1d6n對任意的nN*恒成立．(?)當n=1時，n1d6n恒成立，故d1；(?)當n≥2時，n1d6n對任意的nN*恒成立，即6nn?1d對任意的nN恒成立，*6nn?16n?1因為=6+6，所以d≤6．所以d的取值范圍是6]（Ⅲ）設等比數列a的公比為q，因為a=1，所以a=qn1，n1n因為“P數列”n的每一項均為正整數，由an1?an1得an1an，所以因為且q*，q1an?an=qn1(q?a?an1n1，所以單調遞增所以在數列an1?a?a”為最小項，an21b?在數列bb?b=2?1”為最小項．n1n2133P?因為a是“a211，所以q2，naab}不是“Pb?b=2?1≤1q≤4，因為數列，所以