2021-2022學年高二數學期末重點題訓練

第三章排列、組合與二項式定理第二單元排列組合A卷

一.選擇題（共8小題）

1.某校從5名同學中選擇3人分別參加數學、物理、化學競賽，則不同選法種數是（）

A.10B.30C.60D.125

【解答】解：根據題意，某校從5名同學中選擇3人分別參加數學、物理、化學競賽，選出的3人有順

序的區別，是排列問題，

則有《3=60種選法；

故選：C.

2.5個節目，若甲、乙、丙三個節目按給定順序出現不同的排法有（）

A.120種B.80種C.48種D.20種

【解答】解：根據題意，設5個節目中除甲、乙、丙之外的2個節目為小b；

分2步進行分析：

①，將甲乙丙三個節目按給定順序排好，

②，排好后有4個空位，將。安排到空位中，有4種情況，

排好后有5個空位，將。安排到空位中，有5種情況，

則不同的排法有4x5=20種；

故選：D.

3.2020年我國進行了第七次全國人口普查，”大國點名，沒你不行在此次活動中，某學校有2女、4

男6名教師報名成為志愿者，現在有3個不同的社區需要進行普查工作，從這6名志愿者中選派3名，

每人去1個小區，每個小區去1名教師，其中至少要有1名女教師，則不同的選派方案有多少種（）

A.16種B.20種C.96種D.120種

【解答】解：根據題意，分2步進行分析：

①在6名志愿者中選派3名，要求至少要有I名女教師，有C63-C43=16種分組方法，

②將選出的3人安排到三個社區，有A33-6種安排方法，

則有16x6=96種不同的選派方法，

故選：C.

4.方程x+y+z=18的非負整數解有（）

A.2二組B.136組C.190組D.68組

【解答】解：根據題意，對于方程x+y+z=18,

將18看成18個“1”，18個“1”中間有19個空，從19個空中選兩個空進行插板，或從19個空中選1個

空插2個板，

即可以將18個力”分為三組，每一組對應力”的數目依次為x、y、z的數值，

則有Ci92+Ci9'=C202=190種分組方法，

方程x+）4z=18的非負整數解有190組，

故選：C.

5.將3名教師，3名學生分成3個小組，分別安排到甲、乙、丙三地參加社會實踐活動，每個小組由1名

教師和1名學生組成，若教師A與學生8要安排在同一地點，則不同的安排方案共有（）

A.72種B.36種C.24種D.12種

【解答】解：由教師4與學生8要安排在同一地點，有C31=3種，

再安排剩余2名教師，2名學生，有C21c21=4種，

故有3x4=12種.

故選：D.

6.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數''合稱"六藝”.“禮’’主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”

就是體育和勞動；“書”指各種歷史文化知識：“數”指數學.某校國學社團開展“六藝”講座活動，每藝安

排一次講座，共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，“數"和“樂''兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的

次序共有（）

A.408種B.240種C.192種D.120種

【解答】解：這六門課程的全排A旨=720種，“射”排在第一節的排法有A；120種，

“數”和“樂”兩次相鄰有點-Al，

“射”排在第一節且"數''和"樂''兩次相鄰國?題，

“六藝”講座不同的次序共有鹿-Al-Aj-Al+&?*=408,

故選：A.

7.第24屆冬季奧運會將于2022年2月4日在北京開幕.為保證冬奧會順利進行，組委會需要提前把各

項工作安排好.現要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服務，每天一人，甲兩天，乙三天，丙

和丁各一天，則不同的安排方法有（）

A.840種B.140種C.420種D.210種

【解答】解：由題意，四名志愿者進行7天服務，甲2天，乙3天，丙丁各2天，

先從7天中選2天甲去，有廢種，

從余下5天中選3天乙去，有麾種，

從余下2天中選1天丙去，有廢種，

最后1天丁去，則xCfx=21x10x2=420種，

故選：C.

8.永州是一座有著兩千多年悠久歷史的湘南古邑，民俗文化資源豐富.在一次民俗文化表演中，某部門

安排了《東安武術》、《零陵漁鼓》、《瑤族傘舞》、《祁陽小調》、《道州調子戲》、《女書表演》六個節目，

其中《祁陽小調》與《道州調子戲》不相鄰，則不同的安排種數為（）

A.480B.240C.384D.1440

【解答】解：先排《東安武術》、《零陵漁鼓》、《瑤族傘舞》、《女書表演》四個節目，再將《祁陽小調》

與《道州調子戲》插入所形成的空中，

故有A44A5』480種,

故選：A.

二.多選題（共4小題）

9.我國古代著名的數學著作中，《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《孫

丘建算經》、《海島算經》、《五經算術》、《級術》和《糾古算經》，稱為“算經十書”，某老師將其中的《周

碑算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五經算術》、《綴術》和《緝古算經》6本書分給5名數學愛好者，

其中每人至少一本，則不同的分配方法的種數為（）

A.CIClAIB.點廢

C.ClAlAtO.ClAI

【解答】解：方法-：6本分給5名數學愛好者，每人至少一本，

則把6本書為（2,1,1,1,1）一組，再分配給5名數學愛好者，故有C羽55種；

方法二：先從5名數學愛好者選1人得到2本，其余一人一本，故有CIC徐44種.

故選：AD.

10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排照相，下列說法正確的是（）

A.如果甲，乙必須相鄰，那么不同的排法有24種

B.甲不站在排頭，乙不站在正中間，則不同的排法共有78種

C.甲乙不相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法共有36種

D.若五人已站好，后來情況有變，需加上2人，但不能改變原來五人的相對順序，則不同的排法共有

42種

【解答】解：根據題意，依次分析選項：

對于A,將甲乙看成一個整體，與丙，丁，戊全排列，有心題=48種不同的排法，A錯誤；

對于8,若甲站在正中間，乙有4種站法，剩下3人全排列，有4X甩=24種排法，

若甲不站在正中間，甲有3種站法，乙有3種站法，剩下3人全排列，有3x3x掰=54種排法，

則有24+54=78種不同的站法，B正確；

對于C,將丙，丁，戊三人排成一排，再將甲乙安排在三人的空位中，有“用=72種排法，

其余乙在甲的右邊和乙在甲的左邊的情況數目相同，則有=x72=36種不同的排法，C正確；

對于。，若五人已站好，后來情況有變，需加上2人，第一個人有6種插法，第二個人有7種插法，則

有6x7=42種不同的安排方法，。正確；

故選：BCD.

11.為了做好社區新疫情防控工作，需要將5名志愿者分配到甲、乙、丙、丁4個小區開展工作，則下列

選項正確的是（）

A.共有625種分配方法

B.共有1024種分配方法

C.每個小區至少分配一名志愿者，則有240種分配方法

D.每個小區至少分配一名志愿者，則有480種分配方法

【解答】解：若需要將5名志愿者分配到甲、乙、丙、丁4個小區開展工作，如果沒有任何要求，則有

45=1024種不同的方法，故A錯誤，B正確,

每個小區至少分配一名志愿者，則有一個小區有兩名志愿者，

先把5名志愿者分成4組然后再進行排列，有金川=10x24=240種不同的分配方法，故C正確，。錯

誤，

故選：BC.

12.某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術這七門課程中選三門作為選考科目，下列說

法錯誤的是（）

A.若任意選擇三門課程，選法總數為由

B.若物理和化學至少選一門，選法總數為廢盤

C.若物理和歷史不能同時選，選法總數為6-程

D.若物理和化學至少選一門，且物理和歷史不同時選，選法總數為廢既-禺

【解答】解：選項4若任意選擇三門課程，選法總數為C故A錯誤，

選項8：若物理和化學至少選?門，共有C之程+廢程種，故B錯誤，

選項C：若物理和歷史不能同時選，用間接排除法可得選法總數為C印-瑪，故C正確，

選項。：若物理和化學至少選一門，有3種情況，

①只選物理不選化學和歷史共有C\C%=6種，

②選化學不選物理共有C=10種，

③物理化學都選，共有C的？=4種，

故總數為6+10+4=20種，故。錯誤，

故選：ABD.

三.填空題（共4小題）

13.將6個相同的小球放入4個不同的盒子中，要求不出現空盒，共有10種放法.（用數字作答）

【解答】解：根據題意，將6個小球排成一排，排好后有5個可用的空位，

在5個空位中任選3個，插入擋板，有C53=10種情況，

可以將6個小球分成4組，依次放入4個不同的盒子中即可，

則有10種不同的放法；

故答案為：10.

14.今年上海春季高考有25所高校招生，如果某3位同學恰好被其中2所高校錄取，那么不同的錄取方

法有1800種.

【解答】解：從3位同學中選出2位，有或=3種方法；

從25所學校中取兩個學校，有戲$=300種方法，

把選出的2名學生分到兩個學校中，

由分步乘法原理得：共有C32c25??膨=18oo種，

故答案為：1800.

15.小紅同學去買糖果，現只有四種不同口味的糖果可供選擇，單價均為一元一顆，小紅只有7元錢，要

求錢全部花完且每種糖果都要買，則不同的選購方法共有20種.(用數字作答)

【解答】解：根據題意，原問題可以轉化為將7個相同的小球分為4組，每組至少一個，

由擋板法，有C63=笑孕=20種選購方法，

0X4

故答案為：20.

16.根據市教育局關于加強疫情防控工作的指導意見，我市某學校安排3位年級段長，3位醫務室醫生，4

位班主任共10人，到兩個校門口配合防疫工作，要求每個門口安排5人，每個門口都要有段長和醫務

室醫生，且班主任甲乙必須安排在一起，則不同的安排方法有36種.

【解答】解：從3位年級段長選1名，從3位醫務室醫生中選2名，然后和班主任甲乙，組成一組，剩

下的為另一組，

故有C31c3?=9種，

從3位年級段長選2名，從3位醫務室醫生中選1名，然后和班主任甲乙，組成一組，剩下的為另一組，

故有C32c31=9種，

再分配到兩個門口，共有(9+9)42=36種.

故答案為：36.

四.解答題(共6小題)

17.從包含甲、乙2人的8人中選4人參加4x100米接力賽，在下列條件下，各有多少種不同的排法？

(1)甲、乙2人都被選中且必須跑中間兩棒；

(2)甲、乙2人只有1人被選中且不能跑中間兩棒；

(3)甲、乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒.

【解答】解：(1)甲、乙兩人必須跑中間兩棒，甲和乙兩個人本身有一個排列，

余下的兩個位置需要在6個人中選2個排列

根據分步計數原理知道共有A22A62=60

(2)甲、乙兩人只有一人被選且不能跑中間兩棒，

需要從甲和乙兩個人中選出一個有C21種結果，

需要在第一和第四棒中選一棒，有C21種結果，

另外6個人要選三個在三個位置排列，根據計數原理共有C21c2/63=48()

(3)?.?甲、乙兩名同學必須入選，而且必須跑相鄰兩棒

二首先甲和乙兩個人在相鄰的位置本身有A22種結果，

其余6名同學選兩人三個元素在三個位置排列共有C62A33種結果，

根據分步計數原理得到共有A22c62A33=180,

18.從1到9的9個數中取3個偶數和4個奇數，則：

(1)能組成多少個沒有重復數字的七位數？

(2)在(1)中的七位數中3個偶數排在一起的有幾個？

(3)在(1)中的七位數中，偶數排在一起，奇數也排在一起的有幾個？

(4)在(1)中任意2個偶數都不相鄰的七位數有幾個？

【解答】解：(1)先從4個偶數中選3個，從5個奇數中選4個，把這7個數全排，故有C43c54A7’=

100800個，

(2)把3個偶數分別捆綁在一起，再和5個奇數全排，故有443c54A55=14400個，

(3)把所選的4個奇數，和3個偶數分別捆綁在一起，再全排，故有43A54A22=5760個，

(4)把所選的三個偶數插入到所選的4個奇數所形成的5個空中，故有C43A54A5?=28800個.

19.按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？

(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本;

(3)平均分成三份，每份2本.

【解答】解：(1)無序不均勻分組問題.先選1本有C%種選法；再從余下的5本中選2本有C?5種選

法；最后余下3本全選有種方法，故共有C16c25d3=60種.

(2)有序不均勻分組問題.由于甲、乙、內是不同的三人，在第(1)題基礎上，還應考慮再分配，共

有d6c25c33儲3=360種.

(3)無序均勻分組問題.先分三步，則應是c26c24c22種方法，但是這里出現了重復.不妨記6本書

為4、B、C、。、E、F,若第一步取J'A8,第二步取了CD,第三步取了EF,記該種分法為(AB,CD,

EF),則C26c24c22種分法中還有(AB,EF,CD)、CCD,AB,EF)、(CD,EF,AB)、(EF,CD,AB)、

(EF,AB,CD),共A33種情況，而這解3種情況僅是A8、CD、的順序不同，因此只能作為一種

八,,+M八Wf或鬣服

分法，故分配方式有---—=15種.

20.8人圍著圓桌開會，其中正、副組長各1人，記錄員1人.

(1)若正、副組長相鄰而坐，有多少種做法；

(2)若記錄員位于正、副組長之間，有多少種做法.

【解答】解：(1)若正、副組長相鄰而坐，可以將此2人可作1人看，即7人圍一圓桌，有(7-1)!

=6!種做法;

???正、副組長可以交換位置，.?.有2!=2種做法，

則共有6!2!=1440種做法.

(2)若記錄員位于正、副組長之間，可將此3人看作1人，即6人圍一圓桌，(6-1)!=5!種做法;

?.?正、副組長可以交換位置，.?.有2!=2種做法，

則共有5!2!=240種做法.

21.7名班委中有A,B,C三人，有7中不同的職務，現對7名班委進行職務具體分工.

(1)若正、副班長兩職只能從A、B、C三人中選兩人擔任，有多少種分工方案？

(2)若正、副班長兩職至少要選A