第四章一次函數專題6一次函數中的規律探索問題數學八年級上冊BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS

◎問題綜述一次函數背景下的規律探究性問題，是一次函數的難點，

也是必考點.常常出現在填空題或選擇題的壓軸題中，有時也會

在最后解答題的壓軸題中考查.這種問題主要涉及坐標的計算、

線段長度的計算、面積的計算.◎要點歸納1.

探索規律的方法.（1）從“數”的角度；（2）從“形”的角度.

3.

常見規律類型.（1）循環；（2）均勻變化（倍數關系）；（3）乘方關系.數學八年級上冊BS版02典例講練

類型一

與一次函數有關的點的坐標的規律

如圖，已知直線OD與x軸所夾的銳角為30°，OA1的長為1，△A1A2B1，△A2A3B2，△A3A4B3，…，△AnAn＋1Bn

均為等邊三角形，點A1，A2，A3，…，An＋1在x軸的正半軸上依次排列，點B1，B2，B3，…，Bn

在直線OD上依次排列，則點Bn

的坐標為

.

【解析】因為△A1A2B1為等邊三角形，所以∠B1A1A2＝60°.

因為∠B1OA2＝30°，所以∠B1OA2＝∠A1B1O＝30°.可得

OA2＝2OA1＝2.因為△A2A3B2為等邊三角形，所以∠B2A2A3＝

60°.因為∠B2OA3＝30°.所以∠B2OA3＝∠A2B2O＝30°.可

得OA3＝2OA2＝22；…；同理，得OAn

＝2n－1.因為∠BnOAn＋1

＝30°，∠BnAnAn＋1＝60°，所以∠BnOAn＋1＝∠OBnAn

＝30°.

【點撥】本題利用了數與數之間存在的倍數規律.

（63，32）

類型二

與一次函數有關的線段的規律

【點撥】此題的關鍵是找出前后對應線段長度的數量關系.

如圖，在平面直角坐標系中，函數y＝3x和y＝－x的圖象分別

為直線l1，l2，過點（1，0）作x軸的垂線交l1于點A1，過點A1

作y軸的垂線交l2于點A2，過點A2作x軸的垂線交l1于點A3，過

點A3作y軸的垂線交l2于點A4……依次進行下去，則點

A2

023A2

024的長為

?.4×31

011

類型三

與一次函數有關的面積的規律

如圖，直線y＝－2x＋2分別交x軸、y軸于A，B兩點，將

線段OA分成n等份，等分點分別為P1，P2，P3，…，Pn－1，過

每個等分點作x軸的垂線分別交直線AB于點T1，T2，T3，…，

Tn－1，用S1，S2，S3，…，Sn－1分別表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△Tn－1Pn－2Pn－1的面積，則當

n＝2023時，

S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝

?.

如圖，在平面直角坐標系中，直線l為正比例函數y＝x的圖象，點A1的坐標為（1，0），過點A1作x軸的垂線交直線l于點

D1，以A1D1為邊作正方形A1B1C1D1；過點C1作直線l的垂線，垂足為A2，交x軸于點B2，以A2B2為邊作正方形A2B2C2D2；過點C2作x軸的垂線，垂足為A3，交直線l于點A3，以A3D3為邊作正方形A3B3C3D3……按此規律