第第頁(yè)§8.5橢圓課標(biāo)要求1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率).3.掌握橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．注意：(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數(shù)>|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓；(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數(shù)＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為以F1，F(xiàn)2為兩端點(diǎn)的線段；(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數(shù)<|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不存在．2．橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)為2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸和y軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn)離心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c2常用結(jié)論橢圓的焦點(diǎn)三角形橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．如圖所示，設(shè)∠F1PF2＝θ.(1)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大，SKIPIF1<0最大．(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(3)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.(5)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a＋c)．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)設(shè)F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝8，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓．()(2)橢圓是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形．()(3)eq\f(y2,m2)＋eq\f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．()(4)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．()2．若橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1上一點(diǎn)P與焦點(diǎn)F1的距離為4，則點(diǎn)P與另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離為()A．6B．3C．4D．23．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(2\r(2),3)4．若橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，則該橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為()A．3B．2＋eq\r(3)C．2D.eq\r(3)＋1題型一橢圓的定義及其應(yīng)用例1(1)已知圓C1：(x＋1)2＋y2＝25，圓C2：(x－1)2＋y2＝1，動(dòng)圓M與圓C2外切，同時(shí)與圓C1內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A.eq\f(x2,3)＋y2＝1B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,9)＋y2＝1D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1(2)已知P是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若eq\f(\o(PF1,\s\up6(→))·\o(PF2,\s\up6(→)),|\o(PF1,\s\up6(→))||\o(PF2,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，則△F1PF2的面積為________．跟蹤訓(xùn)練1(1)若F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)，A，B為C上兩動(dòng)點(diǎn)，且A，B，F(xiàn)1三點(diǎn)共線，則△ABF2的周長(zhǎng)為()A．4B．8C．10D．20題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)過點(diǎn)(3,2)且與橢圓3x2＋8y2＝24有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為()A.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,10)＝1B.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1C.eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1D.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,5)＝1(2)已知過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(－1,0)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C，F(xiàn)是線段AB的三等分點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,5)＝1B.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1跟蹤訓(xùn)練2(1)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(0,2)，F(xiàn)2(0，－2)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中項(xiàng)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,60)＝1B.eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,60)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1(2)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交E于P，Q兩點(diǎn)，且PF2⊥F2Q，且SKIPIF1<0＝4，|PF2|＋|F2Q|＝6，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1題型三橢圓的幾何性質(zhì)命題點(diǎn)1離心率例3(1)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1且斜率為eq\f(\r(3),3)的直線交橢圓于點(diǎn)P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，則橢圓E的離心率為()A．2－eq\r(3)B.eq\r(3)－1C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),2)(2)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線AP，AQ的斜率之積為eq\f(1,4)，則C的離心率為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)命題點(diǎn)2與橢圓有關(guān)的范圍(最值)問題例4(多選)已知橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，則()A．SKIPIF1<0的最大值為4eq\r(3)B．|PF1|的取值范圍是[4－2eq\r(3)，4＋2eq\r(3)]C．不存在點(diǎn)P使PF1⊥PF2D．|PB|的最大值為2eq\r(5)跟蹤訓(xùn)練3(1)已知M，N是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓C上異于M，N的點(diǎn)，且eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的最大值是eq\f(1,4)a2，則橢圓C的離心率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),3)(2)已知橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，M是橢圓上任意一點(diǎn)，則eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MF,\s\up6(→))的取值范圍為()A．[－16,0]B．[－8,0]C．[0,8]D．[0,16]課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．“1<k<5”是方程“eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示橢圓”的()A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．若橢圓C：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的離心率為eq\f(\r(6),3)，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()A．2eq\r(2) B.eq\f(2\r(6),3)或2eq\r(6)C．2eq\r(6) D．2eq\r(2)或2eq\r(6)3．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,3)，A1，A2分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－1，則C的方程為()A.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,2)＋y2＝14．已知橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y＝kx與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝|F1F2|，則△ABF1的面積等于()A．18B．10C．9D．6二、多項(xiàng)選擇題5．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，且不與橢圓的左、右頂點(diǎn)重合，則下列關(guān)于△PF1F2的說法正確的有()A．△PF1F2的周長(zhǎng)為4＋2eq\r(2)B．當(dāng)∠PF1F2＝90°時(shí)，|PF1|＝2C．當(dāng)∠F1PF2＝60°時(shí)，△PF1F2的面積為eq\f(4\r(3),3)D．橢圓上有且僅有6個(gè)點(diǎn)P，使得△PF1F2為直角三角形三、填空題6．已知F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)是橢圓C的焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝6，則橢圓C的方程為________________．7．橢圓eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為A，若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，則m＝________.8．已知一個(gè)離心率為eq\f(1,2)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，其兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，在橢圓上存在一點(diǎn)P，使得∠F1PF2＝60°，