九年級數學（上）人教版

探究四點共圓的條件（二）學習教案年級：九年級學科：數學上（人教）提出問題經過兩點A，B，

在平面內作圓：提出問題經過三點A，B，C，

在平面內作圓：結論：不在同一條直線上的三點可以確定一個圓.提出問題經過平面內四點，

在平面內作圓：過任意一個四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？探究猜想引例：過下列四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？正方形矩形平行四邊形等腰梯形直角梯形正方形過正方形的四個頂點，可以作一個圓.探究猜想引例：過下列四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？正方形矩形平行四邊形等腰梯形直角梯形矩形過矩形的四個頂點，可以作一個圓.平行四邊形過任意平行四邊形的四個頂點，不一定能作圓.探究猜想引例：過下列四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？正方形矩形平行四邊形等腰梯形直角梯形等腰梯形過等腰梯形的四個頂點，可以作一個圓.探究猜想引例：過下列四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？正方形矩形平行四邊形等腰梯形直角梯形直角梯形過直角梯形的四個頂點，不能作圓.探究猜想引例：過下列四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？正方形矩形平行四邊形等腰梯形直角梯形探究猜想正方形矩形等腰梯形正方形、矩形、等腰梯形有哪些共同特征？具有這些特征的其它四邊形，經過它的四個頂點是否一定能作一個圓？探究猜想猜想1：有一組對邊平行的四邊形的四個頂點共圓.反例：平行四邊形，直角梯形等.探究猜想矩形有____個角是直角的四邊形的四個頂點共圓.三個直角四邊形兩個直角？探究猜想猜想2：有兩個角是直角的四邊形的四個頂點共圓.分析：當兩個直角相鄰時，由直角梯形可知，

四個頂點不一定共圓.當兩個直角相對時，如圖.連接BD，作BD的中點O，

連接OA，OC，則OA=OB=OD=OC，

所以A，B，C，D在以O為圓心，OB為半徑的圓上.探究猜想變式證明四點共圓的方法（1）圓的定義.（2）結論：共斜邊的兩個直角三角形的四個頂點共圓.探究猜想正方形矩形等腰梯形有一組對角是直角?如圖，若四邊形ABCD內接于圓O，則∠A+∠C=∠B+∠D=180°.對角互補證明結論猜想3：經過對角互補的四邊形的四個頂點，可以作一個圓.已知：四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°.求證：A，B，C，D四點共圓.證明結論分析：證明結論證明：過A，B，C三點作⊙O，假設點D不在⊙O上，則點D在⊙O內或點D在⊙O外.證明結論①若點D在⊙O內，延長AD交⊙O于E，連接CE，則∠B+∠E=180°.又∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC=∠E.這與△CDE中，∠ADC>∠E矛盾，所以點D不在⊙O內.證明結論②若點D在⊙O外，….綜上，假設不成立，即點D在過A，B，C三點的圓上.想一想，如何說明點D在圓外的情形不成立？方法小結（3）結論：經過對角互補的四邊形的四個頂點，可以作一個圓.證明四點共圓的方法（1）圓的定義.（2）共斜邊的兩個直角三角形的四個頂點共圓.運用遷移例題：三角形的三條高線交于一點.已知：如圖，△ABC的兩條高BD，CE交于點H，連接AH并延長交BC于F.求證：AF⊥BC.運用遷移證明：連接DE.

∵BD，CE是△ABC的高，

∴∠AEH=∠BEC=∠ADH=∠CDB=90°.

∴A，E，H，D四點共圓，

B，E，D，C四點共圓.

∴∠1=∠2=∠3.

∵∠1+∠ADH=∠3+∠BFH，

∴∠BFH=∠ADH=90°.

∴AF⊥BC.運用遷移例題：如圖，∠ABC=∠ADC.求證：A，B，C，D四點共圓.運用遷移方法1：把A，B，C，D看作四邊形的四個頂點，證明其對角互補.運用遷移證明：連接BD.

∵∠1=∠2，∠AED=∠CEB，

∴△ADE∽△CBE，∠3=∠4.

∴DE:BE=AE:CE.

又∵∠BED=∠CEA，

∴△BDE∽△CAE.

∴∠5=∠6，∠7=∠8.

∴四邊形ADBC中，∠CAD+∠DBC=360°÷2=180°.

∴A，B，C，D四點共圓.這里提前用到了相似三角形的知識.運用遷移運用遷移方法1：把A，B，C，D看作四邊形的四個頂點，證明其對角互補.方法2：反證法.運用遷移證明：過A，B，C三點作⊙O，假設點D不在⊙O上，則點D在⊙O內或點D在⊙O外.請自己完成后面的證明！課堂小結遞歸過一個點作圓過兩個點作圓過三個點作圓過四個點作圓從特殊到一般∠B+∠D=180°探索真理比占有真理更為可貴。——愛因斯坦1歸納整理你可以用哪些方法證明四點共圓？課堂小結2繼續探索如果要證明五個或五個以上的點共圓，可以怎樣做？布置作業如圖，在四邊形ABCD中，點E在BC的延長線上，添加下列條件中的一個后，不一定使A、B、C、D四點共圓的是（

）.

（A）∠B+∠D=180°

（B）∠A=∠BCD

（C）∠A=∠DCE

（D）∠A=∠BCD=90°布置作業如圖，將一個含45°角的直角三角板ABC和一個含30°角的直角三角板ADC拼在一起，斜邊AC恰好重合，點B，